多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学下册上海电机学院

1、、选择题第八章偏导数与全微分1.若u=u(x,y)是可微函数，且u(x,y)yx21,x,则,yAA.1B1C.-1D.1222.函数zx2y26x2y6DA.在点(-1,3)处取极大值C.在点(3,-1)处取极大值B.在点(-1,3)处取极小值D.在点(3,-1)处取极小值3.二元函数fx,y在点x0,y0处的两个偏导数fxxo,yo,fyxo,yo存在是函数f在该点可微的BA.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2一2一24.设u=x+2y2+3z+xy+3x-2y-6z在点0(0,0,0)指向点A(1,1,1)方向的导数A.5.3B.5.36C.5

2、.335.函数Zx3y33xybA.在点(0,0)处取极大值B.C.在点(0,0),(1,1)处都取极大值在点(1,1)处取极小值在点(0,0),(1,1)处都取极小值6.二元函数fx,y在点x0,y0处可微是x,y在该点连续的AA.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.7.已知ysiny0(01),既非充分也非必要条件则dy=BdxA.cosyB.C.8.函数50201cosyD.cosy1cosyzxy(x>0,y>0)A.在点(2,5)处取极大值C.在点(5,2)处取极大值B.D.在点(2,5)在点(5,2)处取极小值处取极小值9.二元函数fx,y在点x0,

3、y0处连续的是fx,y在点X0,外处可微的AA.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t,y=t2,z=t3所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有BA.1条B.2C.3条D.不存在A.设f(x,y)xyf"yxxy42yxB.C.22xy44yxD.22yx44yx12.为使二元函数f(x,y)y沿某一特殊路径趋向y(0,0)的极限为2,这条路线应选择A.B.C.xyD.22x万y13.f(x,y)满足且f(x,1)2,fy(x,1)x1,则f(x,y)BA.y2(x1)y2b.y(x1)y2C.(x1)y2D.2_y(x1)

4、y214.设f(x,y)3x2y,则f(xy,f(x,y)A.3xy4x4yB.xyx2yC.3xy6x4yD.3xy4x6y215.为使二元函数f(x,y)2xy2在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为BxyA.-1B.0C.1D.16.已知函数f(xy,xy)f(x,y)yA.2x2yB.2x2yC.xyD.xy!2217 .若f(X)匕(x0),则f(x)BxxA.xD.18 .右zy,则在点D处有yx(e,e)A.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.219 .设zxy,则下列结论正确的是A22A.-0B.xyyx22C.一-z0D.两者大小无法确定xyyx0,20.函数f

5、(x,y)11xsinysin,yx(A)等于1(B)等于2(C)xy0,则极限limf(x,y)(C)xy0x0y0等于0(D)不存在21.函数zxy在点(0,0)(D).（A）有极大值（B）有极小值（C）不是驻点（D）无极值22.二元函数z&_y2在原点（0,0）处（A）.（A）连续，但偏导不存在（B）可微（C）偏导存在，但不连续（D）偏导存在，但不可微23.设uJx2y2z2,f（r）具有二阶连续导数，则(B) .1(A)f''(r)-f'(r)(B)rc1.1.(C) f''(r)-f'(r)(D)rrf''(r)

6、-f'(r)r1.2.-2f''(r)-f'(r)rr24.函数zf（x,y）在点（x0,y°）处连续是它在该点偏导存在的（D）（A）必要而非充分条件（B）（C）充分必要条件（D）25.函数z1x2y2的极大值点是充分而非必要条件既非充分又非必要条件（D）.(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26.设f(x,y)arcsinj，,则fx(2,1)(B)(A)(C)(D)27.2极限lim4xy2(B).x0x4y2y0(A)等于0(B)不存在(C)(D)存在且不等于28.zf(x,y)若在点P0(x0,y0)处的两个一阶偏导

7、数存在，则(B)(A)f(x,y)在点Po连续(B)f(x,y0)在点x0连续(C)dz|Pdxz|Pdyx0y0(D)A,B,C都不对29.设函数zxy,则dz=(Ay1.y.(A).yxdxxlnxdy(B)y1.yxdxxydy(C).xydxxylnxdy(D).yxy1dxxylnydyz30.已知u2lnv,ux一，vyrrzxy,贝1Jy咨nxy(A)y(B)与lnxyy当lnxy(C)y(D)2xlnxyyx2y31.函数z=.1x2(A.)(C.)D=(x,y)|xD=(x,y)|x2y的定义域是(D+y2=1+y2<1(B.)(D.)D=(x,y)|xD=(x,y)|

