第一章电磁场理论基础

1、第1章 电磁场理论基础微波技术与天线微波技术与天线1.1 矢量分析1.2 麦克斯韦方程和边界条件1.3 基于麦克斯韦理论的静态场描述1.4 电磁场的波动方程、坡印廷定理和唯一性定理1.5 动态矢量位和标量位1.6 理想介质中的SUPW1.7 SUPW的反射和折射第第1章章 电磁场理论基础电磁场理论基础1.1 1.1 矢量分析矢量分析1.1.1 矢量和矢量场1. 标量和矢量（1）定义标量：只有大小、没有方向的量 ； 如：质量、温度、长度等矢量：既有大小又有方向的量 ； 如：力、速度、加速度、电场强度。注：零既没有大小也没有方向，因常出现在矢量的运 算中，作为约定，将零称为零矢量。 1.1.1 1

2、.1.1 矢量和矢量场矢量和矢量场（2）矢量的表示方法 图示：带箭头的线段； 书写：黑斜体，如 ；或斜体字母上加一箭头，如 。 矢量 的大小称为矢量 的模，记为 或 。 矢量 的方向可用单位矢量 （ ）表示，或记作 。 注：直角坐标系的基矢量用 ， ， 表示； 圆柱坐标系的基矢量用 ， ， 表示； 球坐标系的基矢量用 ， ， 表示。AoPAAAAAAAa AAaAexeyezeeerezeee1.1.1 1.1.1 矢量和矢量场矢量和矢量场（2）矢量的表示方法 矢量可用其在坐标轴上的投影，即坐标分量表示 。 直角坐标系中 AxzyzAyAxAO AxzyzAyAxAOzzyyxzyxAAAee

3、eAAAAxcosAAxcosAAycosAAzcoscoscoszyeeeexA图1-1-1 矢量A分解为直角坐标分量1.1.1 1.1.1 矢量和矢量场矢量和矢量场（3）位置矢量 定义：从坐标原点指向空间位置点的矢量，记为 。 直角坐标系中，空间任一点 的位置矢量 可用 代表空间点 的位置，函数 可记为 。 rzyxP,zyxzyeeerxPrzyxf, rf xzyl d3dl1dl2dlO1.1.1 1.1.1 矢量和矢量场矢量和矢量场（4）微分元矢量 线微分元矢量通常称为线元矢量 线元矢量可表示成三个坐标分量的矢量和。在直角坐标系中有 llddel zyxzyddddddd321ee

4、ellllx图1-1-2 直角坐标系中线元矢量l d 1.1.1 1.1.1 矢量和矢量场矢量和矢量场（4）微分元矢量 面微分元矢量通常称为面元矢量dS=ndS 方向矢量n的确定 dS为开表面上的面元，n的方向与围成开表面的有向闭合曲线呈右手螺旋关系。 dS为闭合曲面上面元，n的方向为闭合面的外法线方向。 nSddnS Sd SCSddnS nn图1-1-3 面元矢量Sd图1-1-4 开表面闭合面1.1.2 1.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算1. 矢量的加减法遵循平行四边形法则。 两矢量之和（或差）的直角坐标分量等于两矢量的对应坐标分量的和（或差）。满足交换律与结合律。 2. 矢量与标量

5、相乘（数乘）标量与矢量的积为矢量。标量与矢量相乘满足交换律、结合律和分配律。zzzyyyxxBABABAeeeBAxzzyyxuAuAuAueeeAx1.1.2 1.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算3. 矢量的乘法（1）矢量的标积 （点积 ）：为标量 。 等于两矢量的模与两矢量正向夹角的余弦三者之积 在直角坐标系中 满足交换律和分配律cosBABAzzyyxxBABABA BABA0BA注：cosABBA图1-1-5 矢量的标积 ABBAn1.1.2 1.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算（2）矢量的矢积 （叉积 ）：为矢量。 在直角坐标系中 不满足交换律 ：sinBAnBAzxyyxy

6、zxxzyzzyBABABABABABAeeeBAxzzzyyyxxBABABAeeeBAxABBABA/0BA注：图1-1-6 矢量的矢积1.1.2 1.1.2 矢量的代数运算矢量的代数运算 例例1-1-1 三角形的3个顶点为A（0，0，0）、B（4，6，-2）和C（-2，4，8 ）。 （1）求B点和C点的位置矢量B和C之间的夹角； （2）求B点到C点的距离矢量R及R的方向； （3）判断ABC是否为一直角三角形，并求三角形的面积。 解：解：264zyeeeBx842zyeeeCx(1)0cosBCCBCBCBzzyyxxCBCB90315353535yzR RxReeee6148456212

7、1CBS1026-zyeeeBCRx(2) 0CBABC为一直角三角形 (3) 标量场和矢量场标量场和矢量场 q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为。 ：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为。 ：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为，反之为，反之为。标量场和矢量场标量场和矢量场时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t从从看，场是定义

