2.2020-2021学年广东省高三（上）阶段性数学试卷（12月份）新课标试卷

1、2020-2021学年广东省高三（上）阶段性数学试卷（12月份）一、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本题共8小题，每小题5分，共40分-公众号：新课标试卷在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，则A，B，C，D2（5分）已知复数，则A3BC2D13（5分）九章算术是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章卷一方田中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而”意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，再取四分之一”，则这里的圆周率为A3B3.1C3.14D3.14164（5

2、分）实数，满足，则下列不等式成立的是ABCD5（5分）数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为A40B45C50D546（5分）已知点为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，则的取值范围为A，B，C，D，7（5分）在中，角，的对边分别为，已知，则AB4CD8（5分）若函数的图象关于直线对称，对任意的实数都有（2），且（1），则A0B1C2D3二、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本题共4小题，每小题5分，共20

3、分-公众号：新课标试卷在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分-公众号：新课标试卷部分选对的得3分9（5分）方程“”表示焦点在轴上的椭圆的一个充分不必要条件是ABCD10（5分）如图，在三棱锥中，平面平面，则下列判断中正确的有AB平面CD图中恰有三对平面互相垂直11（5分）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若为奇函数，则关于函数，下列结论正确的是A的最大值为B的图象的一条对称轴为C的图象的一个对称中心为D的一个递增区间为12（5分）在平面四边形中，的面积是的面积的3倍，又数列满足，当时恒有，设数列的前项和为则下列判断正确的是A数列为等比数列B数列为递增数列C

4、数列为等比数列D三、填空题-高考群：605697969-公众号：新课标试卷：本题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标试卷13（5分）已知函数的图象在点，的切线与直线垂直，则14（5分）冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为15（5分）已知，是球球面上的三点，且四面体的体积为，则球的表面积为16（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，为半焦距），且（点为坐标原点），则双曲线的离心率为四、解答题：本题共6小题，共70分-公众号：新课标试卷解答应写出文字

5、说明、证明过程或演算步骤17（10分-公众号：新课标试卷）已知数列的前项和，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18（12分）在中角，的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）现给出三个条件；边上的中线长为；角的平分线交边于，且从中选出两个可以确定的条件，写出您的选择，并以此为依据求出的面积19（12分）随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元现从该平台随机抽取一天中100份点餐进行统计按点餐价格统计结果如表：点餐价格（单位：元）2030406

6、080点餐份数153030205如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率（1）若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数；（2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为，30元红包获奖率为，60元红包获奖率为（）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率（）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为，求的期望20（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，分别为，的中点

7、（1）求证：平面；（2）若二面角的正切值为2，求锐二面角的余弦值21（12分）如图所示，已知，是焦距为4的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心且，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上异于顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若直线与轴，轴分别交于点，当的面积最小时求与的面积之比22（12分）已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）若对，恒成立，求的取值范围2020-2021学年广东省高三（上）阶段性数学试卷（12月份）参考答案与试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷解析一、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本题共8小题，每小题5分，共40分-公

8、众号：新课标试卷在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，则A，B，C，D【分析】解不等式得到集合，然后进行并集的运算即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2（5分）已知复数，则A3BC2D1【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可【解答】解：，则故选：【点评】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题3（5分）九章算术是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章卷一方田中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而”意思是圆的

9、面积为“直径平方，乘以三，再取四分之一”，则这里的圆周率为A3B3.1C3.14D3.1416【分析】由已知结合圆的面积公式及已知定义可求【解答】解：由题意得，为直径，圆的面积，故选：【点评】本题主要考查了圆的面积公式的简单应用，属于基础试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷4（5分）实数，满足，则下列不等式成立的是ABCD【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式，分别判断各选项即可【解答】解：因为，所以，当且仅当时取等号，错误；，当且仅当时取等号，错误；，当且仅当时取等号，所以，错误；当时，显然成立，当时，所以，所以，即，所以，所以故， 成立故选：【点评】本题主要考查了基本不等

10、式及不等式的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练应用5（5分）数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为A40B45C50D54【分析】根据题意，先分析要求“三位数的偶数回文数”的个位和百位数字，可知其有4种情况，而对于十位数字，没有限制，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，三位数的偶数回文数的个位和百位数字相同，必须为2、4、6、8中的1个，有4种情况，对于十位数字，没有限制，有10种情况，则三位数的偶数回文数有个，故选：【

