经典易错题会诊与试题预测(二)考点-2函数(1)

1、经典易错题会诊与试题预测(二)考点-2函数(1)函数的定义域和值域函数单调性的应用函数的奇偶性和周期性的应用反函数的概念和性质的应用借助函数单调性求函数最值或证明不等式综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题反函数与函数性质的综合经典易错题会诊命题角度1函数的定义域和值域1.(典型例题)对定义域D、Dg的函数y=f(x),y=g(x)，规定：函数h(x)=f(x)*g(x)f(x)g(x)当x三Df且x三Dg当x三Df且xTDg当x'】Df且XDg(1)若函数f(x)=丄,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式；x/中函数h(x)的值域.(1)f(x)的定义域D为(-8,1)U(1

2、|求问题(1)考场错解,g(x)的定义域Dg为R.h(x)=x2x-1丄x-11x(-：,1)(1,：)(x-1)(x=1)为(4,专家把脉-=x-1+丄+24.或h(x)=x-1x-1x-1x=1时，h(x)=1.综合，得h(x)的值域为1U4,+8.以上解答有两处错误：一是当xD但xFDg时，应是空集而不是xm1.二是求时，h(x)=(-8,0)U(0,+8).h(x)的值域h(x)的值域时，由xm1h(x)=对症下药f2x,x-1求h(x)=x-1+2的值域应分x>1和x<1两种情况的讨论.x7(1)/f(x)的定义域D=(-8,1)U(1,+8)g(x)的定义域是Dg=(-

3、8,+8).所以,x=1.(2)当x工1时，h(x)=-=X?-11=x-1+丄+2.x-1x-1X-1若x>1，则x-1>0,h(x)>2(x-1)+2=4.x-1当且仅当x=2时等号成立.若xv1，贝Ux-1<0.h(x)=-(x-1)-+2w-2+2=0.当且仅当x=0时等号成立.x-1当x=1时，h(x)=1.综上，得h(x)的值域为(-汽0)U1U4,+R.2. (典型例题)记函数f(x)=2_x七的定义域为A,g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(aw1)的定义域为B.x+1(1) 求A(2) 若B5A,求实数a的取值范围.考场错解(1)由2-x3>

4、;0,得x-1>0,.x<-1或x>1，即A=(-a,-1)U1,+8.xdx+1(2)由(x-a-1)(2a-x)>0得(x-a-1)(x-2a)<0当a=1时，B=?.B二A.当a<1时，a+1>2a,B=(2a,a+1),/BA,.2a>1或a+1w-1.即卩a>1或aw-2而aw1,丄waw1或aw-2.2 2故当BA时，实数a的取值范围是(-8,-2)U丄,1.2专家把脉由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中a=1时B=?，说明函数不存在，因此a=1不适合.对症下药(1)由2-x3>0,得X-1>0,x_3x

5、+1x<-1或x>1.即卩A=(-8,-1)U1,+a.(2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0,当a=1时，B=?,T定义域为非空集合，1.当a<1时，a+1>2a,.B=(2a,a+1),vB二A,.2a>1或a+1w-1，即a>丄或a2w-2.而a<1,丄waw1或aw-2,2故当B二A时，实数a的取值范围是(-8,-2)U丄,1.23. (典型例题)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M函数g(x)=.1-2的定义域为集合N.求勺-1(1) 集合MN(2) 集合MQNMUN.考场错解(1)由

6、2x-3>0解得x>色.M=x|x>色.由1-丄>0得x-1wx-3-1w-3.N=22x1?.(2)MQN=?.MUN=x|x>3.2专家把脉求集合N时解不等式1-L>0两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性x_1质，应先移项化为丄凶>0的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合N=?显g(x)然是错误的.对症下药(1)由2x-3>0，得x>3.M=x|x>-.由1-Z>0得_o=.(x-3)(x-1)2 2x_1x_1一X0x>3或x<1.N=x|x>3或x<1.3 33

