第五章 附有限制条件的条件平差

1、 测 量 平 差 太原理工大学测绘科学与技术系第五章第五章 附有限制条件的条件平差附有限制条件的条件平差 附有限制条件的条件平差附有限制条件的条件平差 5-1 5-1 基础方程和它的解基础方程和它的解 5-2 5-2 精度评定精度评定 5-3 5-3 各种平差方法的共性和特性各种平差方法的共性和特性 5-4 5-4 平差结果的统计性质平差结果的统计性质 5-1 5-1 基础方程和它的基础方程和它的解解 条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有条件的间接平差等四种经典平差方法，除条件平差不增选参数外，其它三种方法都要增选数量不等的参数参与平差，其未知参数的个数分别是ut，且要求参数间彼此独立

2、，在ut的情况下，也要求必须包含t个独立参数，从函数模型上看，四种平差方法总共包含如下四类的方程： 基础方程和它的解基础方程和它的解 前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未知参数，而最后一种方程则只含有未知参数而无观测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为一般条件方程，而最后一类条件方程称为限制条件方程。00)(0ALALF，线性形式为：dXBLXFL)(，线性形式为：00),(0AXBLAXLF，线性形式为：00)(0CXCX，线性形式为：基础方程和它的解基础方程和它的解 在第二章中介绍过附有条件的条件平差的模型建立方法，该方法也要增选u个参数，方程的总数为r+u个。如果在u个参数

3、中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则建立平差模型时应列出s个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s个一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s个，形成如下的函数模型 若为线性形式，则为 0),(1XLFc0)(1XS01011cuucnncAXBLA0101suusCXC基础方程和它的解基础方程和它的解 无论线性模型还是非线性模型，按照第二章介绍的线性化方法和结论，并考虑到 则可写出其线性化后的函数模型为 以 和 的估值 和 代入上式，则 LLxXX00111cuucnncWxBA011sxuusWxCxVx 0111cuucnncWxBVA011sxuusW

4、xC基础方程和它的解基础方程和它的解 式中 以上式作为函数模型而进行的平差，称为附有限制条件的条件平差，有的文献也称其为概括平差函数模型。按照最小二乘准则，要求 ，为此，按求条件极值的方法组成新的函数 为求其极小值，将上式分别对 和 求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，得)(00ABXALW)(00CCXWxminPVVT)(2)(2xTSTTWxCKWxBAVKPVVVx 022AKPVVTT022CKBKxTST基础方程和它的解基础方程和它的解 以上四式联合称为附有限制条件的条件平差的基础方程。其中共包括有n+u+c+s个方程，包含的未知量的个数也是n+u+c+s个，它们分别是： ， ， ，

5、方程的个数和待定量的个数相同，可唯一确定各未知数。解算此基础方程，通常是先解得： 上式称为改正数方程。将此式代入上式，则有： 令 1nV1ux1cK1ssKKQAKAPVTTn110111cuuccnTnnncWxBKAPATaaAAPN1基础方程和它的解基础方程和它的解 将k代入即可求得改正数v的值，进而可以按下面公式求得观测值和参数的平差值。 就平差目的而言， 和 是所需要的解，联系数 和 则是解算过程中的过渡数值。因此，下面将进一步推导各量的显性表达式。 VVLLxXX0 x 1cK1ssK) (1xBWNKaa0) (1sTaaTKCxBWNB011WNBKCxBNBaaTsTaaT基

6、础方程和它的解基础方程和它的解则得： 上式称为附有条件的条件平差的法方程，其系数矩阵对称，所以仍是一个对称线性方程组。可将其写成如下形式： 由上式可以解得 11uuccccaaxBKN01cW1ccuTKB1sSsuTKC01uusxC01sxW000000 xsTTaaWWKxKCCBBNxTTaasWWCCBBNKxK000001基础方程和它的解基础方程和它的解若令 则可以写为 于是可求得 即 令于是前式可写成 BNBNaaTuubb1WNBWaaTue110esTbbWKCxN)(1esTbbWKCNx0)(1xesTbbWWKCCN011xebbsTbbWWCNKCCNTbbccCCN