11、点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题6（5分）已知点为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，则的取值范围为A，B，C，D，【分析】设出直线的方程为，与抛物线方程联立，得到关于的韦达定理，然后利用坐标表示出，求出它的取值范围，再研究的取值情况，即可得到答案【解答】解：由题意，设直线方程为，设，联立方程组可得，消去可得，则有，又，所以，因为，所以，又当时，直线为，取得最大值，所以的取值范围为，故选：【点评】本题考查了直线与抛物线相交问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，解题的关键是转化为联立方程组研究根与系数的关系，涉及了韦达定理、向量数量积的坐

12、标运算，综合性较强7（5分）在中，角，的对边分别为，已知，则AB4CD【分析】先利用正弦定理将中的角化边，可得，再由余弦定理求出的值，然后结合正弦定理和二倍角公式，进行化简运算即可【解答】解：由正弦定理知，由余弦定理知，故选：【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题8（5分）若函数的图象关于直线对称，对任意的实数都有（2），且（1），则A0B1C2D3【分析】由函数的图象关于直线对称，得关于对称，即为偶函数，根据已知条件赋值可求（2），可得函数是以4为周期的周期函数，计算化简

13、可得所求和【解答】解：函数的图象关于直线对称，由函数的图象的平移可知函数关于对称，即函数为偶函数，对任意的实数都有（2），令可得，（2）（2），（2）（2），（2），即函数是以4为周期的周期函数，（2），（1），故选：【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查赋值法和运算能力，属于中档题二、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标试卷在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分-公众号：新课标试卷部分选对的得3分9（5分）方程“”表示焦点在轴上的椭圆的一个充分不必要条件是ABCD【分析】

14、先把椭圆方程化为焦点在轴上的标准方程，然后根据椭圆的范围以及几何性质建立不等式组，即可求解【解答】解：由已知把椭圆的方程化为标准方程为：，即，因为椭圆的焦点在轴上，则，解得，故焦点在轴上的椭圆的一个充分不必要条件是，故选：【点评】本题考查了椭圆的范围以及几何性质，涉及到解对数不等式和充要条件的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题10（5分）如图，在三棱锥中，平面平面，则下列判断中正确的有AB平面CD图中恰有三对平面互相垂直【分析】由面面垂直的性质定理推出平面，再由线面垂直的性质定理得，再由线面垂直的判断定理得平面，可得正确对于逆向思维，假设，推出矛盾，可得错误【解答】解：对于选项因为平面平面

15、，又因为平面平面，因为平面，又，所以平面，因为平面，平面，所以，故正确，对于选项由上可知，因为，又因为，所以平面，故正确，若，因为，又因为，所以平面，又因为平面，所以，由上可知，那么，矛盾，故错误对于选项，因为平面，所以，所以，为直角三角形，故正确故选：【点评】本题考查了空间中平行与垂直关系的应用问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，也考查了命题真假的判断问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，属于中档题11（5分）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若为奇函数，则关于函数，下列结论正确的是A的最大值为B的图象的一条对称轴为C的图象的一个对称中心为D的一个

16、递增区间为【分析】根据题意可得，由为奇函数，推出，即，进而可得，分别结合三角函数的性质，求的最值，对称轴，对称中心，单调区间，即可得出答案【解答】解：因为向右平移个单位长度，得到的图象，所以，因为为奇函数，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以当时，故正确，令，所以，当时，；当时，所以不是对称轴，故不正确，令，所以，当时，所以，是的一个对称中心，故正确，令，所以，当时，所以，为的一个单调递减区间，故不正确故选：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，解题中需要熟悉三角函数的性质，属于中档题12（5分）在平面四边形中，的面积是的面积的3倍，又数列满足，当时恒有，设数列的前项和为则下列判断正

17、确的是A数列为等比数列B数列为递增数列C数列为等比数列D【分析】连接交于点，由三角形的面积公式，推得，即，设，运用向量共线定理，可得，即有是以2为首项，2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式可得，判断单调性和运用错位相减法求和，即可判断正确结论【解答】解：如图，连接交于点，由的面积是面积的3倍，得，即，即，又与不共线，所以，即，即，可得，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，则，故，均不正确；由，即，则数列为递增数列，故正确；，两式相减可得，化为，故正确故选：【点评】本题为数列与向量综合的问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公