8、x2+y212+y2132.设f(x,y)xy2x,则下列式中正确的是(y33.设(A)(C)f(y,x)f(x,y)；f(x,y)；2(D);(B)f(xy,xy)f(x,y)；(D)f(x,y)f(x,y)(A)Xexsiny；(B)XXesiny；(C)ecosy；(D)一X一一esiny34.已知f(Xy,xy)f则x(C);(A)2x2y；(B)y；(C)2x2y(D)x35.设z2x23xy(A)6(B)3(C)-2(D)2.36.设(A)(C)37.(A)xo,yoflimX0xox,y0fX0,y()lim(B)xfX00x,yfxo,y0xox,yofx设由方程38.二次函数

9、A.1C.xo,ylim(D)xfX0X,yo0x(B)xyz0确定的隐函数X,y,则二Xln(4<x2(C)y2)39.f（x,y）在点（x,y）处的偏导数A.充分必要条件;40.抛物面z(D)y21B.D.1的定义域是（fX(x,y)和fy(x,y)连续是f(x,y)可微分的(B)B.充分非必要条件；C.必要非充分条件;D.非充分又非必要条件。上点P处的切平面平行于平面2xy30,则点P的坐标是(c)1c、A.(1,2,0)；B.115(1,1,0)；c.(1,2，5)；D.15(1,2，；)41.设zexy2yx则二Iy(1,2)(B)A.e1；B.C.2e1；D.2e1。42.设

10、二元函数3x23y29x的极小值点是(A)A.(1,0);B.(1,2)；C.(-3,0);D.(-3,2)u43.设1,1(A)(B)(C)-1(D)144.设zx，y是由方程xyzSin(xyz)决定的隐函数，则(A)45.(A)二、填空题1.lim22.函数3.limy04.5.6.7.8.sinyz(B)yzcosyz(C)yz(D)xye(1u=ln(2yx,1,2(B)e21(C)2e(D)2ex一)yx2sin(xy)2已知zlim(x,y)(曲线y2z2)在点M(1,2,-2)的梯度gradu=21,2,-2)9f(xy)是可微函数，则''dzyf(xy)dxx

11、f(xy)dyxy(0,0)xy42-22227yyz,贝Ugradrrrr2xi2yj2zk2_y在点(1,1,73)处的切线与Y轴的正向夹角是ln(x222xrz),贝Ugradr-22ixyz2y222xyzr2zj222xyz9.函数zX%的间断点是xy033xy10 .函数uxyz在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)的方向导数是_011 .函数ulnxyz的定义域是(x,y,z)x0,y0,z0或x0,y0,z0或x0,y0,z0或x0,y0,z012 .二元函数zJln?4?arcsin)的定义域是1x2y24x2y2x2y22213 .函数u3xy2y4x6z在原点?O'

12、;向l2,3,1的方向导数为14 .函数zln(xlny)的定义域是(x,y)|x0,y1或x0,0y1xxy1z215 .曲面exxyz3在点(0,1,2)处的法线方程为一-20116 .极限lim2341j0xy417 .若f(x,y)3x2y,则fxy,f(x,y)6x4y3xy18 .设有函数u(x,y,z)xyz,则du|(i,2,2)4dxdz2219 .函数z1xy的极大值点是(0,0)20 .设函数uxy2z3,r也,0,灭,则方向导数，加22-21.设函数z乙乙l1,1,1fxy,x2y2可微，则xf12yf2y22.一,、一一.22.曲面z2xy上一点(1,-1,3)处的切

13、平面万程为4x2yz302223.4zxy在点P(0,1,3)处的切平面万程2y+z=5,法线万程、,2224、设ze,则全微分dz=_2exydxxdy25、设z=11n(x22工则2xy222(xy)26、已知f(xy,xy)2f(x,y)y,xf(x,y)y2x2y27.limx0y0xy28.已知ln-y29.已知1.解:zsinxy,则dz计算与证明设z=f(x+y,xy)dzycosxydxxcosxydy的二阶偏导数连续，-=f1xf22=f11xyf12(xy)xyf22f22.求平面xy34解：设(x,y,z)z22一1和柱面xy10是交线上任一点，由已知,1的交线上与xoy

14、平面距离最短的点距离函数f(x,y,z)=z又设L(x,y,z,z101)(x2y21)LxLyLz(2)2zx32x10y42yz101(1)与(2)相比，得:(4)代入(5),得：x从而得交线上的两点:3-x,4相应的有:/4335、。石)354385、5,5,6)其中：点（4,3,5535到xoy平面的距离是一6点（4比较得：所求点是（4523.证明极限limyx0y'y0x4385、，一一,，一一85一,一,一）到xoy平面的距离是一5566335、5,6不存在y证明：当（x,y）沿着曲线y2=x趋于(0,0)时,2.xylimx0y'y0x=limyy(4'。

