经典数学选修1-1常考题1814

1、经典数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、过双曲线-y2=1的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于A、B、C、D四点，则矩形ABC啲面积为（）B3C8D22、已知动圆P与定圆C:（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线I:x=-1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）Ay2=4xBy2=-4xCy2=8xDy2=-8x3、某物体运动方程s=-4t3+48t，它在某时刻速度为0,则相应时间为（）A4B1C2D34、已知f(x)为R上的可导函数，且对？xR,均有f(x)>f'(x),则有()Ae2013f(-2013)vf(0)，f(2013)ve2013f(0)Be2013f(-

2、2013)vf(0)，f(2013)>e2013f(0)Ce2013f(-2013)>f(0),f(2013)ve2013f(0)De2013f(-2013)>f(0),f(2013)>e2013f(0)5、给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题（共5道）6（本小题满分1

3、2分）求与双曲线有公共渐近线，且过点2丄二的双曲线的标准方程。7、已知R,函数f(x)=x2-2alnx.(1) 当a=1时，求f(x)的单调区间和最值；(2) 若a>0,试证明：“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=8、设函数f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数.(1) 若f(x)在(1,+x)上是单调减函数，且g(x)在(1,+x)上有最小值，求a的取值范围；(2) 若g(乂)在(-1，+x)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.9、(本小题满分12分)求与双曲线-有公共渐近线，且过点-的双曲线的标准方程。10、(本小题满分12分)

4、求与双曲线有公共渐近线，且过点".一-的双曲线的标准方程。4填空题(共5道)11、设-.-一为双曲线一一-的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且-的最小值为匚；，贝U双曲线的离心率的取值范围是.12、给出下列命题：(1)导数是.在处取得极值的既不充分也不必要条件；(2) 若等比数列的前项和：-，则必有=-：;(3) 若-的最小值为2;(4) 函数.一在七肖上必定有最大值、最小值；(5) 平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线其中正确命题的序号是.13、已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为()14、设.：为双曲线J的左右焦点，点P在双曲线的左

5、支上，且署的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.15设为双曲线-的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且的最小值为L，贝U双曲线的离心率的取值范围是.1- 答案：tc解：双曲线-y2=1的a=,b=1,c=2,则双曲线的焦点F1（-2,0）,F2（2,0）,渐近线方程为y=±£x，令x=-2，可得y=±半；令x=2,可得y=±半.则有A（-2,半），B（-2,-半）,C（2,-半）,D（2,半），则矩形ABCD勺面积为|AB|?|BC|=半X4荃芒.故选：A.2- 答案：C3- 答案：tc解：由s=-4t3+48t,求导得v=s'=-12t2

6、+48,令-12t2+48=0,又t>0,解得t=2.故选C.4- 答案：C5- 答案：B1-答案：设所求双曲线的方程为-，将点-代入得-2,所求双曲线的标准方程为略业42-答案：解：(I)f'(x)=2x-兰=2,(x>1),xV(1) 若a<1,x>1,则f'(x)>0,Vf(x)在1,+x)上连续，“(x)在1,+x)上是单调递增函数.当a<1,x>1时，f(x)min=f(1)=1,(2) 若a>1,x>1,令f'(x)=0,得x=|，当x(1,)时，f'(x)V0,f(x)在1,+x)上连续，f(x

7、)在1，间)上是单调递减函数.当x(|,+x)时，f'(X)>0,f(x)在|,刁,+x)上是单调递增函数.则x=时，f(x)取得最小值.当a>1,x>1时，f(x)min=a-alna,g(a)=(«<1Ju-ahia,Qi)(n)记g(x)=x2-2alnx-2ax，g'(x)t(x2-ax-a),(1)充分性：若a占，则g(x)=x2-lnx-x,g'x)=(2x+1)(x-1)，当x(0,1)时，g'(x)V0,g(乂)在(0,1)上是单调递减函数；当x(1,+x)时，g'(x)>0,g(x)在(1,+x)

