多元函数求极值拉格朗日乘数法

1、页眉内容第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（xo，y。）的点，如果都适合不等式产If（x,y）<f（x。，y。）UJ7./则称函数f（x，y）在点（x0，y。）有极大值f（x0,y。）。如果都适合不等式f（x,y）>f（x0,y。）则称函数f（x，y）在点（

2、x0，y。）有极小值f（x0,y。）.极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。-22例1函数z=3x+4y在点（。，。）处有极小值。因为对于点（0,0）的任一邻域内异于（0,0）的点，函数值都为正，而在点（0,0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0,0,220）是开口朝上的椭圆抛物面z=3x+4y的顶点。例2函数z=-«x2+y2在点（0,0）处有极大值。因为在点（0,0）处函数值为零，而对于点（0,0）的任一邻域内异于（0,0）的点，函数值都为负，点（0,0,0）是位于x°y平面下方的锥面z=-4x2+y2的顶点。来源于网络页眉内容例3函数z

3、=xy在点（0,0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0,0）处的函数值为零，而在点（0,0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数z=f（x，y）在点（x°，y0）具有偏导数，且在点（x°，y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设z=f（x,y）在点（刈，火）处有极大值。依极大值的定义，在点（x0，y”的某邻域内异于（x0,y。）的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取y=%,而x#%的点，也应适合不等式产'I这表明一元函数f（x，y0）在x=x0处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面z

4、=f（x，y）在点（x0,y0，z0）处有切平面，则切平面i成为平行于x°y坐标面的平面z-4=0。仿照一元函数，凡是能使fx（x，y）=0，fy（x，y）=0同时成立的点（x0,y0）称为函数z=f（x，y）的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0,0）是函数z=xy的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x。,yO）=0,fy（x°,y。）=0令则f（x，y

5、）在（x0,y。）处是否取得极值的条件如下：2（1） AC-B>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；来源于网络页眉内容2（2） AC-B<0时没有极值；_9（3） AC-B=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2,我们把具有二阶连续偏导数的函数z=f（x，y）的极值的求法叙述如下：第一步解方程组求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点（x0，y。），求出二阶偏导数的值A,B和C。产'I第三步定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f（x0，y。）是否是极值、是极大值还是极小值。3322例

6、1求函数f（x，y）=x-y+3x+3y-9x的极值。解先解方程组求得驻点为（1，0）、（1,2）、（-3，0）、（-3,2）。再求出二阶偏导数在点（1，0）处，AC-B2=126>0又AA0,所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=-5；2在点（1,2）处，AC-B，2（-6）<0,所以f（1,2）不是极值；在点（-3，0）处，AC-B2=-126<0,所以f（-3，0）不是极值；2在点（-3,2）处，AC-B=-121-6）>0又a<0所以函数在（-3,2）处有极大值f（-3,2）=31<来源于网络页眉内容例2某厂要用铁板作成一个体积为2吊的有盖长方

7、体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。2m解设水箱的长为xm,宽为ym,则其高应为xy,此水箱所用材料的面积22、A=2(xyyx)xyxy,22A=2(xy)即xy(x>0,y>o)可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(x，y)/>V''-J-'22Ax=2(y-2)=0令x,解这方程组，得：ix=312y=2,从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数z=f(x，y)在附加条件*(x,y)=°下的可能极值点，

8、可以先构成辅助函数其中£为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立£(x,y)+砚(x,y)=0,fy(x,y)y(x,y)=0,(1)(x,y)=0.来源于网络由这方程组解出x,y及九，则其中x,页眉内容y就是函数f(x，y)在附加条件下由(x，y)=0的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数在附加条件*(x,y,z,t)=0中(x,y,z,t)=0下的极值，可以先构成辅助函数其中兀，%均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这X'I样得出的X、V、z、t

9、就是函数wxy，乙"在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。21例3求表面积为a而体积为取大的长方体的体积。i解设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是在条件中(x,y,z,t)=2xy+2yz+2xz-a2=0(3下，求函数的最大值。构成辅助函数求其对x、v、z的偏导数，并使之为零，得到yz+2(y+z)=0xz2(xz)=0I、xy+2(y+z)=0(4再与(10)联立求解。来源于网络页眉内容因X、y、z都不等于零，所以由（11）可得xxzyx-yy=y+z,z=x+z.由以上两式解得将此代入式（10）,使得.6ax=y=z=6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点产I处取得。也就是说，表面积为a2的长方体中，以棱长为“a/6的正方体的体积为最大，最大体