第十四章压杆稳定

1、湘潭大学土木工程与力学学院第十四章压杆稳定湘潭大学土木工程与力学学院14.1. 概 述14.2 两端铰支细长压杆的临界压力14.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力14.4 欧拉公式的适用范围 经验公式14.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核湘潭大学土木工程与力学学院14.1. 概概 述述湘潭大学土木工程与力学学院摇臂挺杆气阀 内燃机挺杆湘潭大学土木工程与力学学院工作台活塞杆细长杠件受压 磨床活塞杆湘潭大学土木工程与力学学院内燃机连杆活塞连杆湘潭大学土木工程与力学学院细长杆受压失稳 湘潭大学土木工程与力学学院 对细长压杆，当压力逐渐增加，但小于某一极限值时，杆件一直保持直线形状的平衡。这表明压杆

2、直线形状的平衡是稳定的。 当压力逐渐增加到某一极限时，压杆的直线平衡变为不稳定，将转变为曲线形状的平衡。这时如再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将保持曲线形状的平衡，不能恢复原有直线形状。上述压力的极限值称为临界压力或临界力，记为Pcr。压杆丧失其直线形状，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲(buck)。 湘潭大学土木工程与力学学院薄壁容器失稳 梁或板条失稳 湘潭大学土木工程与力学学院14.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力湘潭大学土木工程与力学学院两端铰支的细长压杆 截面x处的内力(此处压力P取绝对值，而v与M的符号与梁的内力符号一致)PvM(a)湘

3、潭大学土木工程与力学学院 对微小的弯曲变形，挠曲线的近似微分方程为（6.5）式，即 EIMdxvd22由于两端是球铰，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最小的纵向平面内。所以，上式中的 I 应是横截面最小的惯性矩。代(a)入(b) EIPvdxvd22(b)(c)湘潭大学土木工程与力学学院引用记号 EIPk 2于是(c)式可以写成 0222vkdxvdkxBkxAvcossin以上微分方程的通解为 式中A、B为积分常数。(d)湘潭大学土木工程与力学学院杆件的边界条件是x=0 和x=l时，v=0当x=0 ，v=0时0B则kxAvsin当x=l ，v=0

4、时0sinklA()湘潭大学土木工程与力学学院 由(*)知A0，否则v0，这与假定压杆处于临界状态不符。故必有0sinkl由此求得), 2 , 1 , 0(nlnk湘潭大学土木工程与力学学院222lEInP回代到式(d)则有因为n是0、1、2、等整数中的任一个整数，故上式表明，使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。在这些压力中，使杆件保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力Pcr。 湘潭大学土木工程与力学学院 如取n=0，则Pcr=0，表示杆件上并无压力，自然不是我们所需要的。 如取n=2，则lxAv2sin湘潭大学土木工程与力学学院lxAv3sin 如取n=3，则显然对于n2，如果在曲线拐

5、点处没有支座，其变形是不可能实现的。湘潭大学土木工程与力学学院lxAvsin 如取n=1，则这是可能出现的。湘潭大学土木工程与力学学院故临界力大小为22lEIP这是两端铰支细长压杆临界力的计算公式，也称为两端铰支压杆的欧拉(Euler)公式。 (14.1)湘潭大学土木工程与力学学院例1 柴油机的挺杆是钢制空心圆管，外径和内径分别为12mm和10mm，杆长383mm，钢的E=210GPa。根据动力计算，挺杆上的最大压力P=2290N。规定的稳定安全系数为nst=35。试校核挺杆的稳定性。 解：挺杆横截面的惯性矩是 484444m100526. 001. 0012. 06464dDI湘潭大学土木工

6、程与力学学院由公式（14.1）算出挺杆的临界力为N7400383. 0100526. 010210289222crlEIP 临界压力与实际最大压力之比，为压杆的工作安全系数，即23. 322907400crPPn规定的稳定安全系数为nst=35，所以挺杆满足稳定要求。湘潭大学土木工程与力学学院 前面我们求取了压杆的临界力，但是表达式lxAvsin中的系数A并没有得到。压杆过渡为曲线平衡后，轴线弯成半个正弦波曲线。A为为杆件中点（即l/2处）的挠度。它的数值很小，但却是未定的，若以横坐标表中点的挠度d，纵坐标表压力P。湘潭大学土木工程与力学学院n 当P小于Pcr时，杆件的直线平衡是稳定的，d=0

7、， P与d 的关系是垂直的直线OA。n 当P达到Pcr时，直线平衡变为不稳定，过渡为曲线平衡后， P与d 的关系为水平直线AB 。 湘潭大学土木工程与力学学院湘潭大学土木工程与力学学院14.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力湘潭大学土木工程与力学学院千斤顶螺杆 千斤顶螺杆就是一根压杆(如右图)，其下端可简化成固定端，面上端因可与顶起的重物共同作微小的位移，所以简化成自由端。这样就成为下端固定、上端自由的压杆。 湘潭大学土木工程与力学学院 把变形曲线延伸一倍，如图中假想线所示。可见一端固定、另一端自由且长为l的压杆的挠曲线，与两端铰支、长为2l的压杆的挠曲线的上