8、在空间区域上的函数：看，场是定义在空间区域上的函数：( , , )u x y z 、( , , )F x y z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：1.1.3 1.1.3 矢量场的散度矢量场的散度1. 矢量线：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线矢量线OM Fdrrrdr1.1.3 1.1.3 矢量场的散度矢量场的散度2. 通量 在矢量场 中，取面元矢量 ，矢量 穿过面元 的通量记为 通

9、量 ：场矢量 穿过任意曲面 的通量。ASdSAdcosddSASSSAdcosdSASAA1.1.3 1.1.3 矢量场的散度矢量场的散度0通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 例例1-1-21-1-2 已知置于坐标原点处的点电荷q的电位移矢量为 。计算通过

10、以坐标原点为球心、半径为R的球面的电通量。 解：解：34qRDRrReRnqRRqSRqSRRqSSSe222344d4d4dRRSD 说明：通过封闭球面的电通量 的源是球面内的电荷q，它也是产生矢量场 的源。 eD1.1.3 1.1.3 矢量场的散度矢量场的散度3. 散度 （1）散度的定义（2）散度的运算 在直角坐标系中 引入哈密尔顿算子哈密尔顿算子 散度与微分有相似的运算规则。 VSVrSrArAdlimdiv0zAyAxAzyxAdivzyxzyeeexAeeeeeeAxxzzyyxzyAAAzyxdiv1.1.3 1.1.3 矢量场的散度矢量场的散度（3）散度定理SVVSAAdd 例例

11、1-1-3 无界空间中，穿出任意闭合曲面S的电通量等于S所围的体积中的总电荷，即 式中，为电荷体密度。试证明： 。VSVddSDD证明证明 由散度定理可得VVSVVdddDSD0dVVDD1.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度1. 矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。

12、1.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即的电流成正比，即00( , , ) d( , , ) dCSB x y zlIJ x y zS 上式建立了磁场的环量与电流的关系。上式建立了磁场的环量与电流的关系。 1.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度2. 环量ClA d 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环量定义为该矢量对闭合曲线的环量定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路

13、的环流恒为零，称该矢量场为，又称为，又称为。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。1.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度3. 环量面密度SCSlA dlim0 SCnM 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限n称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向

14、的的。n：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n1.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度4. 旋度（1）旋度的定义：若在点M处场矢量A在某方向的环量面密度值最大，并记此最大环量面密度值为R，定义旋度为 旋度的大小等于该点的最大环量面密度值； 旋度的方向就是环量面密度取最大模值时所对应的方向。RA rot1.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度（2）旋度的运算 在直角坐标系中 采用哈密尔顿算子 运算规则与微分运算规则相似 。yAxAxAzAzAyAxyzzxyyzeeeAxrotAeeeeeeAxxzzyyxzyAAAzyxrotzzyyxAzAyAxeeeAx1

15、.1.4 1.1.4 矢量场的旋度矢量场的旋度（3）旋度的性质 旋度的散度恒等于零。 旋度场一定是无散场 。（4）斯托克斯定理0A0BABSCSAlAdd散度与旋度散度与旋度0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF1.1.5 1.1.5 标量场的梯度标量场的梯度1. 标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) ): : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。1.1.5 1.1.5 标量场的梯度标量场的梯度1. 方向导数 0MulMu000limlim

16、u Mu Muul图1-1-8 方向导数：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。l：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关有关，也与方向有关。在直角坐标系中：在直角坐标系中：coscoscosuu xu yu zuuulxlylzlxyz 1.1.5 1.1.5 标量场的梯度标量场的梯度2. 梯度 ： ，其中，其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luel：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向在直角坐标系中：在直角坐标系中：coscoscoscoscoscoscos,x

17、yzxyzlluuuulxyzuuueeeeeexyzG eGG e xyzuuuueeexyz 梯度的定义为：1.1.5 1.1.5 标量场的梯度标量场的梯度0u标量场的梯度标量场的梯度通过该点的等值面（或切平面）通过该点的等值面（或切平面）标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影的投影梯度矢量的旋度恒等于零梯度矢量的旋度恒等于零 例例1-1-51-1-5 求标量函数 的梯度的散度。 ru解解: zuyuxuuzyeeex222222zuyuxuzuyuxuzyxuzyzyeeeeeexx2222222zuyuxuu注：为拉普拉斯（L

18、aplace）运算。1.1.6 1.1.6 亥姆霍兹定理 表述1：对于有限区域内任意一个矢量场，若给定其散度和旋度，则该矢量场就被确定，最多只差一个附加的常矢量；若同时给定了矢量场的散度、旋度和边界条件，则这个矢量场就被唯一确定，并且该矢量场可表示成一个无旋场和无散场之和。 表述2：设矢量场 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为 rF rArrF VVd41rrrFr VVd41rrrFrA三种常用正交坐标系（补充）三种常用正交坐标系（补充） 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点

19、来确定。确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为。z zx xy y),(111zrPrz1R1.1.直角坐标系直角坐标系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量ddddxyzle xe ye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,

20、xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积直角坐标系的长度元、面积元、体积元元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐标变量坐标变量,zee e 坐标单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzleee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面

21、元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元3.3.球坐标系球坐标系2dd dsin d drrrSe l le r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r,r 坐标变量坐标变量,re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drlere re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元4.4.坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之