机电系统检测与控制-第二章机械系统数学模型建立(2)

1、济南大学机械工程学院济南大学机械工程学院第二章第二章 机械系统数学模型建立机械系统数学模型建立第二章第二章 机械系统数学模型建立机械系统数学模型建立2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述一、质量和惯量的转化质量和惯量的转化 质量质量m：指储有直线运动动能的部件属性。：指储有直线运动动能的部件属性。 力力质量系统质量系统dtdvmdtxdmmaF22mxF(t)2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述转动惯量转动惯量J：表示具有转动动能的部件属性。：表示具有转动动能的部件属性。转动惯量取决于部件相对转动轴的几何位置和部转动惯量取决于部件相

2、对转动轴的几何位置和部件的密度。件的密度。nkiisikisiikJvmE121221212.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述转动元件的瞬时动能为转动元件的瞬时动能为： 移动元件的瞬时动能为：移动元件的瞬时动能为：式中式中 m化化转化质量转化质量(等效质量等效质量)； J化化 转化惯量转化惯量(等效转动惯量等效转动惯量)。221ikJE化221ikvmE化2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述机床传动机构示意图机床传动机构示意图1 、2、3、4齿轮齿轮5丝杠丝杠 6工作台工作台等效质量2621vm化 已知齿轮已知齿轮1 、2、3、4

3、及丝杠及丝杠5和工作台和工作台6，其转动，其转动惯量惯量J1，J2， J3， J4 ，J5，工作台，工作台6的质量为的质量为m6，各各齿轮的齿数为齿轮的齿数为Z1，Z2，Z3，Z4，丝杠，丝杠5螺距为螺距为12mm，求工作台求工作台6的转化质量。的转化质量。266245244223222211212121212121vmJJJJJ2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述机床传动机构示意图机床传动机构示意图1 、2、3、4齿轮齿轮5丝杠丝杠 6工作台工作台266626452644vvmvJvJ262326222611vJvJvJm化2.1 机械系统建模中基本物理量的描

4、述机械系统建模中基本物理量的描述626454262322611mvJJvJJvJ21431432456212212212212zzzzzzv6542343223142127. 0mJJzzJJzzzzJm化2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述二、弹性系数的转化二、弹性系数的转化 轴向弹性系数轴向弹性系数k 表示位移弹簧的位能。表示位移弹簧的位能。力力弹簧系统弹簧系统)()(tkxtFF(t)kX(t)2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述扭力弹簧系数或扭转刚度系数扭力弹簧系数或扭转刚度系数k表示旋转弹簧的位能。表示旋转弹簧的位能。转

5、矩转矩扭力弹簧系统扭力弹簧系统)()(tktTT(t)(t)k2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述弹性系数的转化弹性系数的转化 旋转传动系统弹性系数的转化：旋转传动系统弹性系数的转化：式中式中 k化化转化弹性系数；转化弹性系数； kj各构件的弹性系数；各构件的弹性系数； ij各构件到被研究元件间的传动比。各构件到被研究元件间的传动比。 此式是对旋转传动系统而言的，如果是移动此式是对旋转传动系统而言的，如果是移动系统则需要变换。系统则需要变换。 21jnjjikk化2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述移动系统弹性系数的转化：移动系统

6、弹性系数的转化：串联弹簧的等效数学表达式为：串联弹簧的等效数学表达式为：并联弹簧的等效其数学表达式为：并联弹簧的等效其数学表达式为：nkkkk111121化nkkkk21化2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述三、阻尼系数的转化三、阻尼系数的转化 机械系统在工作过程中，相互运动的元件间存机械系统在工作过程中，相互运动的元件间存在着阻力，并以不同的形式表现出来。如摩擦阻力、在着阻力，并以不同的形式表现出来。如摩擦阻力、流体的阻力以及负载阻力。这些在建立物理模型时流体的阻力以及负载阻力。这些在建立物理模型时都需要进行转化，都需要进行转化，转化为与速度有关的粘滞阻尼力。

