第10讲-空间插值

1、概论概论Interpolation = inter + polire, means Refining by put in between.将离散的数据点转化为连续的数据曲面将离散的数据点转化为连续的数据曲面用已知点来估算其他未知点的过程用已知点来估算其他未知点的过程需要插值的原因需要插值的原因现有离散曲面的分辨率、像元大小、方向与要求不符；现有离散曲面的分辨率、像元大小、方向与要求不符；现有连续曲面的数据模型与要求不一致；现有连续曲面的数据模型与要求不一致；现有数据不能完全覆盖所要求的区域现有数据不能完全覆盖所要求的区域内插和外推内插和外推Sampled pointsEstimated poi

2、nts空间插值基础：控制点空间插值基础：控制点 控制点分布 控制点密度 控制点的自相关程度 内插方法内插方法全局方法全局方法 趋势面趋势面 回归模型回归模型局部方法局部方法 密度估算密度估算 反距离权内插反距离权内插 样条函数内插技术样条函数内插技术 克里金内插方法克里金内插方法内插方法：内插方法：全局内插全局内插z=f( x, y)Control Points全局内插的步骤全局内插的步骤数学曲面函数确定数学曲面函数确定 内插曲面的复杂程度内插曲面的复杂程度 计算量计算量系数求解系数求解 最小二乘法最小二乘法拟合精度分析拟合精度分析常用全局内插函数常用全局内插函数NNjijijiijYXaZ0

3、, yaxyayxayxaxayaxyayxaxayaxyaxayaxaazyaxyayxaxayaxyaxayaxaazyzxyaxayaxaazyaxaaz4143132212311410392827362542321039282736254232102542210210 surface dorder trenforth The :surface dorder tren thirdThe :surface dorder tren second The :surface dorder trenfirst The3常用全局内插函数特性分析常用全局内插函数特性分析1st Order Trend

4、Original surface2nd Order Trend 3rd Order Trend 系数求解min)()(0002nlnljlilijlnlllYXazzzQNnljnilllnlllnlNlnllnlnlNijNnNNlnNjlilnNlnNlnNjlilnjjliilnjlilnjlilnNlnjlilnlnlnNlnjlilnlslrlnlNljlilijlrsllYZYXZYXZYZXZXZZaaaaaaaYYXXYYYXYXYXYXYYXYXYYXXnYXYXaZaQ01101010001111110)(拟合精度评定拟合精度评定%100)()(11212nlllnlllZ

5、ZZZC一般认为，C在60%到70%之间拟和比较好但由于以下原因，在空间内插中整体内插并不常用：整体内插函数保凸性较差；不容易得到稳定的数值解解;多项式系数物理意义不明显;解算速度慢且对计算机容量要求较高;不能提供内插区域的局部地形特征.全局内插示例：三阶趋势面全局内插示例：三阶趋势面局部内插块内逐点内插格网点高程分块已知点格网点局部内插：密度估算局部内插：密度估算VoronoiVoronoi多边形多边形 在一个多边形内，每个未知点与该多边形内的已知点最在一个多边形内，每个未知点与该多边形内的已知点最接近，而与其他已知点更远接近，而与其他已知点更远密度估算密度估算 计算在局部范围内的点的数量计

6、算在局部范围内的点的数量 简单密度估算简单密度估算 核密度估算核密度估算Voronoi多边形多边形密度估算密度估算简单密度估算简单密度估算 D = D = 点数点数/ /单元面积单元面积核密度估算核密度估算 已知点与核密度函数联系起来，用概率密度函数表达。已知点与核密度函数联系起来，用概率密度函数表达。 窗口范围、核窗口范围、核 密度为窗口范围内观测点上的隆起部分的总和密度为窗口范围内观测点上的隆起部分的总和核密度估算核密度估算2221222112)()(11 (3),( 1 0 1 )1 (3 2ddnh)(1(1)(iiniTTTiniyyxxhnhyxfXXifKXXifXXKKKxxh

7、Knhxf可表示为在二维表面上，核密度通常表示为据是数据的维数，二维数的数目是带宽范围内的观测点是带宽是核函数核带宽密度估算示例密度估算示例局部插值：局部插值：反距离权插值反距离权插值IDWIDW基本思想：空间自相关基本思想：空间自相关程度：距离的程度：距离的n次幂倒数次幂倒数wdWij= d-uwdWij=exp(-bdij)wWij=-bdijdIDW基本公式基本公式0 if 0 if /),(11iiniiniiiidzdwzwyxzkpipkikiddyyyyxxxxniiniiiiuiiAkipAddAttdw)()(1111cos and point control with po

8、int ion interpolatby angle theis /)cos1 ( :correction lDirectiona)1 ()( :functionWeight IDW插值示例插值示例样条函数插值样条函数插值原理：最小的曲率面原理：最小的曲率面基本表达式：基本表达式： BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y)BasicFunction + TrendSurface = Q(x,y)方法：方法： 薄板样条函数薄板样条函数 规则样条函数规则样条函数 张力样条函数张力样条函数 规则张力样条函数规则张力样条函数样条函数插值样条函数插值iiiddAlog