7、N101xebbsccWWCNKN基础方程和它的解基础方程和它的解由此式可得 将上式整理可得 将上式，整理可得在实际计算时，当列出函数模型式后，即可计算 、 、 、 、 、 和 ，然后解算 ，再求得观测值的改正数 。最后求得观测值的平差值 和参数的平差值 ，完成求平差值的工作。 )(11ebbxccsWCNWNKxccTbbebbccTbbbbWNCNWCNNCNNx111111)() (11xBWNAPVaaTaaN1aaNbbN1bbNccN1ccNeWx VLX5-2 5-2 精度评定精度评定 任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向量的协因数阵

8、及向量间的互协因数阵的推导、平差值函数协因数及其中误差的计算 单位权方差估值的计算公式单位权方差估值的计算公式 附有限制条件的条件平差法单位权方差估值的计算仍然是用除以它的自由度r，即: 其中 的计算，可以利用观测值的改正数及其权阵直接计算，当不能直接知道改正数的情况下，也可以使用下面推导的公式进行计算。 而所以 PVVTsucPVVrPVVTT20KAPVTn11KAVKAVKAPPVPVVTTTTTT)()(10111cuucnncWxBVAKBxKWKxBWPVVTTTTT) (单位权方差估值的计算公式单位权方差估值的计算公式因为 ，则有 考虑到 ，有 若将 代入上式，得 顾及到 ，则

9、011sSsuTccuTKCKBsTTsTTTTKxCKWKCxKWPVV) (011sxuusWxCsTxTTKWKWPVV) (1xBWNKaasTxaaTaaTsTxaaTTKWxBNWWNWKWxBWNWPVV) (111WNBWaaTue11sTxTeaaTTKWxWWNWPVV1各种向量的协因数阵各种向量的协因数阵 为了评定某些量的精度和研究向量之间的相关性，要用到它们的协因数阵以及它们之间的互协因数阵。在附有条件的条件平差中，基本向量有： ，现已知观测值的协因数阵 ，为求其它量的协因数阵和互协因数阵，最基本的思路是把它们表达成已知协因数阵的线性函数，然后根据协因数传播律进行求解。

10、 根据原理可以写出这些向量的基本表达式如下： LVKKXWLs，1PQQllELL 000)(WALABXALW各种向量的协因数阵各种向量的协因数阵 下面举例说明若干协因数阵的推导过程，考虑到为非随机量，所以 可以视为常量。 xccTbbebbccTbbbbWNCNWCNNCNNx111111)(xBNWNxBWNKaaaaaa) (111ebbccxccebbxccsWCNNWNWCNWNK11111)(KQAKAPVTTn11VLLXxWaaTllwwNAAQQWNBWaaTue11bbaaTaaaaaaTWeWeNBNBBNNNBQ111各种向量的协因数阵各种向量的协因数阵 因为 ，所以

11、 由此可见，参数改正数也可以表示为： 其它协因数阵不再一一推导。bbbbccTbbbbXXNCNNCNNQ)(1111TbbccTbbbbCNNCNN)(1111)(111111bbccTbbbbccTbbCNNCNNCNCNE1111111(bbccTbbbbccTbbbbCNNCNCNNCNN)11111bbccTbbccTbbCNNCCNNCNTbbccCCNN1XXQ1111111bbccTbbbbccTbbbbCNNCNCNNCNN111bbccTbbCNNCN1111bbccTbbbbCNNCNNxccTbbeXXWNCNWQx115-3 5-3 各种平差方法的共性和特性各种平差方

12、法的共性和特性 迄今为止，我们已经介绍了五种不同的平差方法，不同的平差方法对应着形式不同的函数模型。对一个平差问题，不论采用何种模型，都具备如下共同之处，即模型中待求量的个数都多于其方程的个数，它们都是具有无穷多组解的相容方程组；都采用最小二乘准则作为约束条件，来求唯一的一组最优解；对同一个平差问题，无论采用哪种模型进行平差，其最后结果，包括任何一个量的平差值和精度都是相同的。 尽管如此，由于每种平差方法都有其自身的特点，所以，在实际应用时，应综合考虑计算工作量的大小、方程列立的难易程度、所要解决问题的性质和要求以及计算工具等因素，选择合适的平差方法。为此，应了解各种平差方法的特点。 5-3

