导数性质及其应用知识点例题题型练习作业

1、导数性质及其应用(知识点例题题型练习作业) 1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果恒f(x)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数；(2)如果包f(x)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数；(3)如果包f'(x)=0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y=f(x)的定义域；求导数(x);解不等式f(x)>0,解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的不间断区间为减区问。反过来，也

2、可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数，则(x)之0(其中使f(x)=0的x值不构成区问)；(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数，则(x)£0(其中使f'(x)=0的x值不构成区问)；(3)如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f'(x)=0恒成立。 2.求函数的极值：设函数y=f(x)在x0及其附近有定义，如果对M附近的所有的点都有f(x)Af(x)(或f(x)<f(xj),则称f(x0)是函数f(x)的极小值(

3、或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f'(x)=0的全部实根，x1<x2<|<xn，顺次将定义域分成若干个小区问，并列表：x变化时，f'(x)和f(x)值的变化情况：x(-°0,x1)x1(K,x2)xn(xn,ff(x)正负0正负0正负f(x)单调性单调性单调性(4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。 3.求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在X0,使得对任意的x三I,总有f(x)<f(X0),则称f(Xo)为函数在定义域上的

4、最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。 4.解决不等式的有关问题：(1)不等式包成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f(x)(xA)的值域是a,b时,不等式f(x)<0包成立的充要条件是f(x)max<0,即b<0；不等式f(x)0包成立的充要条件是f(x)min>0,gPa>0of(x)(xwA)的值域是(a,b)时,不等式f(x)<0包

5、成立的充要条件是b<0；不等式f(x)>0包成立的充要条件是a>00(2)证明不等式f(x)<0可转化为证明f(x)max<0,或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)<f(x0)<0。 5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。【考点例题解析】一、导数单调性、极值、最值的直接应用例题1.(切线)设函数f(x)=x2-a.(1)当a=1时，求函数g(x)=xf(x)在区间0,1上的最小值；(2)当aA0时，曲

6、线y=f(x)在点P(x1，f(x1)(x1aJI)处的切线为l,l与x轴交于点A(x2,0)求证：x1x2a.例题2(天津理20,极值比较讨论)22x.已知函数f(x)=(x+ax2a+3a)e(xwR)，其中aR当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;2当a#一时，求函数f(x)的单调区间与极值.3变式1.(最值，按区间端点讨论)一一a3已知函数f(x)=lnx.(1)当a>0时，判断f(x)在te义域上的单倜性；(2)右f(x)在1,e上的年小值为一，求a的值.x2122 .已知函数f(x)=x-axTn(1+x),其中a=R.2(i)若x=2是f(x)的极

7、值点，求a的值；(n)求f(x)的单调区间；(田)若f(x)在0,十出)上的最大值是0,求2的取值范围3 .已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex.x+1若函数()(x)=f(x),求函数4(x)的单调区间；x-1设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0)处的切线，证明：在区间(1,+8)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.二、交点与根的分布1、(交点个数与根的分布)2已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x10x的一个极值点.求a；求函数f(x)的单调区间；若直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围.2.(利用的结论，转化成根的分布分题

8、)ax已知a=R,函数f(x)=+lnx1,g(x)=(lnx1)e+x,(其中e为2.718)x(I)求函数f(x)在区间(0,e上的最小值；Xo的值；若不(ii)是否存在实数xow(0,e,使曲线y=g(x)在点x=&处的切线与y轴垂直？若存在，求出存在，请说明理由。变式1.已知函数f(x)=x,函数g(x)=?f(x)+sinx是区间-1,i上的减函数(i)求九的最大值；(II)若g(x)<t2+Kt+1在xw-1,1上恒成立，求t的取值范围；(田)讨论关于x的方程lnx2=x2ex+m的根的个数.3.22.已知函数f(x)=ax+bx-3x(a,b=R)在点(1,f(1)

9、处的切线方程为y+2=0.求函数f(x)的解析式；若对于区间12,2上任意两个自变量的值为？2都有f(x1)f(x2)Mc,求实数c的最小值;若过点M(2,m/m¥2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.三、不等式证明1、作差证明不等式1 .(最值、作差构造函数)已知函数f(x)=ln(x+1)x.求函数f(x)的单调递减区间；1(2)若x>-1,求证：1<ln(x+1)<x.xI2 .(转换变量，作差构造函数，较容易)122.已知te乂在正实数集上的函数f(x)=x+2ax,g(x)=3alnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(