9、2)2ln()() 1)2(ln(4(21 022dcdKcdd) 1(log2iiiddA名称基函数趋势函数薄板样条函数变形1规则样条函数薄板张力样条cybxacybxaacybxa)()2(ln(21(021iiniidKcdA公式注解公式注解A, a, b, c为相关系数，通过已知点和附加条件求解为相关系数，通过已知点和附加条件求解D为待定点和控制点之间的距离为待定点和控制点之间的距离基函数中基函数中c为为Euler常数，常数，c=0.577215和和为张力系数为张力系数 ，一般取，一般取0.1K0(d/)为修正的零阶为修正的零阶Bessel函数，可由一多项式估计函数，可由一多项式估计得

10、到。得到。样条函数求解样条函数求解njjinjjijjnjjnjjjnjjnjijijAZXXRAaYAXAAnZcbyaxXXRA 1111110 ),( ion with tensspline plateThin 0 0 0 ),1,i (j ),(ion with tensspline dRegularize spline, plateThin 为控制点数量，样条函数求解步骤样条函数求解步骤 . 6 . 5 011110010101 ),( . 4), 1( ),( , . 3RA . 2), 0,( . 1, 1,nz,00220111212132122321113122211ij00

11、0 RARARAazZRAZRAzzzAAAaRRRRRRRRRayxTnizRARARAyxTinjidnizyxyxnnnnnnnnniinniiiiijiii求解插值点求解上述方程组为例）组成求解方程组（个控制点例如对第列立求解方程的系数值式，计算基函数中的根据距离和基函数的形点和插值点之间的距离求解已知点之间、已知），其坐标设为（点数量为已知插值点周围的控制），求设插值点的坐标为（样条函数示例样条函数示例Regularized spline with tensionThin plate spline with tension样条函数应用样条函数应用平化和连续的面平化和连续的面特征：特征

12、： 较较IDW法更为平滑法更为平滑 受控制点分布影响较大受控制点分布影响较大 数据贫乏区，插值结果较实际大数据贫乏区，插值结果较实际大 张力系数一般不宜过大，在张力系数一般不宜过大，在0.1-0.5之间之间克里金（克里金（Kriging）插值理论简介）插值理论简介主要问题主要问题 合理的插值邻域控制点点数合理的插值邻域控制点点数 邻域大小邻域大小 除距离外的合理权值除距离外的合理权值 精度评定精度评定逐点内插逐点内插所谓逐点内插，就是以内插点为中心，确定一个邻域范围，用落在邻域范围内的采样点计算内插点的高程值逐点计算格网点的高程:逐点内插法的基本步骤为： 定义内插点的邻域范围；确定落在邻域内的

13、采样点；选定内插数学模型；通过邻域内的采样点和内插计算模型计算内插点的高程。为实现上述步骤，逐点内插法需要解决好以下几个问题：内插函数;邻域大小和形状;邻域内数据点的个数;采样点的权重;采样点的分布;地学统计简介地学统计简介地学统计简介地学统计简介 法国数学家法国数学家George Matheron和南非矿业工程师和南非矿业工程师 D.G. Krige 区域变量理论区域变量理论 随机变量和确定变量之间随机变量和确定变量之间 地理分布现象不规则，不能用平滑数学函数进行模拟地理分布现象不规则，不能用平滑数学函数进行模拟 内在假定内在假定 差异的稳定性和可变形差异的稳定性和可变形 当结构成分确定后，

14、差异变化为同性变化，不同位置之间的差当结构成分确定后，差异变化为同性变化，不同位置之间的差异仅为距离的函数异仅为距离的函数半方差理论半方差理论半方差理论（半方差理论（Semivariance） 空间相关性的度量指标空间相关性的度量指标 定义为所有恒定距离的成对点的方差之半定义为所有恒定距离的成对点的方差之半 特性特性 随距离增加而按确定规律变化随距离增加而按确定规律变化 距离距离=0，半方差，半方差=0； 参数参数 梁梁 值域值域 融核融核半方差图半方差图半方差梁值域融核距离半方差计算步骤半方差计算步骤半方差计算公式半方差计算公式 公式公式 计算计算 规则分布点规则分布点 不规则分布点不规则分

15、布点 半方差图半方差图 半方差模型（拟和参数计算）半方差模型（拟和参数计算）)(12)()(21)(dNihiizzdNd半方差计算：规则分布点半方差计算：规则分布点dd=1d=2d=3半方差计算：不规则分布点半方差计算：不规则分布点31579298xy半方差图与拟和方差图半方差图与拟和方差图d(d)高斯线性球形指数圆形克里金插值：普通克立金克里金插值：普通克立金)()()( ; 0 . 10 ()()()( ()()()( ()()()( 2211202211121221122222211111221111npnppnnpnnpnnnnnpnnpnniniipdwdwdwzwzwzwzBAW

16、BAWwwwddwdwdwddwdwdwddwdwdwwzz误差估计未知点求解权重求解）权重求解：一般函数：无趋势克里金插值：通用克立金克里金插值：通用克立金)()()( ; 0 . 10 ()()()( ()()()( ()()()( 2211202211122112211212122112222122222111121111221111254232121npnppnnppnnpnnnnpnnnnnnnpnnpnniniipiiiiiiiidwdwdwzwzwzwMzBAWBAWyywywywxxwxwxwwwwdybxbdwdwdwdybxbdwdwdwdybxbdwdwdwwzMzybyxbxbybxbMybxb M误差估计未知点求解权重求解）权重求解：一般函数：趋势函数：其他克立金法其他克立金法块克立金法块克立金法 某一范围内一个变量的平均值某一范围内一个变量的平均值联合克立金法联合克立金法 加入一个或更多的次要变量，而次要变量与主要变