数字逻辑与设计(詹瑾瑜)第二章2015

1、1第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础22.1.1 2.1.1 三种基本运算三种基本运算 前面介绍了数字信号是离散信号，其变量只有两种取值，故称双值变量。电路表示：高电位(UH)、低电位(UL)双值代数表示：两个符号“1”、“0”定义：逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K、常量0和1以及“逻辑乘(与)”、 “逻辑加(或)”、“逻辑反(非)”三种基本运算所构成，记为： L= K , + , , - , 0 , 1 一、逻辑代数的定义一、逻辑代数的定义3二、逻辑代数的三个基本运算二、逻辑代数的三个基本运算若定义开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯灭为0。1 1、与运算、与运算FE

2、 AB真值表 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A B F4即 Ff(A，B)AB=ABAB ABF曾用符号 A B&F国标符号ABF美国符号实现逻辑乘的逻辑电路称为与门。与门的逻辑符号为：5若定义开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯灭为0。F 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A B F真值表6或门的逻辑符号为：实现逻辑加的电路称或门。即：Ff(A，B)ABAB ABF+曾用符号 1ABF国标符号ABF美国符号71 00 1A F真值表若定义开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯灭为0。8 1国标符号美国符号非门的逻辑符号为：完成逻辑反运算的电路称非门。 曾

3、用符号函数式为：FA 。92.1.22.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等10二、逻辑函数的相等二、逻辑函数的相等112.1.3 2.1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法122.2.1 2.2.1 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理00011101010100111010 012.2 2.2 逻辑代数的基本定理和规律逻辑代数的基本定理和规律11100013三、交换律三、交换律00 A11 AAAAAAA0 AA1 AAABBAABBAAA 1AA 014四、结合律四、结合律15六、摩根律六、摩根律BAABBABA证：用真值表法证明BAABABABBABABA1

4、6七、其他常用公式七、其他常用公式AABA吸收律：ABAA)(BABAA消去律：BABAA)(ABAAB其它：ABABA)()(冗余律添加律CAABBCCAAB)()()()()(CABACBCABA17)1 ()1 (BCACABBCAACAAB)(CAABHGEBCDCAAB)(BCHGEBCDCAAB)()(1 HGEDBCCAABBCAABCCAABCAABBCCAABCAABBCCAABCAAB182.2.2 2.2.2 重要规则重要规则任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。一、代入规则一、代入规则例：对摩根律BAAB令 代入式

5、中BCB CBABCABCA)(则：19以此推广得到摩根律的一般形式: DCBAABCD DCBADCBA20二、反演规则二、反演规则使用反演规则时，应注意保持原函数式中的运算符号的优先顺序不变。另外不属于单个变量上的反号应保持不变。即由),( CBAF求反函数),( CBAF+0 11 0+AAAA21)(EDCBAF)(EDCBAF例2：CBAF(直接去掉反号)CBAFCBACBACBAF)(其实反演规则就是摩根律的推广。例3：)(CABBAF按反演规则可直接写出：)(CABBAF22若用摩根律则先对原函数两边取非，得：)(CABBAF)(CABBA)(CABBA)(CABBA23三、对偶

6、规则三、对偶规则结论：若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。1.(F)=F 由 F(A，B，C )求F(A，B，C ) 0 1 1 0+AAAA2425四、展开规则四、展开规则一个多变量函数F=f(X1,X2,Xn)，可以将其中任意一个变量，例如X1分离出来，并展开成：),(21nXXXfF), 1 (), 0(), 1 (), 0(21212121nnnnXXfXXXfXXXfXXXfX上述算式之正确性的验证只要令X1=0或1分别代入便知。26例：试化简下列函数：)(EADACAABAF)0)(1 (01 1)1)(0(10 0EDCBAEDCBA

7、F解：)0)(1 (01 10EDCBA)(EBA)1 (EDBA272.2.3 2.2.3 几种导出几种导出( (复合复合) )的运算的运算 FAB A B111 F A B F A BABFFAB A B1 F A B F A BABF28AABB C CDD F F +1 ABFCDAB CD F=AB+CD 1&129异或门的逻辑符号:=1AABBFFFAB曾用符号美国符号国标符号=1AABBFFFAB曾用符号美国符号国标符号同或门的逻辑符号:AF BBABA异或AF BBAAB同或30异或和同或的真值表如下:A B A B A B31A A=0 A A=11 A=A 0 A=