8、上是单调递增函数.当x=1时，g(x)min=g(1)=0,即g(x)>0,当且仅当x=1时取等号方程f(x)=2ax有唯一解.(2)必要性：若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解.令g'(x)=0,得x2-ax-a=0,va>0,x>0,.x1=恥(舍),x2=卑地，当x(0,x2)时，g'(x)v0,g(%)在(0,x2)上是单调递减函数；当x(x2,+x)时，g'(x)>0,g(x)在(x2,+x)上是单调递增函数.当x=x2时，g'(x2)=0,g(x)min=g(x2),T'-11.1'J.1-=

9、1(-r2)=0，即vg(x)=0有唯一解，g(x2)=0.贝片_2alnx2+ax2-a=0,va>0,.2lnx2+x2-1=0，设函数h(x)=2lnx+x-1,v在x>0时h(x)是增函数，h(x)=0至多有一解.vh(1)=0,.方程的解为x2=1,即丄'=1,解得af，由(1)、(2)知，“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”.解：(I)f'(x)=2x-=2,(x>1),(1) 若a<1,x>1,则f'(x)>0,vf(x)在1,+x)上连续，.f(x)在1,+x)上是单调递增函数.当a<1,x>

10、;1时，f(x)min=f(1)=1,(2) 若a>1,x>1,令f'(x)=0,得x=|,当x(1,)时，f'(x)v0,f(x)在1,+x)上连续，f(x)在1，间)上是单调递减函数.当x(|,+x)时，f'(x)>0,f(x)在.,+x)上是单调递增函数.则X*时，f(x)取得最小值.当a>1,x>1时，f(x)min=a-alna,g(a)=<1)u-abutfQi)(U)记g(x)=x2-2aInx-2ax,g'(x)=(x2-ax-a),(1)充分性：若a4，则g(x)=x2-lnx-x,g'x)=(2x+

11、1)(x-1)，当x(0,1)时，g'(x)v0,g(乂)在(0,1)上是单调递减函数；当x(1,+x)时，g'(x)>0,g(x)在(1,+x)上是单调递增函数.当x=1时，g(x)min=g(1)=0,即g(x)>0,当且仅当x=1时取等号方程f(x)=2ax有唯一解.(2)必要性：若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解.令g'(x)=0,得x2-ax-a=0,va>0,x>0,.x1=恥(舍),x2=p士，当x(0,x2)时，g'(x)v0,g(%)在(0,x2)上是单调递减函数；当x(x2,+x)时，g'(

12、x)>0,g(乂)在(x2,+x)上是单调递增函数.当x=x2时，g'(x2)=0,g(x)min=g(x2),ffff(2)=012=0g(x)=0有唯一解，g(x2)=0.则，即'1xI-门2alnx2+ax2-a=0,va>0,.2lnx2+x2-1=0，设函数h(x)=2lnx+x-1,v在x>0时h(x)是增函数，h(x)=0至多有一解.vh(1)=0,.方程的解为x2=1，即一也上竺=1,解得af，由(1)、(2)知，“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”.3- 答案：解：(1)求导数可得f'(x)=-avf(%)在(1,+x

13、)上是单调减函数，-a<0在(1,+x)上恒成立，x(1,+).a>1.令g'(x)=ex-a=0，得x=lna.当xvIna时，g'(x)v0；当x>Ina时，g'(x)>0.又g(x)在(1,+x)上有最小值，所以Ina>1,即a>e.故a的取值范围为：a>e.(2)当aW0时，g(x)必为单调函数；当a>0时，令g'(x)=ex-a>0,解得avex，即x>Ina，因为g(x)在(-1,+x)上是单调增函数，类似(1)有Ina<-1，即0v:丄.结合上述两种情况，有J.当a=0时，由f(1)

14、=0以及f'(x)H>0,得f(x)存在唯一的零点；当av0时，由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)v0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外，当x>0时，f'(x)=-a>0,故f(X)在(0,+)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.当0va<丄时，令f'(x)丄-a=0，解得x.当Ovxv丄时，f'(x)>0,当x丄时，exuuaf'(x)v0，所以，x是f(x)的最大值点，且最大值为f(丄)=-lna-1.aa(i)当-1门&-

