电动力学lecture6 (II) 习题课

1、例例1 1：内外半径分别为：内外半径分别为 和和 的无穷长中空导的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀传导电流体圆柱，沿轴向流有恒定均匀传导电流 ，导体，导体的磁导率为的磁导率为 ，求磁感应强度和磁化电流。，求磁感应强度和磁化电流。1r2rfJfJ解：解：1) 1) 分析：理想条件下的磁场，轴对称性分析：理想条件下的磁场，轴对称性2) 2) 安培环路定理：安培环路定理：LSfdtdSDJlHLSfddSJlH3) 3) 磁场中各矢量的关系磁场中各矢量的关系: (: (各向同性非铁磁介质各向同性非铁磁介质) )HHHMHBrM0001HMM10MBMM4)4)1rr 0fJ0H0B5)5)0M

2、21rrrLSfddSJlH)( 2212rrJrHffJrrrH 2)(212rrrrfrJH 2)(212？HBrrrrfrJH 2)(212rJBfrrr2212 2)(BMMrJMfMrrr2212 2)(6)6)rr 2LSfddSJlH)( 22122rrJrHffJrrrH 2)(2122rrrrfrJH 2)(2122rrrrfrJH 2)(2122HBrJBfrrr22122 2)(BMM0 2)(22122rJMfMrrr7)7)体磁化电流体磁化电流LMMdIdSSjlMMjMffMMMjjHj10?8)8)面磁化电流面磁化电流a.a.12MMnM21: nb.b.1rr

3、01112rrrrMMMn, 01MrJMfMrrr22122 2)(, 011rrM0 2)(121212121rJMfMrrrrrc.c.2rr rJMfMrrr22121 2)(02MrJMfMrrrrr221221 2)(2022rrM22221221 2)(22rJnMnfMrrrrMrrrfMfMrrMrrrrrrrJrJr22122222222122 2)( 2)(2frrMrrrJ221220 2)(12 例例2. 2. 证明：证明： (1)(1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的斜率满足场线的斜率满足 (2)(2)当

4、两种导电介质内流有恒定电流时当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场，分界面上电场线斜率满足线斜率满足其中其中 1 和和 2 分别为界面两侧电场线与法线的夹角。分别为界面两侧电场线与法线的夹角。 1212tgtg1212tgtg对于电场线对于电场线 （1 1）由边值关系，有由边值关系，有 或写成或写成 ttnnEEDD1212,0221121,ttnnDDDDntntDDtgDDtg222111,即即 代入，得代入，得 2112tgtg1212tgtg两边相乘移项得两边相乘移项得（2 2）根据已知条件，流经两导电介质的电流为恒定电流根据已知条件，流经两导电介质的电流为恒定电流 又根据边值关

5、系及欧姆定律，有又根据边值关系及欧姆定律，有 nnjj21ttEE122211ttjjntntjjjj112221可得：可得：电流恒定电流恒定即即 代入，得代入，得 对于电场线对于电场线 ntntntntjjEEtgjjEEtg2222211111,2112tgtg1212tgtg 例例3. 3. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，上， (1)(1)在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；面； (2)(2)在稳恒电流情况下，导体内的电场线总是平行于导在稳恒电流情况下，导体内的电场线总是平行

6、于导体表面。体表面。 （1 1）在静电情况下，导体内电场强度为零。即在静电情况下，导体内电场强度为零。即 01E即，在介质一侧的电场强度切线分量为零，电场线垂即，在介质一侧的电场强度切线分量为零，电场线垂直于导体表面。直于导体表面。 根据边值关系，有根据边值关系，有 （2 2）在稳恒电流情况下，根据上题结果在稳恒电流情况下，根据上题结果1212tgtg1越大，越大， 越大越大dielectconductor所以所以导体内的电场线总是平行于导体表面。导体内的电场线总是平行于导体表面。012ttEE12例例4 4 平板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为平板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 和

7、和 电容率为电容率为 和和 ，如在两板接上电动势为，如在两板接上电动势为 的电池，的电池， 求：求：1）电容器两板上的自由电荷面密度）电容器两板上的自由电荷面密度 2）介质分界面上的自由电荷面密度）介质分界面上的自由电荷面密度1l2l12ff若介质是漏电的，电导率分别为若介质是漏电的，电导率分别为 和和 ，当电流达，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？到恒定时，上述两问题的结果如何？12解：解：1）分析：）分析：介质绝缘性良好介质绝缘性良好 介质中无电流介质中无电流流动流动 介质中介质中无无自由电荷运动自由电荷运动介质界面上介质界面上无无自由电荷自由电荷介质漏电介质漏电介质中有电流流过介质