7、(2)MN=x|x>-Ax|x>3或x>1=x|x>3.MUN=x|x>-Ux|x>3或x>1=x|x>-或x<1.2224.(典型例题)若集合M=y|y=2-x,P=y|y=.x_1，则MAP等于()a.y|y>1C.y|y>0d考场错解B.y|y>1.y|y>0选A或B专家把脉错误地认为是求函数y=2-x和y=.x-1的定义域的交集.实际上是求两函数的值域的交对症下药集合中的代表元素为y，两集合表示两函数的值域，又M=y|y=2-x=y|y>0,>0，故选C.P=y|y=,x-1=y|y>0.M

8、AP=y|y专家会诊1.对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用.考场思维训练1若函数y=lg(4-a2x)的定义域为R,则实数a的取值范围是()A.(0,+s)B.(0,2)C.(-a,2)D.(-a,0)答案：D解析：4-a2x.0的解集为R=a：:土在R上恒成立上O.a汕2x2x2已知函数f(x)的值域是-2,3，则函数f(x-2)的值域为()A.-4,1B.0,5C.-4,1U0,5D.-2,3答案：D解析：f(x-2)的图象是把

9、f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变3已知函数f(x)=lg(x-2mx+m+2)(1)若该函数的定义域为R,试求实数m的取值范围.答案：解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+2>0对一切实数x恒成立，2=(-2m)-4(m+2)<0,解得-1<m<2.(2)若该函数的值域为答案：由题设，得不等式已知函数f(x)=log经泸"或厶=4(1-a)2+8av0或2(1-a)R,试求实数m的取值范围.2=(-2m)-4(m+2)>0解得mK1或2.8n的定义域为R,值域为0,2，求实数mn的值.22答案：解析：f(x)=log3m

10、x28xn的值域是0,2.u=g(x)=mx28x“的值域为口，9.由x2+1X2+12u=mx28xn得(u-m)x2-8x+(u-n)=0.：xR,当u_m=0时=(_8)2-4<u_m)(u_n)_0.当u-m=0时上式仍成x21立，即有u2-(m+n)u+(mn-16)k0.关于u的方程u2-(m+n)u+mn-16=0有两根1和9,由韦达定理得，m+n二1+9解得口=门=5.即为所求。命题角度2函数单调性的应用1. (典型例题n)已知a>0,且函数f(x)=(x2-2ax)ex在-1,1上是单调函数，求a的取值范围.考场错解/f'(x)=ex(x2-2ax)+ex

11、(2x-2a)=exx2+2(1-a)x-2a又tf(x)在-1,1上是单调函数,f'(x)>0在-1,1上恒成立.即exx2+2(1-a)x-2a>0在-1,1上恒成立./ex>0,g(x)=x2+2(1-a)x-2a>0在-1,1上恒成立.4g(1)-0.解得：a?.故f(x)在-1,1上不可能为单调函数.专家把脉上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f'(x)>0或f'(X)K0在-1,1上恒成立.对症下药f'(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex

12、x2+2(1-a)x-2af(x)在-1,1上是单调函数.(1)若f(x)在-1,1上是单调递增函数.贝yf'(x)>0在-1,1上恒成立，即exx2+2(1-a)x-2a>0在-1,1上恒成立.tex>0.g(x)=x2+2(1-a)x-2a>0在-1,1上恒成立，则有丿一1'1或厶=4(1-a)2+8av0或严一心13()艺0$(1)30解得，a?.(2)若f(x)在-1,1上是单调递减函数，则f'(x)K0在-1,1上恒成立.exx2+2(1-a)x-2ak0在-1,1上恒成立.Tex>0.h(x)=x2+2(1-a)x-2ak0在-

13、1,1上恒成立.h(1)兰0M)兰o.当a总,+8时，f(x)在-1,1上是单调函数.2 .(典型例题)已知函数f(x)=ax+x_2(a>1)x+1(1)证明：函数f(x)在(-1,+8)上为增函数;用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.x2+1x1Tx2-1x1Tf(x)在(-1,+8)上是增函数.设X0为方程f(x)=0的负数根，则有x0a+X0-2=0.即aX0=2-X0=-1+3X0-1X0+1X0-1XoM-1，当-1<X0<0时，0<X0+1<1.3>3,-1+3>2,1x0而_va<1与矛盾.1-X01-X0a考场错解(1)设-