18、式的运用，以及错位相减法求和，向量的共线定理和向量的加减运算，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题三、填空题-高考群：605697969-公众号：新课标试卷：本题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标试卷13（5分）已知函数的图象在点，的切线与直线垂直，则【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程可得所求值【解答】解：函数的导数为，可得在点，的切线的斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得，故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题14（5分）冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96

19、，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为【分析】设某人在冬季里鼻炎发作为事件，感冒为事件，则（A），利用条件概率计算公式能求出此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率【解答】解：设某人在冬季里鼻炎发作为事件，感冒为事件，则（A），则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知，是球球面上的三点，且四面体的体积为，则球的表面积为【分析】先判断三角形的形状，然后求出三角形的高以及外接圆半径，然后再根据体积求出点到平面的距离，进而可以求出外接球的半径，即可求解【解答】解：由已知可

20、知，三角形为等腰三角形，则取边的中点为，连接，如图所示：则，在直角三角形中，所以，且，所以三角形的外接圆半径，且，设点到平面的距离为，则，解得，所以四面体的外接球半径，所以四面体的外接球的表面积为，故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，考查了学生的运算能力，属于中档题16（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，为半焦距），且（点为坐标原点），则双曲线的离心率为【分析】设，由向量共线定理和内角平分线的性质定理、双曲线的定义，可得，再由三角形的余弦定理和三角函数的诱导公式，化简整理，可得所

21、求离心率【解答】解：由，设，则，又，解得，又，则，在中，在中，由，可得，即有，化为，可得，故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分-公众号：新课标试卷解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分-公众号：新课标试卷）已知数列的前项和，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【分析】（1）先由求得，再利用，成等比数列，求得，进而求得；（2）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前项和即可【解答】解：（1）当时，又，成等比数列，解得：，又也适合上式，；（2）由（1）可得

22、：，【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及等比数列的性质、裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题18（12分）在中角，的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）现给出三个条件；边上的中线长为；角的平分线交边于，且从中选出两个可以确定的条件，写出您的选择，并以此为依据求出的面积【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理与两角和公式，得解；（2）选：由余弦定理推出，从而得，再结合平面向量的运算可求出的值，最后由三角形的面积公式，得解；选：由余弦定理推出，从而得，再在中，由，求得的值，最后由三角形的面积公式，得解；选：根据平面向量的运算，可推出，利用，结合三角形的

23、面积公式，可得到，从而求得的值，再由三角形的面积公式，得解【解答】解：（1）由正弦定理知，即，由于，故（2）选：，由余弦定理得，即，即，解得，选：，由余弦定理得，即，平分，又，选：，即，又平分，化简得，两边平方得，解得，【点评】本题主要考查解三角形，还涉及平面向量的运算，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式和平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19（12分）随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元现从该平台随机抽取一天中100份点餐进

24、行统计按点餐价格统计结果如表：点餐价格（单位：元）2030406080点餐份数153030205如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率（1）若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数；（2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为，30元红包获奖率为，60元红包获奖率为（）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率（）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为，

25、求的期望【分析】（1）利用频率分布表，计算卖出一份套餐所得收入然后求解平台一天用户的点餐份数；（2）（）分两种情况：红包为30元且点餐为30元以内，红包为60元且点餐为60元以内，由概率公式计算即可求解；（）由期望公式可得每订一份套餐所得红包的期望，该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润的期望为，由此可求得的期望【解答】解：（1）设卖出一份套餐所得收入为元，则总收入为4000元，平台一天用户的点餐份数为份（2） “该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐”为事件，情形有两类：红包为30元且点餐为30元以内；红包为60元且点餐为60元以内，故（A）每订一份套餐所得红包的期望为，由（1）知该平台

26、平时卖出一份套餐收入期望为40元，元【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，属于中档题20（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若二面角的正切值为2，求锐二面角的余弦值【分析】（1）取中点，连，说明，推出平面，结合，证明平面，推出平面平面，即可证明平面（2）取中点，连，说明为二面角的平面角，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可【解答】（1）证明：取中点，连，则，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面（2）解：取中点，连，则在菱形中，平面，平面，平面，平面，又，平面，为二面角的平面角，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，2，设平面的法向量为，由得，可取设平面的法向量为，由得，可取，故所求锐二面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，平面与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力21（12分）如图所示，已知，是焦距为4的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心且，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上异于顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为