8、中有电流流过介质中介质中有有自由电荷运动自由电荷运动介质界面上介质界面上可能有可能有自由电荷自由电荷12规定指向规定指向2）电源电动势对平板电容器的作用：）电源电动势对平板电容器的作用：a) 提供电场提供电场b) 均匀介质中产生均匀电场均匀介质中产生均匀电场,不均匀介质中电场可能不同不均匀介质中电场可能不同3）介质）介质1和介质和介质2中电场各自均匀，但是中电场各自均匀，但是21EE2211lElE5）介质绝缘性良好时：）介质绝缘性良好时：介质界面上的边界条件：介质界面上的边界条件：fnnDD12介质介质1：111EDn介质介质2：222EDn方向方向:1 24）边界条件：）边界条件：0f01

9、122EE6）由）由3)和和5) 得得122112122121,llEllE两介质界面上自由电荷面密度：两介质界面上自由电荷面密度：112fnnDD导体板：导体板：介质介质1：0111EDn方向方向:导体板导体板 介质介质17）在介质）在介质1同导体板界面处应用边界条件同导体板界面处应用边界条件（导体等势体（导体等势体: ）01E11222EEDn导体板与介质导体板与介质1界面上的自由电荷密度：界面上的自由电荷密度：221111121llEDDnnf8）在介质）在介质2同导体板界面处应用边界条件同导体板界面处应用边界条件212 fnnDD方向方向: 介质介质2 导体板导体板？导体板：导体板：介

10、质介质2：0 222EDn（导体等势体（导体等势体: ）0 2E22111 EEDn导体板与介质导体板与介质2界面上的自由电荷密度：界面上的自由电荷密度：1221122122 fnnfllEDD9）介质漏电时）介质漏电时,即介质内有电流即介质内有电流,假定该电流为稳恒电流假定该电流为稳恒电流则介质中的电场满足欧姆定律：则介质中的电场满足欧姆定律：Ej对介质对介质1: 111Ej对介质对介质2: 222Ej稳恒电流稳恒电流21jj10）由）由3)和和9) 得：得：111Ej222Ej21jj2211lElE211221llE211212llE介质介质1中：中：211221111llEDn介质介质

11、2中：中：211212222llEDn11）在介质）在介质1同导体板界面处应用边界条件同导体板界面处应用边界条件112fnnDD方向方向:导体板导体板 介质介质1导体板：导体板：介质介质1：0111EDn（导体等势体（导体等势体: ）01E21122111222llEEDn导体板与介质导体板与介质1界面上的自由电荷密度：界面上的自由电荷密度：21122111121llEDDnnf12）在介质）在介质2同导体板界面处应用边界条件同导体板界面处应用边界条件212 fnnDD方向方向: 介质介质2 导体板导体板导体板：导体板：介质介质2：0 222EDn（导体等势体（导体等势体: ）0 2E2112

12、1222111 llEEDn导体板与介质导体板与介质2界面上的自由电荷面密度：界面上的自由电荷面密度：21121222122 llEDDnnf13）在介质）在介质1同介质同介质2界面处应用边界条件界面处应用边界条件fnnDD 12方向方向: 介质介质1 介质介质2介质介质1：211221111 llEDn介质介质2：211212222 llEDn介质介质1同介质同介质2界面上自由电荷面密度：界面上自由电荷面密度：2112211212 llDDnnf长度上的自由电荷随时间的函数为长度上的自由电荷随时间的函数为 ，板间填充电，板间填充电例例5 5内外半径分别为内外半径分别为 a a 和和 b b

13、的无限长圆柱形电容器，单位的无限长圆柱形电容器，单位 导率为导率为 的非磁性物质，的非磁性物质，1) 1) 证明：在介质中任何一点传导电流与位移电流严格证明：在介质中任何一点传导电流与位移电流严格相消，因此介质内部无磁场相消，因此介质内部无磁场2) 2) 求求 随时间的衰减规律随时间的衰减规律3) 3) 求与轴相距为求与轴相距为 的地方的能量耗散功率密度的地方的能量耗散功率密度4) 4) 求长度为求长度为 的一段介质总的能量耗散的一段介质总的能量耗散功率，并证明功率，并证明其等于这段的静电能减少率其等于这段的静电能减少率)(tffrl解：解：1）由电流连续性方程）由电流连续性方程0tfJ由高斯

14、定理由高斯定理fD0tDJ0tDJ0tDJconsttDJ传导电流与位移电流在介质内处处刚好相差一个任意传导电流与位移电流在介质内处处刚好相差一个任意常数，令该常数为常数，令该常数为0，则，则0tDJ即在介质中任何一点传导电流与位移电流严格相消即在介质中任何一点传导电流与位移电流严格相消介质内部无磁场介质内部无磁场2）由高斯定理：）由高斯定理：dltdf)(SDdltlrdDf)(2rfrteD2)(rfrteE2)(0tDJEJED0tEEte0EErfrteE2)(rfrfrrteeE22)0(00rtftereeEE200rfrteE2)(tffet0)(4) 4) 长度为长度为 的一段介质总的能量耗散的一段介