14、1vxiVX2,f(x2)-f(xi)=ax2+X22_ax_X12=ax2-ax1+X22_X12>0.原方程没有负数根.专家把脉第(1)问错在用定义证明函数单调性时，没有真正地证明f(x2)>f(x1).而只是象征性地令f(x2)-f(x1)>0这是许多学生解这类题的一个通病.第问错在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件,因而除了上述证明外，还需证明Xo<-1时，方程也没有负根.对症下药(1)设-1<X1<X2,f(x2)-f(x1)=ax2+X22_日対_2=x2+1X<|+1ax2-ax1+x2J_X1_2=ax1(ax2-x1_1)+(x1

15、*1)(x22)(x12)(X2"H)=ax1(ax2-x1)+x1)x2也x1+1(x2+1)(x1北)(x2+1)(x1+1)/X2-x1>0,又a>1,ax2-x1>1.而-1<x1<X2.X1+1>0,X2+1>0. f(x2)-f(x1)>0 f(x)在(-1,+8)上为增函数.设X0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+x-2=0.即卩X0十1X0十1_3_(1+x°)=_1+3X0+1X0+1显然XoM-1,当0>X0>-1时，1>X0+1>0,>3,-1+>2.而丄<

16、axO<1.这是不可能的,1x01-x0a即不存在0>X0>-1的解.当X0<-1时.X0+1v013X0<0,-1+13X0V-1，而aX0>0矛盾.即不存在X0<-1的解.3.(典型例题)若函数f(x)=l0ga的取值范围a(x3-ax)(a>0且a工1)在区间(-,0)内单调递增，则2是()13A. 1,1B.3,14 4c.9，+8d.(1，-9)44考场错解A当a(0,1)时，要使f(x)=loga(x3-ax)在区间(-丄，0)上单调递增.x3-ax>0在2(-1,0)上恒成立，(-丄)3+a0a>1.综合得a丄，1.当a

17、>1时，x3-ax>0在(-丄,0)上不可能222442成立.专家把脉上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定义域，这样的答案肯定是错误的.3对症下药设(x)=x-ax当0vav1时，依题意，(x)在(-1,0)上单调递减且(x)在(-,0)上大于0.22(x)=3x2-a.即(x)w0在(-丄，0)上恒成立=a>3x2在(-丄,0)上恒成立.22/x(-1,0)3x2(0,3).24 a>3.此时(x)>0.3wa<1.44当a>1时，(x)在(-丄，0)上单调递增，2(x)=3x2-a>0在(-1,0)上恒成立.2 a

18、w3x2在(-丄，0)上恒成立.2又3x2(0,-)aw0与a>1矛盾.4 a的取值范围是3,1.4故选B.专家会诊1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域.2.函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是增(减)函数，不能说f(x)在(a,b)U(c,d)上一定是增(减)函数.3 .设函数y=f(u),u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=fg(x)在其定义域上也是单调函数.若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=fg(x)是增函数；若y=f(u),u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=fg(x)是减

19、函数.列出下表以助记忆.y=f(u)u=g(x)y=fg(x)/上述规律可概括为“同性则增，异性则减”考场思维训练1 函数f(x)对任意实数x都有f(x)<f(x+1)那么()A. f(x)是增函数B. f(x)没有单调减区间C. f(x)可能存在单调增区间，也可能不存在单调减区间D.f(x)没有单调增区间C解析：根据函数单调性定义进行判断2函数y=log1(x'3x+2)的单调增区间是.单调递减区间是.2解析：(-R,1),(2,+R)根据复合函数单调性法则进行求解。3如果函数f(x)的定义域为R对于任意实数a,b满足f(a+b)=f(a)f(b).(1)设f(1)=k(k丰0

20、)，试求f(n)(nN*)答案：解析(1)；f(n1)=f(n)f(1),.f(n°=f(1)=k=0.“(n)是以k为首项，k为公比的等比数例”f(n)=f(1)*f(1)n=kn.(nW：)f(n)(2)设当xV0时,f(x)>1,试解不等式f(x+5)答案：(2)对任意的x：=R,f(x)=f(；)=f2(；)_Q假定存在冷FR,使f(Xo)=0,则取x：:0,有f(x)=f(x_x冷)=f(xXo)(Xo)=0.这与已知相矛盾则f(-0,于是对任意x-R,必有f(x)>0.f(0)=f(0+0)=f2(0)工0./f(0)=1,设x1<x2,则x1-x2&l