13、5-3 各种平差方法的共性和特性各种平差方法的共性和特性 条件平差法是一种不选任何参数的平差方法，通过列立观测值的平差值之间满足r个条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r个，法方程的个数也为r个，通过平差可以直接求得观测值的平差值，是一种基本的平差方法。但该方法相对于间接平差而言，精度评定较为复杂，对于已知点较多的大型平面网，条件式较多而列立复杂、规律不明显。 附有参数的条件平差需要选择u个参数，且ut,参数之间要求必须独立，通过列立观测值之间或观测值与参数之间满足的条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r+u个，法方程的个数为r+u个。常适合于下述情况：需要求个别非直接观测量的平差值和

14、精度时，可以将这些量设为参数；当条件方程式通过直接观测量难以列立时，可以增选非观测量作为参数，以解决列立条件式的困难。5-3 5-3 各种平差方法的共性和特性各种平差方法的共性和特性 间接平差需要选择u=t个参数，而且要求这t个参数必须独立，模型建立的方法是将每一个观测值表示为所选参数的函数，方程的个数为c=r+u=n个，法方程的个数为t个，通过解算法方程可以直接求得参数的平差值。最大的优点是方程的列立规律性强，便于用计算机编程解算；另外精度评定非常便利；再者，所选参数往往就是平差后所需要的成果。如水准网中选待定点高程作参数，平面网中选待定点的坐标作参数。由于r+t=n，说明条件平差与间接平差

15、的法方程个数之和等于观测值个数，因此，当某一平差问题的r与t相差较大时，若rt，则采用间接平差，这样就可保证法方程的阶数较少。5-3 5-3 各种平差方法的共性和特性各种平差方法的共性和特性 附有条件的间接平差与间接平差类似，不同的是所选参数的个数ut，但要求必须包含t个独立参数，不独立参数的个数为s=u-t个，因此，模型建立时，除按间接平差法对每一个观测值列立一个方程外，还要列出参数之间所满足的s个限制条件方程，方程的总数为c=r+u=n+s个，法方程的个数为u+s个。 附有条件的条件平差是一种综合模型，类似于附有参数的条件平差，不同的是所选部分参数不独立，或参数满足事先给定的条件。模型建立

16、时，除列立观测值之间或观测值与参数之间满足的条件方程外，还要列出参数之间的限制条件，方程总数为r+u=c+s个。法方程的阶数为c+u+s个。 5-3 5-3 各种平差方法的共性和特性各种平差方法的共性和特性 各种平差方法各有特点，有些特点是其它方法难以代替的，没有哪一种方法比另一种方法更占绝对优势，因此，对于不同的平差问题，究竟采用哪一种模型，应具体问题具体分析。 可见其它平差方法的函数模型都可以说是附有条件的条件平差法函数模型的一个特例。或者说该模型概括了所有的模型，所以，该模型又称为 “概括平差函数模型”。本章的求平差值和精度的公式也可以称为是“通用公式”。特别地，条件平差函数模型是附有参

17、数的条件平差的特例，附有参数的条件平差函数模型是条件平差函数模型的概括；间接平差也是附有条件的间接平差的一种特例，附有条件的间接平差模型也是间接平差函数模型的一种概括。5-4 5-4 平差结果的统计性质平差结果的统计性质 q 从统计学角度来看，观测就是抽样，抽样的结果称为子样，子样的任何一个函数都称为统计量。由观测而得到的观测值称为子样值，由子样值计算得到的估计量的值称为估计值。根据参数估计最优性质的判断标准知，评定一个统计量是否具有最优性质，就是要看该量是否具有无偏性、一致性和有效性。q 观测向量是随机向量，平差后求得的 等统计量也都是随机变量，本节就是要证明：按最小二乘准则求得的结果具有上

