球的体积计算公式推导

1、空间几何体的体积空间几何体的体积(2)(一一)球的体积计算公式球的体积计算公式 两等高的几何体若在所有等高两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等个几何体的体积相等祖祖暅暅原理原理：思考思考:利用此原理如何得到球的体积公式利用此原理如何得到球的体积公式?实验实验:给出如下几何模型给出如下几何模型RR实验步骤实验步骤:拿出圆锥和圆柱拿出圆锥和圆柱将圆锥倒立放将圆锥倒立放入圆柱入圆柱结论结论:截面面积相等截面面积相等, R则两个几何体的体积相等则两个几何体的体积相等.取出半球和新的几何体作它们的截面取出半球和新的几何体作它们的截面问题

2、问题:截面面积相等吗截面面积相等吗?RRR2213RRRR343VR球球V21球的体积计算公式：球的体积计算公式：R球面球RSRSRSRSVR3131313134321324 RS球面S1探究探究（二）球的表面积（二）球的表面积例例1.如图是一个奖杯的三视图如图是一个奖杯的三视图,单位是单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到精确到0.01cm)866185 515151111x/y/z/数学运用数学运用这个奖杯的体积为这个奖杯的体积为V=V正四棱台正四棱台+V长方体长方体+ V球球 其中其中 V正四棱台2215 (1515 11+11

3、 )851.6673 V正方体=6818=864V球=113.0973433所以这个奖杯的体积为V=1828.76cm3数学运用数学运用例例2.2.某街心花园有许多钢球（钢的密度是某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm3 3）, ,每个钢球重每个钢球重145kg145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm50cm，试根据以上，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的，数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的，请你计算出它的内径（请你计算出它的内径（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1cm1cm）解：解：由于外径为由于外径为50cm50cm的钢

4、的钢球的质量为：球的质量为： 街心花园中钢球的质街心花园中钢球的质量为量为145000g145000g，而，而145000517054145000517054，所以钢，所以钢球是空心的球是空心的34507.9517054 ( )32g数学运用数学运用解：解：设球的内径是设球的内径是2xcm，那么球的质量为：，那么球的质量为： 解得：解得：答：钢球是空心的其内径约为答：钢球是空心的其内径约为45cm3345047.9145000323x311239.42,x 22.4.x 244.8.x数学运用数学运用例例2.2.某街心花园有许多钢球（钢的密度是某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm7.

5、9g/cm3 3）, ,每个钢球重每个钢球重145kg145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm50cm，试根据以上，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的，数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的，请你计算出它的内径（请你计算出它的内径（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1cm1cm）例例3.一个正方体内接于半径为一个正方体内接于半径为R的球内的球内,求正方体的求正方体的体积体积.R解解:数学运用数学运用因为正方体内接于球内，所以正方体的因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所

6、以它们的对称中心是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，必重合，即球心就是正方体的中心， 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 a, ,2 323 ,3Ra aR则则所以所以,正方体的体积为正方体的体积为: 3332 38 3()39VaRR课堂练习课堂练习1.钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积增加约几分之几？那么它的体积增加约几分之几？2.计算地球的表面积计算地球的表面积（地球的半径约为（地球的半径约为6370km,结果保留结果保留4位有效数字）位有效数字）3.一个平面截一个球得到直径是一个平面截一个球得到直径是6cm的圆面，球心到这的圆面，球心到这个平面的距离是个平面的距离是4cm，求该球的表面积和体积。，求该球的表面积和体积。 小结小结球的表面积体积的计算公式球的表面积体积的计算公式球的表面积体积的计算公式的应用球的表面积体积的计算公式的应用课本第课本第60页第页第6题题补充：补充：1.棱长为棱长为a的正方体内有一个球与这个正方体的的正方体内有一个球与这个正方体的12条条棱都相切，求这个球