21、t;0则f(x1-x2)>1,又Tf(x2)>0.二f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)?f(x2)>f(x2).f(x)为R上的减函数，解不等式f(x+5)>f(x)f(x)>0,不等式等价于f(x+5)?f(x)>1.即f(2x+5)>f(0),又Tf(x)为减函数，2x+5<0.解得不等式的解集为X|x：:-54是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是减函数？1答案：解析：设:(x)=ax2-x=a(x-2-)2-4-当a>1时，要使f(x)在区间2,4上是减函数，则有:2a-4=|=(4

22、).0aJ814a三？当0<a<1时,要使f(x)在2，4上是减函数，则有1<22a一(2)-01即:a:：12综合，得存在实数a,且a的范围为(丄,1).2命题角度3函数的奇偶性和周期性的应用1.(典型例题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x3,4时,f(x)=x-2贝U()Af(sin丄)vf(cos丄)B22f(sin)>f(cos)33Cf(sin1)vf(cos1)D.f(sin考场错解A由f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1,0上是增函数又f(x)为偶函数.f(x)=f(-x)|)vf(c

23、os|)知T=2为f(x)的一个周期.设x-1,0知x+43,4x0,1时,f(x)=x+2,即f(x)在0,1上也是增函数.又Tsin丄vcos-f(sin丄)vf(cos丄).2222专家把脉上面解答错在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图像不熟悉.对症下药C由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设x-1,0，知x+43,4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1,0上是增函数.又f(x)为偶函数，f(x)的图像关于y轴对称. f(x)在0,1上是减函数.1111A:sin<cosf(sin)>f(

24、cos)22222B:sin>cos:f(sin)>f(cos).3333C:sin1>cos1二f(sin1)<f(cos1)故正确答案C.2. (典型例题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-g,0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)V0的x的取值范围是()A.(-g,2)B.(2,+g)C.(-g,-2)U(2,+g)D.(-2,2)考场错解Cf(-x)=f(x)V0=f(2).x>2或x<-2.专家把脉以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反.错误地认为f(x)在0,+g上仍是减函数，导致答案选错.对症下药DTf(x)是偶函数，f

25、(-x)=f(x)=f(|x|).f(x)<0.f(|x|)Vf(2).又/f(x)在(-g,0)上是减函数，f(x)在0,+g上是增函数，|x|V2=.-2<x<2.选D.3. (典型例题)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=1对称，则2f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=考场错解填-f(0)f(x)是定义在R上的奇函数，f(-x)=-f(x).又f(x)的图像关于x=!对2称. f(x)=f(1-x)f(-x)+f(-x+1)=0. f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0

26、. f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0)专家把脉上面解答忽视了奇函数性质的运用.即f(x)在x=0处有定义二f(0)=0.对症下药填0依题意f(-x)=-f(x).f(x)=f(1-x).f(-x)=-f(1-x)即f(-x)+f(1-x)=0f(x)+f(x-1)=0f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.又/f(x)在x=0处有定义，f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O.4 .(典型例题)设函数f(x)在(-g,+g)上满足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x)，且在闭

27、区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0.(1) 试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2) 试求方程f(x)=0在闭区间-2019,2019上根的个数，并证明你的结论.考场错解依题意f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x).f(4-x)=f(14-x),f(x)=f(x+10)f(x)是以10为周期的函数,f(3)=0.f(-3)=f(7)=0. f(3)=f(-3)=-f(3).f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由(1)知f(x)是周期为10的周期函数，又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0.故f(x)在0,10上有两个解，从而可知函数y=f(x)