8、半部分相同。所以，对于一端固定、另一端自由且长为l的压杆，其临界压力等于两端铰支长为2l的压杆的临界压力，即 22cr2lEIP一端固定、一端自由的压杆(14.2)湘潭大学土木工程与力学学院两端固支压杆 两端固支压杆 22cr2lEIP 把长为l/2的中间部分CD看作是两端铰支的压杆，其临界力为 (14.3)湘潭大学土木工程与力学学院一端固支一端简支压杆 对这种情况，可近似地把大约长为0.7l 的CB部分看作是两端铰支压杆。于是计算临界压力的公式可写成 22cr)7 . 0(lEIP一端固支一端简支压杆 (14.4)湘潭大学土木工程与力学学院公式(14.1)、(14.2)、(14.3)和(14

9、.4)可以统一写成 22cr)( lEIP这是欧拉公式的普遍形式。式中l 表示把压杆折算成两端铰支杆的长度，称为相当长度，称为长度系数。 (14.5)湘潭大学土木工程与力学学院压杆的约束条件 长度系数 两端铰支 = 1 一端固定，另一端自由 = 2 两端固定 = 0.5 一端固定，另一端铰支 = 0.7表表14.1 压杆的长度系数压杆的长度系数湘潭大学土木工程与力学学院例例2 由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定、另一端铰支杆件的Euler公式。 PPxyv解：一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图示。为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力Q。于是挠曲线的微分方程应为 xlEIQEIPv

10、EIxMdxvd22湘潭大学土木工程与力学学院引用记号 EIPk 2，上式可以写成 xlEIQvkdxvd222以上微分方程方程的通解为xlPQkxBkxAvcossin湘潭大学土木工程与力学学院由此求出v的一阶导数为PQkxBkkxAkdxdvsincos杆件的边界条件是x=0时0, 0dxdvvx=l 时0v湘潭大学土木工程与力学学院考虑以上边界条件，得 0cossin00klBklAPQAklPQB这是关于A、B和Q/P的齐次线性方程组。因为它们不能皆等于零，即要求以上齐次线性方程组必须有非零的解，所以其系数行列式应等于零。故有 湘潭大学土木工程与力学学院00cossin1010klkl

11、kl展开得 klkl tan上列超越方程可用图解法求解。 湘潭大学土木工程与力学学院 以kl为横坐标，作直线y=kl和曲线y=tankl，其第一个交点的横坐标 49. 4kl由此求得 2222cr7 . 016.20lEIlEIEIkP图解超越方程 湘潭大学土木工程与力学学院14.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式湘潭大学土木工程与力学学院 前面已经导出了计算临界压力的公式(14.5)，用压杆的横截面面积A除Pcr，得到与临界压力对应的应力为 AEIAP2crcrcr称为临界应力。把横截面的惯性矩 I 写成 AiI2式中i为截面的惯性半径。 湘潭大学土木工程与力学学院如

12、此，临界应力可以写成22crilE湘潭大学土木工程与力学学院引用记号l是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力cr的影响。由于引用了柔度l ，计算临界应力的公式可以写成 ill(14.6)22crlE(14.7)湘潭大学土木工程与力学学院 公式(14.7)是欧拉公式(14.5)的另一种表达形式，两者并无实质性的差别。欧拉公式是由弯曲变形的微分方程导出的，而材料服从虎克定律又是上述微分方程的基础，所以，只有临界应力小于比例极限P时，公式(14.5)或(14.7)才是正确的。EIMxv22dd湘潭大学土木工程与力学学院令cr小于P ，得

13、p22lE或p2lE于是欧拉公式的适用范围为取p21lE(14.8)1ll(14.9)湘潭大学土木工程与力学学院 公式（14.8）表明，l1与材料的性质有关，材料不同，l1的数值也就不同。以钢为例，E=206GPa，P=200GPa，于是10010200102066921l所以，用A3钢制成的压杆，只有当l1 100时，材料可以使用欧拉公式。满足条件ll1的压杆，称为大柔度压杆。前面经常提到的“细长”压杆就是指大柔度压杆。湘潭大学土木工程与力学学院 若压杆的柔度ll1，则临界应力大于材料的比例极限，这时欧拉公式已不能使用，属于超过比例极限的压杆稳定问题。常见的压杆，如内燃机连杆、千斤顶螺杆等，

14、其柔度就往往小于l1。 对超过比例极限后的压杆稳定问题，也有理论分析的结果。但工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式 和 抛物线公式。 湘潭大学土木工程与力学学院直线公式 lba cr(14.10)式中a与b是与材料性质有关的常数。例如对钢制成的压杆，a=304MPa，b=1.12MPa。在表14.2中列入了一些材料的a与b的数值。湘潭大学土木工程与力学学院表表14.2 直线公式的系数直线公式的系数材料(MPa)abA3b3723041.12s=235优质碳钢b4714612.568s=306钼钢b5105783.744s=353