逆矩阵分块矩阵第节

1、第三节第三节 逆矩阵逆矩阵1.3 逆矩阵1 ,nAnnBABBBABAAEA设是阶 矩 阵 ,若 存 在阶 矩 阵满 足 称是 可 逆 矩 阵 称为的 逆 矩 阵 ,记 为阶义阵阵 n方的定.10逆矩1:-1,1, a babbaba这如同：设是两个实数，若则。AB显 然 ，是 与同 阶 的 方 阵 。1.3 逆矩阵, ()(), AABCAABBAEACCAEBBEB ACBA CECCA若 是可逆矩阵 则 的逆矩阵是惟一的.证明：设，都是可逆矩阵的逆矩阵，则， 可见的逆矩阵是惟一的。证毕定理1.1唯一1-1AAAAE1.3 逆矩阵定定理理1. 21. 21111111(1),(); , (

2、)AAAAABAABBAEBABAAA若 可逆 则也可逆 且证 若 可逆，设其逆阵为，则 按定义， 也可逆，其逆阵就是 ，则 即1.3 逆矩阵11111-11(2),()() ()()() ()()TTTTTTTTTTTTTAAAA AEEAAAAEEAAAAA证：若 可逆 则 所以，也可逆，的逆阵是即11(2),()() ;TTTAAAA若 可逆 则也可逆 且1.3 逆矩阵12k,kA AA : 若都可逆则它们的乘积推广到 个矩阵也可逆,且111(3),();BAAABBBA若可逆 则也可逆 且11111221) .kkA AAAA A (111111111111111()()()()()(

3、)B AB AABA BBAAEAAAEB AABBEBBBEABABABABB A证(3): 若 ， 都可逆，则所以，是可逆的，且1.3 逆矩阵111111111111111111.18 (,), 0, 1, 2, .11 (,)1111(,)000000naaninnnaAdiag aaainBdiagaaA BB AEAABdiagaaa例求 证 下 列 矩 阵 可 逆 ， 并 求 出 逆 矩 阵 。(1) 其 中解 ：令同 样 ，所 以 ，可 逆 ， 且1.3 逆矩阵211122222122111222212211211222212232(2) 01 ,320132321001AbbB

4、A BEbbbbA Bbbbbbbbb解 ：设满 足1.3 逆矩阵11211222212211122122123322212133222321320, 0112,0,133, 0101bbbbbbbbbbBB AEAAB 得 到 方 程 组 ：解 得 ：可 验 证 ：所 以 ，可 逆 ,且 1.3 逆矩阵10110011111111101.19 AnBnm ()() ()() AXBXA BAXA A BAABEBBXAXBXAXBXEXA A XAAXA BX-1例设 是 阶可逆矩阵， 是矩阵， 则矩阵方程有惟一解。：由于A可逆，A 存在，令矩阵所以是矩阵方程的一个解。设也是方程的解，则有解

5、可见，10XA B方程的解是惟一的解。1.3 逆矩阵111.20 , .A B ABAB例设都是可逆矩阵 求证:也是可逆矩阵:证明11.AB设法把表示成可逆矩阵的乘积1111 EEABAB1111BBBAAA1111()()BBBAAABA111111,(),AAB BAAB BAB由于,都可逆，它们的乘积也可逆，则可逆 且111111111111()()() () ()()ABBA BAABB AABBA第四节第四节 分块矩阵分块矩阵1.4 分块矩阵2221121221212212111100000000001001201211101010011100141211EEAABBBBEAEOOO

6、， ，1.4 分块矩阵1211121212222121 (1,1). sssrrrsijjriAAAAAAAAAAAmnirnnnmmmjs 列列列行行行其中是矩阵1212(), , :irsjmmmmnnnAannmA设是矩 阵 且则 可 将行分 块 如 下列分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是: 1112111121212222122212121212112212 ssrssssrrrsrrrsrnnnnnnmmAAABBBAAABBBABAAmmmmnABnBB列列列列列列行行行行行行列列11111212112121222212211222 ssssrrrrsrrsrsABAB

7、ABABABABABABAnmmBBmA列行行行11121212221211121212221212121212 srsssrrrsssrrrsrAAAAAAAAAAAAnnnmmmnnnmmmAAAAAAAA列列列行行行列列列行行行数乘：1212112211121111212122221222121212 tsrtstsrrrttttsrsAAABBBAAABBBABAAABBBpppnnnmpmpmpnnn列列列列列列行行行行行行列列列乘法：111112121222212kssrrrstijikkjrCCCCCCABCmCCAmCCBm行行行其中：小矩阵111211212222122212

8、12121121211212 srrsTTTsrrrsTrsTsTTTTrTssrnnnmmmmmmnnAAAAAAAAAAAAAAAAAAnAA列列列行行行列列列行行行转置矩阵：补充例题补充例题 设设 ，0101110000100001A1000210010000101B利用分块矩阵求利用分块矩阵求 A+B，AB。0101110000100001A1000210010000101B解：将A、B分块成 210AAE210BEB111222BA2211BAAEBEBA则,10021 BE而1101120010100102BA故1021,0001,0111,01002121BBAA212100BE

9、BAAEAB11BA221BAA 213101002031221111BAABAEB0100而1021,0001,0111,01002121BBAA000101001021011101002001310010000101准对角矩阵准对角矩阵 若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，则称A为准对角矩阵准对角矩阵。定义定义00( Ai 为方阵，为方阵， i = 1,2,，m)AmAAA21例如：例如：321AAA00为准对角矩阵。2100001120000150000006000000410000231122121212 1.21 nA ()rrriiirrOOOO

10、AOOnnnnnAnnnnAnnAAA列列列行行行例设 阶矩阵是矩阵，且是 阶证明准对角可逆矩阵是可逆矩阵。1111221111111122212212 BrrrrrrrrnnnnOOOOOOOOOOOOOOAAAAAABAAAnOOAOnO列列列行行行证：令121111112222111112211rnnnrrrrnrrnEOOOOOOOOOOOOEBAEOOOA AEA AA AEOAABOOAAA同理，所以， 可逆且 1.4 分块矩阵1211121112222122 000nnAAXEAXEXAXX11122212,0(1,2)(),. iiiAAnAAA innnnA设有 阶矩阵 其中

11、是 阶可逆矩阵证明 是可例1.22 逆矩阵 11122122 , nXXXXXXAAXE设法求一个矩阵使. 于是由:证明1.4 分块矩阵1111111112111122111222 , (1) (2).XAXAA XAAA 代 入、 得 式111111221, (1)nA XA XE 得111212220 (2)A XA X2221, 0(3) A X22222 (4)nA XE122221121222221222221 ()(), , 0XAXA AXAA X由 (4)式由 (3)式得得: 1.4 分块矩阵.nXAnAE 同理可验证 也成立所以 阶矩阵 可逆,且 1111111112221220 .AA A AAXA111111112221220 .AA A AAX方阵的迹定义A(aij)nn，则A的迹为Tr (A) = a11+a22+ann性质tr (A+B) = tr (A) + t