28、在0,2019上有401个解.-2019,0上有401个解，所以函数丁y=f(x)在-2019,2019上有802个解.专家把脉(1)对题意理解错误，题设中“在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0”说明除了f(1)、f(3)等于0外再不可能有f(7)=0.因f(x)在R上既不是奇函数，又不是偶函数.不能认为x0,10,-10,0上各有两个解，则认为在0,2019与在-2019,0上解的个数相同是错误的，并且f(x)=0在0,2019上解的个数不是401个，而是402个.对症下药由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数丁y=f(x)的对称轴为x=2和x=7.从而知函数

29、y=f(x)不是奇函数.由，f(2)=f(2十x)f(x)=f(4_x)二f(4-x)=f(14-x)二f(x)=f(x+10).从而知f(x)是周期为10的f(7_x)=f(7+x)J(x)=f(14_x)周期函数.又f(3)=f(1)=0,而f(7)=f(-3)丰0.故函数y=f(x)是非奇非偶函数.(2)由知f(x)是以周期为10的周期函数.f(1)=f(11)=f(2001)=0f(3)=f(13)=f(2003)=0f(x)=0在0,2019上共有402个解.同理可求得f(x)=0在-2019,0上共有400个解.f(x)=0在-2019,2019上有802个解.专家会诊1函数奇偶性

30、定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行化简.2 要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化关系和图像的对称性解决有关问题.3 解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数：二f(x)=f(-x)=f(|x|).(2)若奇函数f(x)的定义域包含0,贝Uf(0)=0.考场思维训练1 f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)是奇函数，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2019，贝yf(2019)的值为()A.2019B.-2019C.-2019D.2019答案：D解析：由题设条件易得f(x+4)=f(x),f(2019)

31、=f(2).又f(-2)=g(-1)=2019.f(2019)=2019.x2,x-1,2 函数f(x)=lg(1+x),g(x)=彳o,|x|Y1,h(x)=tan2x中是偶函数.-x2,xM,答案：解析：f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x).当x0,2时，f(x)=2x+x(1)求证:f(x)是周期函数；答案：解析：(1)f(x+2)=-f(-x),/f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是周期为4的周期函数。(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；答案：当x-2,0时，-x0,2,由已知得f(-

32、x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2.f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0,/f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数。f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2_6x+8.因而求得x2,4时f(x)=x2-6x+8.(3) 计算:(0+)f(1)+f(2)+f(2004)答案：f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又f(x)是周期为4的周期函数。f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2000)+f(2001)

33、+f(2002)+f(2003)=0.又f(2004)=f(0)=0,f(0)+f(1)+f(2)+f(2004)=0.4设a、bR,且a丰2定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg-_ax是奇函数，求b的取值范围.1 +2x+ax&f(-x)=-f(x)答案：解析：f(x)=lgax(-b:x:b)是奇函数，等价于，对任意x(-b,b)都有：12ax1+2x->0J+2x式即为lgF2汁需.即a2x2=4x2.此式对任意x(如)都成立相当于a2=4,a工2,-a=-2.代入得上空.01 +2x即-1ex£!此式对任意xE(-bb)都成立相当于-1E-bbc丄所以得

34、b的取值范围为(0丄2 2'222命题角度4反函数的概念和性质的应用1.(典型例题)函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是()A.a(-1)B.a2,+8C.a1,2D.a(-8,1)u2,+8考场错解选A或B/a(-8,1f(x)在区间1,2上是增函数.二f(x)存在反函数.当a2,+8).对称轴x=a在区间1,2的右侧，f(x)在1,2上是减函数.f(x)存在反函数.专家把脉上面解答只能说明A或B是f(x)存在反函数的充分条件，并不是充要条件.对症下药一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单调函数.对称轴x=a不应在(1,2)内

35、，a<1或a>2.故选C.2.(典型例题I)y=.2x-x2(1wxw2)的反函数是()A.y=1+,1_x2(-1wx<1)B. y=1+.1_x2(0wx<1)C. y=1-J-x2(-1wxw1)*2D.y=1-1x(owxw1)考场错解CTy2=2x-x2./(x-1)2=1-y2.x-1=-J-y2,/.x=1-.1_y2.x、y对换得y=1-1_x2又1-x2>0.-1wxw1.因而f(x)的反函数为y=1-j_x2(-1wxw1).22专家把脉上面解答有两处错误(一)1wxw2,x-1>0.由(x-1)=1-y开方取“正号”而不是取“负号”；(