8、A(2) 0 A=A 1 A=A1 1=0 0 0=10 0=0 1 1=1(1) 1 0=0 1=1 0 1=1 0=0A A=1 A A=032A B=B A A B=B A(4) (4) 结合律结合律 A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C(5) (5) 分配律分配律 =ABC+ABC=A(B C)=左式证: 右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B)A(B C)=AB AC33若 A B=C 则 A C=B 或 B C=A 若 A B=C 则 A C=B 或 B C=A(6) (6) 因果互换律因果互换律=A+BC+BC=A+(B C)=左式 证:

9、右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BC34 352.2.4 2.2.4 正逻辑与负逻辑正逻辑与负逻辑36正逻辑 负逻辑与门 或门或门 与门与非门 或非门或非门 与非门异或门 同或门同或门 异或门37ABF&1如：正逻辑与门F=AB，对应负逻辑的或门F=A+B。38例：正逻辑的与门等价负逻辑的或门0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1 0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1 +3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1 +3.6V +3.6V +3.6V 1 1 1 0 0 0电平表 正逻辑 负逻辑输入 输出 真值表 真值表VA VB VF A B F A

10、 B F392.3.1 2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式逻辑函数表达式的基本形式一、标准与或式一、标准与或式( (积之和积之和) )、最小项和式、最小项和式二、标准或与式二、标准或与式( (和之积和之积) )、最大项积式、最大项积式标准式的定义：n个变量组成的函数式，其中每个变量在函数式的每一项中都必须以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。如:ABCCBACABCBAF),(如:)()(),(CBACBACBACBAF2.3.1 2.3.1 402.3.2 2.3.2 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式=)6 , 5 , 3 , 2(m6532mmmmCABCBABCACBACBAF)

11、,(41最小项的几个性质最小项的几个性质CBAm 5(3) ，即任意两个不相同的最小项的乘积为0。0jimm)(ji 例：0),(52CBACBAmmCBAF421201niim(4) 所有最小项的和为1，即 。ABBABABAmmmmBAF3210),(1)()(AABBABBA(6) 任一个n变量的最小项，都有n个相邻的最小项。43)()(),(CBACBACBACBAF)4 , 2 , 0(M042MMM44最大项的性质(1) 在输入变量的任何取值下，必有一个，且仅有一个最大项的值为0。如三变量ABC101，则：0)(CBA(2) ，即任意两个最大项之和为1。1jiMM)(ji 0)(A

12、ABABAAABBAA)()()(),(BABABABABAF例：1200niiM45(4) 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和，即消去一个变量。例:BABCACCBBABCAABACBACBA)(5) ，即相同编号的最大项与最小项互为反函数。 iimM 例:CBAm0CBACBAmM0046A B C 最小项 编号 最大项 编号1 1 1 m7 M71 1 0 m6 M61 0 1 m5 M5 1 0 0 m4 M40 1 1 m3 M30 1 0 m2 M20 0 1 m1 M10 0 0 m0 M0CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA

13、CBACBACBACBA472.3.3 2.3.3 逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换第一步：将函数式变换成一般“与或”表达式用代数法求一个函数的“最小项之和”的形式：一、代数转换法一、代数转换法第二步：反复使用 ，将表达式中所有非最小项的“与项”扩展成最小项。)(BBAA48用代数法求一个函数的“最大项之积”的形式：第二步：反复利用 把表达式中非最大项的“或项”扩展成最大项。)(BABAA49(2)变换为标准积之和ABCBBACBAF)(),(ABCBBAABCBBACBAF)()(),(ABBCCABA)()()()(CCABAABCBBCACCBAFABCCABBCACBACBA解

14、：(1)将表达式变换成“与或”表达式76310mmmmm)7 , 6 , 3 , 1 , 0(m50解：(1)将表达式变换成“或与”表达式例2：将 变换成最大项之积。CBCAABCBAF),(CBCAABCBCAABCBAF),(CBCABA)()()(CCABABCABAF)()(CBACBABA)()()(CCACBABCABBA51)()()(CBACBACBACBAF)()(CBACBACBA)7 , 6 , 3(763MMMM52例1：将 表示成最小项之和。CBBACBAF),(二、真值表转换法二、真值表转换法)6 , 5 , 4 , 2(),(mCABCBACBACBACBAF53