15、小当(x,y)沿着曲线2，一2y=x趋于（0,0）时,lim2xy2x=limy4y02y44y42y45所以，极限lim2xy2y4不存在4.设z=xf(xy,ey),解：=fxf1xy-Z=2xf1xyeyf2x2yf11xyeyf125.求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sin-,在点2M(一21,1,2J2）处的切线及法平面方程解：因为xt=1-cost,yt=sint,ztct=2cos2而点M（1,1,2.2）所对应的参数为2t=点M的切向量T=1,1,22x1故点M处的切线方程为2z2.2点M处法平面方程为：x+y+22z=426.求曲面ezzxy3在点(2,1,0

16、)处的切平面方程及法线方程解：令F(x,y,z)=ezzxy3则Fxy,Fvx,Fzex1xyz故Fx'(2,1,0)1,Fv'(2,1,0)2,Fz'(2,1,0)0xyz因此：点(2,1,0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0x2y1点(2,1,0)处的法线方程为2z07. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：ycos(xy),sin(xy)ycos(xy)xy故：dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dygradz=(ycos(x+y),sin(x+y)+ycos(x+y)xyb0，一

17、一22.一,8.设直线l:在平面上，而平面与曲面zx2y2相切于点xayz30M(1,-2,5),求a,b之值解：点M处曲面的法向量n=2x,2y,-1M=2,-4,-1点M处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即:2x-4y-z-5=0,此即平面之方程由直线代入解得：a=-5,b=-2l可得y=-x-b,z=x-a(x+b)-3得:(5+a)x+4b+ab-2=09.设函数z=f(u,v),x则u,v具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y,v=一y解:f210.2z6fxy''11(加0,0)/24、5(xy)是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理

18、由。解：不存在。网(7y0(x66xy!4-3y)lim,x0,y2x(x245y)9.xlim2-5x0(2x2)511.求u关于x,y,z的一阶偏导数:解:uzyz1一yxxz1yz.zyxlnxzxyyzlnxlny12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值:2z(xy1)解:函数定义域R2。因为z0,故xy0时极小；无极大。13.解:2(xy1)0解方程组xz2(xy1)0可知函数驻点分布在直线xy10上。对于此直线上的点都有的各点取得极小值z(x,y)m(0,0)(x2y2产22222、xVlim(xy)(x,y)(0,0)而x2y2ln(x212222x,yh%,0)4(xy)1n

19、(x14.求u的一阶全微分：u解：du15、求函数方向导数。0。0。但是zlime(x,y)(0,0)222xyln(xy2)0恒成立。所以函数在直线xy10上y2)22ln(xy2)y2)0,。故原式=e°1-22z22(xdx(xy)ydy)dz-2x=在点2zM(1,2,-2)沿曲线t2t2在此点的切线方向上的2t4解：-u3，x222«(xyz)2xy3，/222/2(xyz)xzz/2(x3°z2)2在点(1,2,-2)它们的值分别是14曲线在该点切线方向余弦为-，998278227227方向导数为ul8127g9242(27)9927g(89)1624

20、316.lim(x,y)(0,a)sin(xy)sin(xy)解：lim=(x,y)(0,a)xlim(x,y)(0,a)sin(xy)agy=axy17.求由下式决定的隐函数z关于x和y的一阶偏导数:(xyz)xyze。解：等式两端对x求偏导数，得1e(xyz)(故1。利用对称性可得x18.用拉格朗日法求条件极值:2xy，一a(a0,b0)解：设F(x,y)(-a1),解方程组2x2y可得222a2b2b?,xab2a2b2a2ba2b2由于当x时都有z。故函数只能在有限处取得极小值(最小)值:ab2b2,ya2ba2b2时，函数取得极小2b2(最小)值z-4-ab19.求极限1lim一x0

21、y01sin(xy).Hxy.x2y1sin(xy)-2xyxylimx0y0(1、x2y1)(1；x2y1)sin(xy)x2y(1x2y1)xy(2分)1sin(xy)lim(1分)；01：x2y1xy1(2分).2220 .设zf(x2y2,xy),求.xy解：f1'2xf2'y2xf1'yf2',(2分)x22xfn''(2y)f12''xf2'yf/'(2y)f?2"xxy4xyfn''2x2f12''f2'2y2f21''xyf22