36、二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函数解析式确定.对症下药B由y=.2x-x2二(x-1)2=1-y2.x1,2x-10,+a.x-仁,1-y2:=1+J-y2.x、y对换得y=1+1-x2又/y.2x-x2-(x-1)21(1wxw2).0wyw1即原函数值域为0,1.所以反函数为y=1-：1_x2(0wxw1).选B.-a-x)(a>1)的反函数，则使f-1(x)>1成立的x的取值范围3 .(典型例题)设f-1(x)是函数f(x)=!(a2).('-1,+a)B.2a(a,+a)/a2T.(,a)2ax=log考场错解a(y+.y21),+.x21

37、>a.1 ,x-X、y=_(a-a)22xx“亠,-a-2ya-1=0.ax=2y2y21=y+;y2.1、y对换.f-1(x)=loga(x+.x21)(xR)又tf-1(x)>1,loga(x+：x21)>1=x2.x1>a-x=a2-1<x<a.选C.2a专家把脉上面解答错在最后解不等式.x2T>a-x，这一步，因为x+：x2亠1>a-x应等价于ax丿a2-或awx.错解中只有前面一个不等式组.答案显然错了xJ2a对症下药A解法1/y=丄(ax-a-x)二a2x-2yax-1=0,ax=空_1=y+y212 2x=loga(y+y21)f-

38、1(x)=loga(x+.x21)(xR).vf-1(x)>1loga(x+、,321)>1=x+x21>a=x21>a-x：=2_xAo令仆尸或a±°2ax>1时，f(x)=1(ax-ax)的值域，,f(x)的图像过点(4,0).又Tf(x)的图像关于点(1,2)对称，f(x)的图像过-14).f(-2)=4.f(4)=-2.上任一点P(x、y)关于点(1,2)对称的点为P'(2-x,4-y).依题意4-y=f(2-x),1=f(x)+f(2-x)=4.令x=4.f(4)+f(-2)=4.又f(4)=0,f(-2)=4.f-(4)=-

39、2.解法2:利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系原题等价于2f(x)=1(ax-a-x)在R上单调递增.f(x)>1(a-1)=-1.选A.22a2a4. (典型例题)设函数f(x)的图像关于点(1,2)对称，且存在反函数f-1(x),f(4)=0,f-1(4)=.考场错解填0y=f(x)的图像关于点(1,2)对称，又f(4)=0,f(0)=4,f-(4)=0专家把脉上面解答错在由图像过点(4,0)得到图像过点(4,0)上，因为f(x)图像关于点(1,2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2,4)是关键.对症下药填-2.解法1f(4)=0点(2-4,4-0)即(-2,-1解

40、法2设y=f(x)4-f(x)=f(2-x)专家会诊1. 求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y),如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域.2 .分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成.3 .若点(a,b)在原函数y=f(x)的图像上，贝U(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上.考场思维训练函数y=3x-1(-1<xv0)的反函数是().y=1log3x(x>牛1.y=j1+log-x(<xw1)31D.y=-1log3x(<xW1)3答案：D解析：由y=3也1得x2-1=l

41、og3y/-1<x<0,x=-.log3x1,xy互换得y-.log3x1,-1_x：:0,.-A：:x2-1_0”1：:3x2-1_1.故原函数的反函数为：y-1亠log3X：:x_1)选D.332(典型例题)定义在R上的函数y=f(x)为周期函数，最小正周期为T,若函数y=f(x),x(0,T)时E有反函数y=f-,xD.则函数y=f(x),x(2T,3T)的反函数为()-1A.y=f(x),xD-1B.y=f(x-2T),xD-1C. y=f(x+2T),xD-1D. y=f(x)+2T.xD答案：D解析：Tx(2T,3T),x-2T=(0,T).又:f(x)的周期为2T,y

