矩阵的特征值与特征向量

1、说明说明1.0,. 特特征征向向量量特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而言言的的 2.,0,|0.nAIA xIAA 阶阶方方阵阵 的的特特征征值值 就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的值值 即即满满足足方方程程| |的的 都都是是矩矩阵阵 的的特特征征值值 , ,.1AnnAAA 设设 是是 阶阶矩矩阵阵 如如果果数数 和和 维维非非零零列列向向量量使使关关系系式式成成立立 则则称称这这样样的的数数 称称为为非非零零向向量量 称称方方阵阵 的的特特征征值值的的对对应应于于特特征征值值 的的定定为为特特征征向向量量义义一、矩阵的特征值一、矩阵的特征值3.0IA 11

2、12121222120nnnnnnaaaaaaaaa 2 -0.AnIAAIAnAIAA 为为 阶阶矩矩阵阵，称称为为 的的, ,其其行行列列式式|为为 的的 次次多多项项特特征征矩矩阵阵特特征征式式，称称为为 的的，|称称为为多多项项式式特特的的定定征征方方程程义义 -0-0iiAIInnAAAA 1. 1.由由定定义义得得， 是是 的的特特征征值值，等等价价于于 是是其其特特征征方方程程|的的根根，因因此此又又特特称称 为为 的的. .若若是是|的的 重重根根，则则称称 为为征征根根重重特特征征的的值值( (根根) ). .说明说明说明说明2-)IA x . .方方程程( (0 0的的任任

3、意意非非零零解解向向量量，都都是是对对应应于于 的的特特征征向向量量. .3.0.AAIAIAI 的的也也可可以以表表示示为为； 也也可可以以表表示示为为| | |； 也也可可以以表表示示为为特特征征矩矩阵阵特特征征多多项项| |特特征征| |式式方方程程4.00 .AAIAAI x 求求 的的特特征征值值 就就是是求求|=|= 的的根根 ， 求求 的的相相应应于于 的的特特征征向向量量就就是是求求|的的非非零零解解向向量量求求矩阵矩阵A A的特征值及特征向量的特征值及特征向量问题就转化为求解问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题问题. .解解

4、例例 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的的特特征征值值为为所所以以A,00231123,2211 xx对对应应的的特特征征向向量量应应满满足足时时当当 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解解得得.11 1 p取取为为所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 1221,.1xxp 解解得得所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可取取为为112(0)kp k 故故相相应应于于的的全全体体特特征征向向量量为

5、为124(0)kpk 故故相相应应于于的的全全体体特特征征向向量量为为例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解211020413AI ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 11,0.AI x 当当时时 解解方方程程由由111101030010,414000AI ,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 232,20.AI x当当时时 解解方方程程由由4114112000000 ,411000AI 得基础解系为得基础解系为,401,11032 pp

6、 :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 01001000 3 0010012 .AAyyA 设设，若若是是的的一一个个特特征征值值，求求： 及及的的其其他他特特征征值值例例100100 |0010012AEy 解解设设2(1)()(2) 1y2(1)(1)(2)21.yy2 3 3 (2)210Ayy 因为是的一个特征值，所以必为 的根， 2 y 由此求得2 (2)210 1 1,1,1,3.yyA 及的另一根 ，故的全部特征值为例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量

7、，则的特征向量，则 x (1).mmAm 是是的的特特征征值值是是任任意意正正整整数数.,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆时时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可可逆逆时时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是

8、是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 x.,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆时时当当 AA 证明证明 (1).mmAm 是是的的特特征征值值是是任任意意正正整整数数设矩阵设矩阵 A 为为对合矩阵对合矩阵(即即 A2 = I), 且且 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 证明证明 : A = I .由于由于 A 的特征值都是的特征值都是 1 , 这说明这说明 -1 不是不是 A 的特征值的特征值,即即|A + I| 0.因而因而 I + A 可逆可逆. (I + A) - 1 即可得即可得 A =I. 在在 (I + A)(I - A) = 0 两端左乘两端左乘由由 A2 = I

9、可得可得 (I + A)( I - A) = 0,例例试证试证的的充充分分必必要要不不可可逆逆阶阶矩矩阵阵是是奇奇异异矩矩阵阵)(n有一个特征值为零。有一个特征值为零。条件是条件是A证：证：必要性必要性如果如果 A 是奇异矩阵，则是奇异矩阵，则 |A| 0。于是。于是00 AIA即即0是是 A 的一个特征值的一个特征值充分性：充分性：设设 A 有一个特征值为有一个特征值为0，对应的特征向量为，对应的特征向量为 x.由特征值的定义有：由特征值的定义有：) 0(00 xxAx 齐次线性方程组有非零解，由此可知齐次线性方程组有非零解，由此可知 |A| 0，即，即A为奇为奇异矩阵异矩阵.亦可叙述为亦可

10、叙述为：的的充充分分必必要要条条件件可可逆逆阶阶矩矩阵阵是是非非奇奇异异矩矩阵阵)(n。的任一个特征值不为零的任一个特征值不为零是是AT 1 .AA矩矩阵阵 与与其其转转置置矩矩阵阵具具有有相相同同定定的的特特征征值值理理证明证明即即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值必有相同的特征值.二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质TT()AIAI= =TT| |()|AIAIAI | |= =| |1i 1 |1(1,2,., )|1(j1,2,., )| 1(A).nijjnijAnainan 为为 阶阶矩矩阵阵，若若或或者者

11、，则则为为2 2的的特特征征值值定定理理。线线性性无无关关则则各各不不相相等等向向量量。如如果果依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设mmmmxxxxxxmA, 21212121 证明证明:使使设设有有常常数数mkkk,21. 02211 mmxkxkxk则则 , 02211 mmxkxkxkA, 0222111 mmmxkxkxk 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkkxkxkx 1, 2 , 1 mk定理定理3：可可得得由由iixAx 把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmm

12、xkxkxk 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmxkxkxk ., 2 , 10mjxkjj 即即, 0 jx但但 ., 2 , 10mjkj 故故.,21线性无关线性无关所以向量组所以向量组mxxx注意注意. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的 .属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量

13、组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为, 2121 AxxAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾11112 , , | |nnniiiiniiinAnaA 设设是是 阶阶方方阵阵 的的 个个特特征征值值 则则定定理理4 4说明说明.在复数范围内，在复数范围内，n阶方阵阶方阵A一定有一定有n个特征根，个特征根，其中可能有重根和复根其中可能有重根和复根.定理定理4表明，全部特征根的和与表明，全部特征根的和与A的主对角的主对角线元素的和相等；全部特征根的乘积等于线元素的和相等；全部特征根的乘积等于|A|.当当det A=0时时, A至少有一个零特征值至少有一个零特征值.3. 当当det A 0时时, A的特征值全为非零数的特征值全为非零数 4: det 3IA0,2I,det0,.