导数与最值与极值

1、G尼文教育湖州龙文教育咨询有限公司彦教师1对1个性化辅导讲义课题导数与最值极值教学目标掌握导数在函数最值与极值方面的应用重点、难点导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.考点及考试要求导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题导数应用各类题型的出题方式，举一反三.典型例题的典型方法.在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.教学内容知识框架知识梳理1 .函数的单调性：在某个区间(a,b)内，如果f(x)A0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,

2、f(x)a0是y=f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2 .函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数y=f(x)在点X。处连续时，判断f(x。)是极大(小)值的方法是：(1)如果在X0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)MO,那么f(X0)是极大值.(2)如果在X0附近的左侧f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,f*(x)a0是y=f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.1例1已知函数f(x)=x3+bx湖州龙文教育咨询有限公司+cx+

3、d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(1)处的切线方程为6x-y7=0.(i)求函数y=f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数f(x)在区间a,b上递增可得：f(x)之0；函数f(x)在区间a,b上递减可得：f(x)0.【解析】(I)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,32所以f(x)=xbxcx2.所以f(x)=3x22bxc.由在M(1,f(1)处的切线方程是6xy+7=0,知一6f(1)+7=0,即f(-1)=1,f(1)=6.3-2bc=6,2b-c=3,所以,即,解得b=c=3.-1b-c2-1.b-c-

4、0.32故所求的解析式是f(x)=x-3x-3x2.2(n)因为f(x)=3x6x3,令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0,解得x,=1-“2,x2=12.当x0在1,1上恒成立即a之2在xw-1,1时恒成立.3x11,，a2故a的取值范围为-/He33【例3】(B类)已知函数f(x)=lnx,g(x)=g(a0),设F(x)=f(x)+g(x).x(I)求函数F(x)的单调区间；1(n)若以函数y=F(x)(xw(0,3)图像上任意一点P(x,y)为切点的切线的斜率k0),F(x)=-2=2(x:0)xxxxa0,由F(x)0=xw(a,Z)，F(x)在(a,收)上单调递增.由F(x

5、)0=xw(0,a),F(x)在(0,a)上单调递减.F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,).x-a(II)F(x)=-(0x3),xk=F(%)=&2a(0x0或mW3112.(B类)设函数g(x)=-x2+-ax2bx(a,bwR),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率32记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间-1,3上是单调递减函数，求a2+b2的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间-1,3上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】(1

6、)根据导数的几何意义知f(x)=g(x)=x2+ax-b由已知-2、4是方程x2+axb=0的两个实根,-2+4=_aa22由韦达te理，彳二，f(x)=x2x82M4=Hb、b=8湖州龙文教育咨询有限公司教师1对1个性化辅导讲义(2)g(x)在区间1,3上是单调递减函数，所以在1,3区间上恒有f(x)=g(x)=x2+ax-bM0,即f(x)=x2+ax-b041,司恒成立、一7(-1)0rt-a+b之1这只需满足3(1即可，也即f(3)9而a2+b2可视为平面区域ab占1内的点到原点距离的平方，口一3a29其中点(一2,3)距离原点最近，所以当Ia=-2寸，a2+b2有最小值13b=31

7、23. (A类)已知函数f(x)=x-mInx+(m1)x,.mwR.当mE0时，讨论函数f(x)的单2调性.2x(m-1)x-mx(x-1)(xm)x【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论mf(x)=x-(m-1)x(1)当10,f(x)为增函数;xw(m,1寸，f(x)0,f(x)为增函数.(2)当mW1时，xw(0,1网，f(x)A0,f(x)为增函数；xw(1,m时，f(x)0,f(x)为增函数.知识点二：导数与函数的极值最值方法归纳：1 .求函数的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f(X).(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数

8、为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查湖州龙文教育咨询有限公司龙文教育教师1对，个性化辅导讲义f(幻在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值2 .求函数在a，b上最值的步骤：(1)求出f(x)在(a,b)上的极值.(2)求出端点函数值f(a),f(b).(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值注：可导函数y=f(x)在x=x。处取得极值是f(xo)=0的充分不必要条件.1 .一二【例4】(A类)右函数f(x)=mcosx+sin2x在x=一处

9、取得极值，则m=.2 4【解题思路】若在小附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f(%)=0，那么f(%)是f(x)的极大值；右在xO附近的左侧f(x)0,且f(x0)=0，那么f(x0)是f(x)的极小值.，JTJTJT【解析】因为f(x)可导，且f(x)=-msinx+cos2x,所以f()=-msin+cos=0,解得442企文教育教师1对1个性化辅导讲义【例6】设x=1,x=2是f(x)=alnx+bx+x函数的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并求相应极值【解析】(1)f(x)=a+2bx+1,x由已知得：f,1

10、二=f2=。a2b1=0a二-1a+4b+1=0、22316x(0,1)1(1,2)2f(x)一0+0一f(x)极小值*极大值54故在x=1处，函数f(x以极小值6；在x=2处，函数f(x加得极大值3【课堂练习】2-ln23(2)x变化时.(x),f(x)的变化情况如表:13122f(x)=-x-x2ax(一，二)4.设32.若f(x)在3上存在单调递增区间，求a的取值范围.(解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.(一,f(x)在(3,二)上存在单调递增区间,2(m,n)J二),即存在某个子区间3使得f(x)02121f(x)-xx2a-(x-)-2a24f(2)03即可.2

11、-,:)(x)在区间3上单调递减，则只需_2.2_1f(一)=2a0a-39解得9,湖州龙文教育咨询有限公司教师1对1个性化辅导讲义123(C二)所以，当9时，f(x)在3上存在单调递增区间.5.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值;,、g(1)(2)讨论g(x)与x的大小关系;【解题思路】(1)先求出原函数f(x),再求得g(x),然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对任意x0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题.一1.x-

12、1f(x)-Inx,g(x)-Inxg(x)：2,【解】(1)由题设知x,x令g(x)0得X=1,当xe(0,i)时，g(x)0,g(x)是增函数，故(1,+8)是g(x)的单调递增区间,因此，x=i是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)=1.2111.(x-1)g(一):lnxxh(x)=g(x)-g(-)=Inx-x：；-h(x)-2(2)x，设xx,则x,_1当x=1时，h(1)=0,即9(刈气(?，当xJ0,1)51，)时，h(x)0,g(x):二g(1).因此，h(x)在(0，叼内单调递减，当Ohxm1时，h(x)h=0,即x6.已知函数

13、f(x)=x33ax2(3-6a)x12a-4(aR)(I)证明：曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);(n)若f(x)在x=x。处取得极小值，x0W(1,3)，求a的取值范围湖州龙文教育咨询有限公司1.m=0.经验证当m=0时，函数f(x)=sin2x在x=一处取得极大值.24【注】若f(x)是可导函数，注意f(x0)=0是x0为函数f(x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性.fxi：ix-kex【例5】已知函数ff,求f(x)的单调区间；(II)求f(x)在区间01上的最小值.【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论【解析】(I)f/(x)=(x-k，令f/(x)=0