42、=f(x)=f(x-2T).x-2T=f-1(y)+2T,x,y互换，得y=f-1(x)+2T.当x(2T,3T)的反函数为y=f-1(x)+2T,xD.3 已知f(x)=ax的反函数.f-1(x)的图像的对称中心是(-1,3)，求实数a的值.xa1答案：解析：/f(x)=-1-1的对称中心是(a+1,-1)f-1(x)的对称中心是(-1,a+1),a+仁3,X-(a+1)从而a=2.探究开放题预测预测角度1借助函数单调性求函数最值或证明不等式1. 已知定义域为0,1)的函数f(x)同时满足对任意x0,1，总有f(x)>0;f(1)=1;若X1>0,X20,X1+X2W1,则有f(

43、x1+X2)>f(x1)+f(x2).(1) 求f(0)的值；(2) 求函数f(x)的最大值.解题思路(1)令X1=X2=0可得答案(2)，先证f(x)在0,1上是单调函数，再求其最大值.解答(1)令X1=X2=0,由条件得f(0)>0,由条件得f(0)<0.故f(0)=0.(2)任取0<x«X2<1，可知X2-x1(0,1)，贝Vf(x2)=f(x2-x1)+x1>f(x2-x1)+f(x).又tX1-X2(0,1),f(x2-x1)>0.f(x)>f(x1)f(x)在0,1上是增函数，于是当0Wxw1时，有f(x)wf(1)=1.当

44、X=1时，f(x)maF1.即f(x)的最大值为1.2. 设f(x)是定义在(0,+8)上的函数，k是正常数，且对任意的x(0,+8)，恒有ff(x)=kx成立.(1) 若f(x)是(0,+8)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x.(2) 对于任意的X1、X2(0,+8)，当X2>X1时，有f(x2)-f(x1)>X2-x1成立，如果k=2，证明：-v丄凶3 x解题思路(1)用反证法证明；(2)用反证法先证f(x)>x，再运用函数单调性进行放缩.解答(1)假设f(x)>X/f(x)在(0,+8)上是增函数，且f(f(x)=x. f(x)>ff(x). X>

45、;f(x)这与假设矛盾.f(x)>X不可能成立同理可证f(x)vX也是不可能成立的.综合，得f(x)=X.(2)先证f(x)>X,假设存在xo(0,+8)，使得f(x0)wx0，若f(x0)=X0，则ff(xo)=f(x0).即2X0=f(xo)=xo,.X0矛盾；若f(x0)vX0，由条件可知f(x)在(0,+8)上是增函数，且f(x0)>0.二ff(xo)<f(xo)，即2xo<f(x0)./2Xo<Xo=.Xo<O矛盾，f(x)>x因此,fff(x)-ff(x)>ff(x)-f(x)>f(x)-x即2f(x)-2x>2x-

46、f(x)>f(x)-x解得4vf(x)<33x2预测角度2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1.设f(x)是定义在-1,1上的偶函数.当x-1,0时，3g(x)=2a(x-2)-4(x-2),(1) 求f(x)的表达式；(2) 是否存在正实数a(a>6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线值；若不存在，请说明理由.解题思路(1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的最大值.令最大值等于12可知是否存在正实数解答(1)当x-1,0时，2-x2,333f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)=4x-2ax得f(x)=4x3-2ax(x-1,0)

47、y=f(x)在-1,1上是偶函数当x0,1时，f(x)=g(2-x)，且当x2,3y=12上，若存在，求出正实数的解析式.(2)利用导数可求得f(x)=f(_x)=_4x3+2axa.时,f(x)f(x)=<4x3_2ax-4x3+2ax一1乞x0,0x11.f(x)max=12,(2)命题条件等价于2求导f'(x)=-12x+2a(0wx<1,因为f(x)a>6),为偶函数，所以只需考虑0wx<1的情况.在0,1上单调递增,由f'(x)=0得x=I1-或x=-6/a>1,当Owxw1时f'(x)>0,f(x):6f(x)ma=(1)