10、x)有公共点，且在该点处的切线相同.用a表示b,并求b的最大值；求证：当x>0时，f(x)>g(x).3 .(字母替换，构造函数)2设函数f(x)=x+aln(1+x)有两个极值点X、x2,且x1<x2求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；,1-2ln2证明：fx2.42、变形构造函数证明不等式1 .(变形构造新函数，一次)已知函数f(x)=(a+1)lnx-ax.试讨论f(x)在定义域内的单调性；|f(x)-f(七)|/当a<1时，证明：Vx，x2W(0,1),>1.求实数m的取值范围.|X-x2|2 .(变形构造函数，二次)2.已知函数f(x)=(a1)ln

11、xax1.讨论函数f(x)的单调性；设a<1,如果对任意xi,x2w(0,依)，|f(x1)f(x2)|>4|xi-x2|,求a的取值范围3、替换构造不等式证明不等式127,_一、，、1、(第3问用第2问)已知f(x)=lnx,g(x)=x+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图像都相切,22且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。(I)求直线l的方程及m的值；(II)若h(x)=f(x+1)g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值。b-a(III)当0<b<a时，求证：f(a+b)-f(2a)<

12、.2a2、(替换构造不等式)axb已知函数f(x)=在点(-1,f(-1)的切线方程为x+y+3=0.x1求函数f(x)的解析式；设g(x)=lnx,求证：g(x)>f(x)在xw1,y)上恒成立；(反比例，变形构造)(替换构造)已知0<acb,求证:Inb-lna2a-u'-2T2b-aab一.b_.一.一3、已知f(x)=ax+22a(a>0)的图像在点(1,f(1)处的切线与直线y=2x+1平行.x(1)求a,b满足的关系式；(2)若f(x)之21nx在1,+笛)上恒成立，求a的取值范围；1111nn(3)证明：1+-+-+川+二一->-121)1)+-(

13、nQGcn*)352n-1222n11四、不等式恒成立求字母范围1、恒成立之最值的直接应用1、(导数第3大题，最值的直接应用)x已知函数f(x)=(x-k)2ek。求f(x)的单调区间；，八、一1若对于任意的xu(0,F),都有f(x)<一,求k的取值范围e102、恒成立之分离常数2、(分离常数)，、a,，一已知函数f(x)=-lnx-1,aR.x(i)若y=f(x)在P(1,y0)处的切线平行于直线y=x+1,求函数y=f(x)的单调区间;(2)若aa0,且对xw(0,2e时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围2、(恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)已知函数1ln(x-

14、1)f(x)=-(x0).x(I)试判断函数f(x)在(0,十/)上单调性并证明你的结论;(n)k若f(x)>值成立，求整数k的最大值；(较难的处理)x1(m)求证：(1+1X2)(1+2X3)1+n(n+1)>e2n-3113、恒成立之讨论字母范围1、(利用均值，不常见)设函数f(x)=ex-e'.证明：f(x)的导数f(x)>2-若对所有x>0都有f(x)>ax,求a的取值范围.2.已知函数f(x)=b(x+1)lnxx+1,斜率为1的直线与f(x)相切于(1,0)点.(i)求h(x)=f(x)-xlnx的单调区间；12(n)当实数0<a<

15、1时，讨论g(x)=f(x)-(a+x)lnx+ax的极值点。2(m)证明：(x-1)f(x)-0.五、导数结合三角函数1、已知函数f(x)=x,函数g(x)(x)+sinx是区间-1,1上的减函数.(I)求九的最大值；(II)若g(x)<t2+M+1在乂1,1上恒成立，求t的取值范围;12lnx2c(田)讨论关于x的方程=x2ex+m的根的个数.f(x)22、设函数f(x)=-x(x-a)(x=R),其中a=R.(i)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(n)当a#0时，求函数f(x)的极大值和极小值；(田)当a>3,kw1,0】时，若不等式f(kcosx)1f(k2cos2x)对任意的xwR恒成立，求k的值六、函数与导数性质的综合运用1、