22、9;'(3分).21 .求抛物面zx2y2到平面xyz10的最近距离。22斛：设M(x,y,z)在zxy上，M到xyz10的距离为d,则d|xy-z11(1分)，,32,2(xyz1)d.3222记L(x,y,z,)(xyz1)(xyz),Lx2(xyz1)Ly2(xyz1)令Lz2(xyz1)Lx2y2z02x0(2分)所以d解得：xy2,z2(2分).1_11.321|(2分).22.求曲面z22.xy上与平面2x4yz0平仃的切平面万程。解：曲面22,xy的切平面的法向量为ni2x,2y,1(2分)，平面2x4yz0的法向量为2,4,1.要使切平面与平面2x4yz0平行，必有n&

23、quot;/n2,即解之得,因此为2(x23.函数z解:24.解:2x万i,y2,1)4(y所以从而z5(2分).2)(z5)0,，y，arctan-,求dz|(ii).x(i,i)(i,i)2(2分),(i,i)(i.i)i2y2x(i.i)(i.i)dz|(i,i)1dx2dy(i分).设函数zz(x,y)由方程x2xf(-)确定，求卫。(方法一)令F(x,y,z)xfd).x则Fx2xfd)x巧心,Fy2yxx因此FxFzf(-)-f'(-)xxx2z2x一(3分)(方法二)方程x2y2z2xf(-)两边对x求导，并注意z是x,y的函数，得x2x2z-fd)xf'(y)(

24、斗)fd)Yf'd),xxxxxxx解得fd)-f'(-)2xxxx2z25.如何将已知正数a分成两个正数x,y之和，使得xpyq为最大，其中p、q是已知的正o解：由拉格朗日乘数法，令L(x,y,)xpyq(xya)(2分).p1qLxpxy0由Lyqxpyq10(2分)Lxya0解得驻点(_ap,四)(2分).pqpqf在驻又由题意当点(x,y)趋于边界x0或y0时，目标函数f趋于零，所以连续函数点取最大值。因此当x-ap-,y四一时，xpyq的值最大pqpq26.设zf(x,y)g(u,v),ux3,vxy,其中f,g具有一阶连续偏导数，求z.xzu'v解：一fxg

25、ugv一(2分)xxx2'y1'，一八、fx3xguyxgv(3分).27.求曲线x2t2,ycos(t),z21nt在对应于t2点处的切线及法平面方程。解：当t2时，对应点的坐标为(8,1,2ln2);又参数方程的切线方向向量为:n|t24t,sin(t),2|t28,0,1(2分)，x8y1z21n2小八、故切线万程为-(2分),801一，x88(z2ln2)或y10而法平面方程为8（x8）（z2ln2）0（2分）.28.求函数uxy2z3在点M0(1,1,1)处方向导数的最大值和最小值。解：u在点M0(1,1,1)处沿方向l的方向导数为：U,23-3-22、，(yzcos

26、2xyzcos3xyzcos)|M01M0cos2cos3cos(2分).令l0cos,cos,cos,g1,2,3),gl0|g|10|cos,为g与l0的夹角。M。要使取最大值，则cos=1,即=0,也就是g与l°同向时，取最大值,lM0lM0即：当l031,2,3）时，取最大值|g|J14（3分）.v14lM0同理，要使取最小值，则cos=-1,即=lM0,也就是g与l反向时，取最小lM0值，即：当l0二1,2,3）时，取最小值|g|疝lM044(3分).29.设函数zf(x2y,exy),求，.xy解：设ux2y,vexy,那么2xy，2VxyVxyx,一ye,一xexyfu

27、fVfxyf=2xy+yeuxvxuvzfufV2fxyf一一一一=x+xe-yuyvyuv30.设z333cczx,y是由xyzxyz60所确定的隐函数，求它在点（1，2,-1)处的偏导数xy的值。zMo3x解得xyyzMo1人?Mo=（1,2,1）（3分）5x3z2xyz3y2xz112（3分）5yMo3z2xyMo31.斜边长为m的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长.解：设两条直角边的边长为x,v,周长为S,则Smxy（1分）并满足x2y2m2.由F（x,y,）mxy222/r-八（xym）（2分）F12x0x（3分）令12y0y因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为m的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是2m。2zz32.设zeusinv,而uxy,vxy,求x,yzzuzvxuxvx=eusinvyeucosv1=euysinvcosv（3分）zzuzvyuyvyu_一u_=esinvxecosv1u_exsinvcosv33一设zfx2y2z2xfx（2分）-2yfy（2分）x0（2分）y34.求曲面ezzxy3在点2,1,0处的切平面与法线的方程x,y,zx2,1,0f1,y2,1,02,z2,1,0法线方程为切平面方程为35.将正数12分成三个正数