第八章第2次课 (1)

1、数理方程总结数理方程总结一、线性方程和叠加原理一、线性方程和叠加原理线性算符线性算符：仅含一阶或二阶偏导数的一次幂。：仅含一阶或二阶偏导数的一次幂。叠加原理叠加原理：对于线性方程：对于线性方程Lu(x,y,z,t)=0而言，而言，若若u1和和u2是方程的解，则它们的线性组合是方程的解，则它们的线性组合u3=c1u1+c2u2也是方程的解。也是方程的解。二、定解条件二、定解条件1、初始条件、初始条件0 x0 xLuh2、边界条件、边界条件1）第一类边界条件）第一类边界条件：给定要求解的函数：给定要求解的函数u在边界上的值。在边界上的值。例：取一根长度为例：取一根长度为L的弦，把它的两端固定。的弦

2、，把它的两端固定。例：细杆导热问题，杆的一端例：细杆导热问题，杆的一端x=L处与恒温处与恒温T的环境中。的环境中。2）第二类边界条件）第二类边界条件：给定要求解的函数：给定要求解的函数u在边在边界上的法向导数值。界上的法向导数值。例：细杆的横振动问题，杆的一端如果不受任何例：细杆的横振动问题，杆的一端如果不受任何约束。约束。3）第三类边界条件：）第三类边界条件：一和二的组合一和二的组合例：细杆的导热问题，如果杆的例：细杆的导热问题，如果杆的x=L端自由冷却，端自由冷却，环境温度为环境温度为T。4）衔接条件：）衔接条件：由于某种原因，所研究的体系内部由于某种原因，所研究的体系内部出现某种突变。出

3、现某种突变。 举例举例1 对于柔软弦的纵向微振动问题导出下对于柔软弦的纵向微振动问题导出下述情况的初始条件：述情况的初始条件： 如图所示，弦的两端固定，用横向力如图所示，弦的两端固定，用横向力F拉弦拉弦上的点上的点x=x0(设设FFT,FT为弦的张力为弦的张力)，把弦，把弦拉成如图所示的三角形状，即达到平衡后拉成如图所示的三角形状，即达到平衡后放手放手x=0 x=x0 x=LhFFTFT 举例举例3：一长为：一长为L的匀质细杆，导热系数为的匀质细杆，导热系数为k，左端有恒定的热流流入，有恒定的热流流左端有恒定的热流流入，有恒定的热流流出，热流强度（即单位时间流过单位界面出，热流强度（即单位时间

4、流过单位界面的热量）都是的热量）都是Q，写出该热传导问题的边界，写出该热传导问题的边界条件。条件。 QQx=0 x=L 例例4：一根导热杆由两种介质构成，两段的：一根导热杆由两种介质构成，两段的导热系数、比热容、质量密度分别为导热系数、比热容、质量密度分别为k1,c1, 1和和 k2，c2， 2。杆中的初始温度分布。杆中的初始温度分布为，且杆的两端和侧面都保持绝热。写出为，且杆的两端和侧面都保持绝热。写出这个热传导问题的整个定解问题。这个热传导问题的整个定解问题。IIIx=0 x=ax=b一长为一长为L的柔软均质重弦，上端固定在的柔软均质重弦，上端固定在以匀角速度以匀角速度 缓慢地转动的竖直轴上，缓慢地转动的竖直轴上，由于重力的作用，重弦的平衡位置是由于重力的作用，重弦的平衡位置是竖直线，试证明重弦相对于竖直线的竖直线，试证明重弦相对于竖直线的横向微振动方程为：横向微振动方程为：式中为弦的相对于竖直轴的横向位移，式中为弦的相对于竖直轴的横向位移，g是重力加速度。是重力加速度。222,txuxtxuxlxgttxu0uFTxFT x+dxF=dxu2xxx+dx一半径为一半径为R而表面熏黑的金属长而表面熏黑的金属长圆柱体，受到阳光照射，阳光方圆柱体，受