15、仁0，即a=时，f(x)有一个零点x=e；(ii)当-Ina-1>0，即0vav丄时，f(x)有两个零点；实际上，对于0vav，由于f(丄)=-1丄v0,f(丄)>0,且函数f(X)在丄，-上的图象e尸e“ea不间断，所以f(x)在(丄，丄)上存在零点另外，当0vXV时，f'(x)faa$a>0,故f(x)在(0，)上时单调增函数，所以f(x)在(0，)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(丄，+7上的情况，先证明f(丄)=a&J)ardozv0.为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2.设h(x)=ex-x2，贝Uh'(x)=ex-2x，再

16、设I(x)=h'(x)=ex-2x，则I'(x)=ex-2.当x>1时，I'(x)=ex-2>e-2>0，所以I(x)=h'(x)在(1，+*)上时单调增函数；故当x>2时，h'(x)=ex-2x>h'(2)=e2-4>0，从而h(x)在(2，+x)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0，即当x>e时,且函数f(x)在十，+上的图象不间断，所以f(x)在(夕，上)上存在零点.又ex>x2当0vav，即e时，f(»=a)v0,又f(；

17、)>0,当x>丄时，f'(x)丄-av0,故f(x)在(丄，+x)上是单调减函数，所以faxa(x)在(丄，+x)上只有一个零点.综合(i)(ii)(iii)，当aW0或a丄时，Mf(x)的零点个数为1,当0vav-时，f(x)的零点个数为2.tr解：(1)求导数可得f'(x)="-atf(乂)在(1,+x)上是单调减函数，-a<0在(1,+7)上恒成立，a土，x(1,+7).a>1.令g'(x)=ex-a=0,得x=Ina.当xvIna时，g'(x)v0；当x>Ina时，g'(x)>0.又g(x)在(1,+

18、7)上有最小值，所以Ina>1,即a>e.故a的取值范围为：a>e.(2)当aW0时，g(x)必为单调函数；当a>0时，令g'(x)=ex-a>0,解得avex，即x>Ina，因为g(x)在(-1,+x)上是单调增函数，类似(1)有Ina<-1，即Ov结合上述两种情况，有-.当a=0时，由f(1)=0以及f'(x)>0,得f(x)存在唯一的零点；当av0时，由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)v0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外，当x>0时，

19、f'(x)丄-a>0,X故f(X)在(0,+)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.当0va<时，令f'(x)丄-a=0，解得x.当0vxv丄时，f'(x)>0,当x>时，FXUUf'(x)v0,所以，x是f(x)的最大值点，且最大值为f(丄)=-Ina-1.ma(i)当-1门&-仁0，即a=时，f(x)有一个零点x=e；(ii)当-Ina-1>0,即0vav时，f(x)有两个零点；实际上，对于0vav，由于f冲)=-1-夕v0,f(+)>0,且函数f(x)在十右上的图象不间断，所以f(x)在(匕丄)上存在零点.另

20、外，当0vxv时，f'(x)ea耐扌-a>0,故f(x)在(0,)上时单调增函数，所以f(x)在(0,)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(丄，+x)上的情况，先证明f(丄)=a(丄-J)也口U-v0.为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2.设h(x)=ex-x2，贝Uh'(x)=ex-2x,再设I(x)=h'(x)=ex-2x,则I'(x)=ex-2.当x>1时，I'(x)=ex-2>e-2>0,所以I(x)=h'(x)在(1,+*)上时单调增函数；故当x>2时，h'(x)=ex-2x>

21、h'(2)=e2-4>0,从而h(x)在(2,+x)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0,即当x>e时，hilli1ex>x2当0vav,即；e时，f(：)d-；=a(=-%)v0,又f(：)>0,且函数f(x)在，丄上的图象不间断，所以f(乂)在(，-)上存在零点.又当x>丄时，f'(x)丄-av0,故f(x)在(丄，+x)上是单调减函数，所以ftixa(x)在(寸，+x)上只有一个零点.综合(i)(ii)(iii)，当aW0或a=时，f(x)的零点个数为1,当0vav时，f(x)的零点个数为2.4- 答案：设所求双曲线的方程为-，将点-代入得-2,所求双曲线的标准方程为-略5- 答案：设所求双曲线的方程为-"-'，将点一：一；代入得二-，£所求双曲线的标准方程为-略1- 答案：一试题分析：双曲线一-（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意