18、述最优性质。鉴于其它平差函数模型都是概括平差模型的特殊情况，因此，本节只讨论这一普遍情况，当然它的结论也一定适合其它所有平差方法。20、XL估计量估计量 和和 均为无偏估计均为无偏估计 要证明和是无偏估计，就是要证明 和 因为 ， 故要证明 ，也就是要证明：顾及 ， 为真值 与 之差， 取定后， 即为一定值。于是得： 顾及 ，则有 LXLLE)(XXE)(xXXxXX00，XXE)(xxE) (0)(ExX0X0XxxBxBEAEWE)()()(xCxCEWEx)()(WNBWaaTue11估计量估计量 和和 均为无偏估计均为无偏估计 取数学期望，得： 所以有 这就证明了 和 是 和 的无偏估

19、计量。 LX)()() (111xccTbbaaTXXWENCNWENBQxExCNCNxBNBQccTbbaaTXX111xCNCNxNCNNCNNccTbbbbbbccTbbbb)(111111xCNCNxCNCNxccTbbccTbb1111x0)()()()(11xBxBNQAxBEWENQAVEaaTaaTLLEVELELE)()()()(LXLX估计量估计量 具有最小方差具有最小方差 参数的协方差阵可由下式求出： 中主对角线元素就是各 的方差，要证明参数估值的方差最小，根据矩阵迹的定义，也就是要证明 或 是 和 的的线性函数，也即是条件方程常数项和限制条件方程常数项的线性函数。现假

20、设存在另一个 ，它也是 和的线性函数，即设： XXXXXXQD20XXD），21(iXimin)(XXDtrmin)(XXQtr)(1WNBWaaTexWWx xWxWHWHx21估计量估计量 具有最小方差具有最小方差首先要满足无偏性，则必须使 显然只有当 时， 才是无偏估计量。应用协因数传播律，并顾及为非随机量，得 现在的问题是要求出既能满足上式，又能使的迹达到极小的矩阵。这就是一个条件极值问题，为此组成新的函数 XxCHxBHWEHWEHxEx)()()(2121xxCHBH)(21ICHBH21x xTwwxxHQHQ11 )(2()(2111TTwwKICHBHtrHQHtr估计量估计

21、量 具有最小方差具有最小方差上式对 求一阶导数并令其为零，得考虑到 ，则 考虑到 ，则考虑到 ，可解得： X21HH 、02211TwwKBQHH022TKCHaawwNQ11aaTNKBHICHBNKBaaT21BNBNaaTuubb112)(bbNICHK0)(12TbbCNICHTbbCCNN1112ccTbbNCNH估计量估计量 具有最小方差具有最小方差上式对 求一阶导数并令其为零，得考虑到 ，则 考虑到 ，则考虑到 ，可解得： X21HH 、02211TwwKBQHH022TKCHaawwNQ11aaTNKBHICHBNKBaaT21BNBNaaTuubb112)(bbNICHK0)

22、(12TbbCNICHTbbCCNN1112ccTbbNCNH估计量估计量 具有最小方差具有最小方差上式对 求一阶导数并令其为零，得考虑到 ，则 考虑到 ，则考虑到 ，可解得： X21HH 、02211TwwKBQHH022TKCHaawwNQ11aaTNKBHICHBNKBaaT21BNBNaaTuubb112)(bbNICHK0)(12TbbCNICHTbbCCNN1112ccTbbNCNH估计量估计量 具有最小方差具有最小方差整理得 比较可知： ， 既为 。由于 是在无偏和方差最小的条件下导出的，这说明由最小二乘准则估计求得的 也是最优无偏估计量，故估计量 的方差最小。)(1111bbbbccTbbNCNNCNK111111)(aaTbbccTbbbbNBCNNCNNHxccTbbaaTbbccTbbbbWNCNWNBCNNCNNx1111111)( xccTbbebbccTbbbbWNCNWCNNCNN1111