15、例2：将例1的式子表示成最大项之积。)7 , 3 , 1 , 0()()(),(MCBACBACBACBACBAFCBBACBAF),(542.4.1 2.4.1 公式法化简公式法化简2.4 2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简55ABAABBACBACBAACBACAB例2：BAFEBCDABA)(3、消去法：利用定理 BABAA2、吸收法：利用定理 AABA例3：DCACADCCADCA564、配项法，利用 及 AA11 AABACBCBBA例4：CDABAACDBACBAF),(CBABCACBACBACBBABACCCBAACBBA)()(CACBBA)()(CDBACDBACDB)(

16、),(DCABABDCABABDCBAF)(1 DCDCABAB57EDCBEEADCBADCBAF),(DEBADBCACBADCDBCBACF)(EDCBAEDCBA)(EDCBAEDCBABAEDCBADEBACBADCDBCBACDEBAADCDBCBACDCDBCBADBCBA58二、或与式化简二、或与式化简例1:)()()(DCACBBABAFACDBCBAABF对于或与式的化简，可以直接用公理、定理进行化简，也可以先用对偶规则把F的或与式转换成F的与或式，化简得到F的最简与或式后，再用对偶规则把F转换成F的最简或与式。ACDBCABCA)()(CBAFF59例2:)()()(CA

17、CBBABAFCABCBABAFCBABAFF)()(CABBABA)(CBABABACBABA602.4.2 2.4.2 卡诺图化简法卡诺图化简法F1AB0011m0m1m2m3F2ABC0110110100m0m1m2m3m4m5m6m761ABCDF30001000110101111m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m1562BCDEF40001 111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15BCDEF40001 111000011110m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m

18、26m27m28m29m30m31A=0A=163图形两侧标注的“0”和“1”表示使对应小方格内最小项为1时的变量取值(1为原变量,0为反变量)。64（2）按（1）将卡诺图中所有的“1”格圈完。在卡诺图中，变量取值为0的是反变量，变量取值为1的是原变量。（3）将所得到的乘积项相加，得到函数的最简与或式。65660011ABF11110011ABF211BAF1BABAF2ABBABA670001101101BCAF3111111CBCABAF3BACACB680001101101BCAF3111111BACBCAF3CACBBA690001101101BCAF411111ABBCACCBAF4

19、CBABCACAB700001101101BCAF51111CF 5C710001101101BCAF6111111CAF6AC720001101101BCAF711111111F7CAABCCDACBAF8CBACDAABCDCA7411111111DCBDF9BDDC7511111111DBBDF10BDDB761111111111DCBCADBAF11BAADBCDC7711111111DBDBF12DBDB78在卡诺图中，圈“1”可以得到逻辑函数的最简与或表达式，而圈“0”可以得到逻辑函数的最简或与表达式。注意：用卡诺图求最简与或表达式时，原变量为1，反变量为

20、0；而用卡诺图求最简或与表达式时，原变量为0，反变量为1。7911111111)()()(13CBADCADCACBAFCBADCADCACBA8011111111)(14DBDBFDBDB 811111111111)()(15DCBDBACAFCADBADCB821、把与或式化成标准与或式填入卡诺图例1BCAACABFBCABBACCCAB)()(BCACBACABABC)7 , 6 , 5 , 3(7653mmmmm0100101101BCAF1111化简后： F=AC+AB+BCACBCAB83CDBDCBACABDCBFABCD00FCBACDCBFCBCDCBA843、化简为或与式)

21、(DCBAFDC BA854、利用禁止逻辑化简逻辑函数0001101101BCAF111CBACCBACBCACmCF)(3即任何逻辑函数逻辑加上不属于它的最小项后再乘上不属于这个最小项之非，其逻辑功能不变。禁止项86以上图为例，则：0001101101BCAF111禁止项75137513375133)()()(mmmmmmmmmmmmmmFF87事实上，禁止逻辑也可由几个最小项组成，例如可将函数F写成 ，只要mi和mj都不属于原函数F即可。这种利用禁止项化简逻辑函数的方法，称为禁止法或阻塞法，写出的表达式叫做禁止逻辑式。jijimmmmF)(例1：试用禁止法化简下列逻辑函数：CBAACDDBADABDCBAF),(88DCABADABCBF)(1111111CBABAD89例2:试用禁止法化简下列逻辑函数)14,13,11,10, 7 , 4 , 1 , 0(),(mDCBAF)(ABCDDCBABDACCAFABCDF000001011010111111111111禁止项CAACBD90)(ABCDDCBABDACCAFBDACCABDACCA)( )()(B