48、=12,a=8.综上，存在a=8使得f(x)的图像的最高点在直线y=12上.2. 函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x2,3时,f(x)=x-1.在y=f(x)的图像上有两点A、B,它们的纵坐标相等，横坐标都在区间1,3上，定点C的坐标为(0,a),(其中a>2)，求ABC面积的最大值.解题思路先利用函数的周期性和奇偶性分别求出f(x)在0,1和1,2时的解析式，再利用图象设出A、b的坐标，然后以AB的纵坐标作为自变量建立面积函数关系，借助函数关系式即可求得Saabc的最大值.解答f(x)是以2为周期的周期函数，当x2,3时,f(x)=x-1.当x0,1时，f(x)=f

49、(x+2)=(x+2)-1=x+1.又/f(x)是偶函数，当x-1,0时，f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1;当x1,2时.f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3.设A、B的纵坐标为t(1wtw2)，并设A在B的左边，则A、B的横坐标分别为3-t、t+1，则|AB|=(t+1)-(32-t)=2t-2,ABC的面积S=1(2t-2)(a-t)=-t2+(a+1)t-a=-(t-aJ)2+(a1)-a.224当w2即2<aW3时，S有最大值"-2日1.224当aJ>2,即卩a>3时，函数S在1,2上单调递增，S有最大值S(2)=a-2.2预测角度

50、3反函数与函数性质的综合1. 在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当xMR+函数值f(x)的集合为0,2且f(1)=1;又对M2中的任意X1、X2都有f(x1X2)=f(x1)+f(X2).(1) 求证：1M而1.M;4 8'1111(2) 证明:f(x)在M上的反函数f-(x)满足f-(x1)f-(x2)=f-(x计X2).(3) 解不等式f-1(x2+x)f-1(x+2)w1(x0,2).4解题思路由给定的函数性质，证明自变量X是属于还是不属于集合”，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式.解答证明：T1M,又丄=丄X丄卫1)=1.f(丄)=f(丄X丄)=

51、f(丄)+f(丄)=1+1=20,24222422222, 1M,4又f(1)=f(1X1)=f(1)+f(1)=1+2=3.-0,2.1-M.824248(2)证明：If(x)在M上递减，f(x)在M上有反函数f-1(x),x0,2.任取X1、X20,2，设y1=f-1(x1),y2=f-1(x2). X1=f(y1),X2=f(y2)(y1,yM)-1/X1+X2=f(y"+f(y2)=f(y1y2),y1y2=f(x1+X2)-1-1-1-1-1又y1y2=f(x1)f(x2),f(X1)f(x2)=f(x1+X2).(3)/f(x)在M上递减，f-1(x)在0,2上也递减，

52、f-1(x2+x)f-1(x+2)w丄等价于f-1(x2+x+x+2)wf-1(2).40兰x2+x兰2,"2兰x兰7或0Ex乞1-彳0兰x七兰2,二一2兰x兰0=x=0.x22x2_2.x或0_x_2故不等式的解集为x|x=0.2. 已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax(a>0且a*1).(1)求证:f(2x)=2f(x)g(x)设f(x)的反函数为f-1(x)，当a=.a-1时，试比较f-1g(x)与-1的大小，并证明你的结论.若a>1,nN且n>2,比较f(n)与nf(1)的大小，并证明你的结论.解题思路先根据函数f(x)g(x)的奇

53、偶性和f(x)+g(x)=ax可解出f(x)g(x).再借助基本不等式和叠加法证明后两小题.解答(1)f(x)+g(x)=a:-f(x)+g(x)=a又f(-x)+g(-x)=a-x，而f(x)是奇函数，g(x)是偶函数,“、ax、ax+a-f(x)=-,g(x)=2x_xf(x)g(x)=a-2(2)/0<a=,2-1<1.x_xaa是(-8,2f(x)=x.x2x_2xa十a=aa24号(2x)上的减函数，则其反函数也是减函数，又由于时值域为-1,0，故值域为-1,0U(1,+8),从而选D.f(_1)=(2-1)-c2-1)=12g(x)=aa2>±=:仁f(-1)22f-1g(x)w-1.(3)f(n)-nf(1)=1n-n(a-a)-丄n(a-a-1)=1.-1、.n-1n-3(a-a)a+a+-+a-(n-3),-(n-1),+a222n(a-a-1)=-(a-a-1n-1)a+an-3,-(n-3)+a,-(n-1)+a-n22当a>1时，a-a-1>0