7、转化为与速度有关的粘滞阻尼力。2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述(一一)直线运动的摩擦直线运动的摩擦FxFxFFFxFxFFabcd)()(xxFtFx ftF)( 1静摩擦静摩擦 2动摩擦动摩擦 3粘滞摩擦粘滞摩擦0)(xFtF2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述(二二)旋转运动的摩擦旋转运动的摩擦 直线运动的三种摩擦均适用于转动。直线运动的三种摩擦均适用于转动。 0TtT)()(TtTftT)(2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述 (三三)阻力系统转化为当量粘滞阻尼系数阻力系统转化为当量粘滞阻

8、尼系数 上边讲的系统中存在的阻力性质是不相同的，上边讲的系统中存在的阻力性质是不相同的，但系统在运行过程中都要消耗能量是共同的。在数但系统在运行过程中都要消耗能量是共同的。在数学模型的建立中，只有与构件运动速度成正比的阻学模型的建立中，只有与构件运动速度成正比的阻力才是可行的。所以，力才是可行的。所以，利用摩擦阻力与粘滞阻力所利用摩擦阻力与粘滞阻力所消耗的功相等这一基本原则来求取转化粘滞阻尼系消耗的功相等这一基本原则来求取转化粘滞阻尼系数。数。2.1 机械系统建模中基本物理量的描述机械系统建模中基本物理量的描述2.2 机电系统数学模型的建立机电系统数学模型的建立一、列写微分方程的一般步骤：一、

9、列写微分方程的一般步骤：(1)(1)要先明确输入和输出变量；要先明确输入和输出变量；(2)(2)利用对系统的分析，找出各元部件之间的利用对系统的分析，找出各元部件之间的动态联系动态联系: : 微分方程组；微分方程组；(3)(3)消去中间变量，得到输入、输出变量间的微分消去中间变量，得到输入、输出变量间的微分方程；方程；(4)(4)写成写成标准式标准式：即与：即与输入变量输入变量有关的项放在等有关的项放在等号的号的右边右边，与，与输出变量输出变量有关的项放在等号有关的项放在等号左边左边。并按求导次数依次降低的顺序排列。并按求导次数依次降低的顺序排列。2.2.1 微分方程及其线性近似微分方程及其线

10、性近似例例1：求：求组合机床动力滑台力学模型组合机床动力滑台力学模型的微的微 分方程。分方程。fi(t)xo(t)kfM由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：22)()()()(dttxdMdttdxftkxtfoooi)()()()(22tftkxdttdxfdttxdMiooo二阶线性定常非齐次微分方程！二阶线性定常非齐次微分方程！2.2.1 微分方程及其线性近似微分方程及其线性近似例例2：求求摆锤的扭转力矩与扭转角之间：求求摆锤的扭转力矩与扭转角之间的关系。的关系。由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：2.2.1 微分方程及其线性近似微分方程及其线性近似)(tTKCJ KCsJssTs21)

11、()()(sF一、拉氏变换的定义：一、拉氏变换的定义：(1)当当 t 0时，时， x(t)在每个有限区间上分段连续；在每个有限区间上分段连续；对于函数对于函数 x(t)，如果满足下列条件：如果满足下列条件：(2) 存在，其中存在，其中s=+j为复变量。为复变量。0-e)(dttxst0-e )()(Ldttxtxst为原函数为原函数为象函数为象函数2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换二、典型函数的拉氏变换二、典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数、单位阶跃函数: 1(t)=1, (t0)ssdtdtttststst1e1ee)(1)(1 L0002、单位斜坡函数、单位斜坡函数: t1(

12、t)0t1(t)100ee)( 1)( 1Ldttdtttttstst2020001e1)1(ee)e ()(ssdtsstdststststst0tt1(t)452.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换二、典型函数的拉氏变换二、典型函数的拉氏变换(t)在在a0时时t-a/21/aa/20, (t0);, (t=0); 且有且有(t)=001)( dtt1)(e)()(L000dttdtttst4、指数函数、指数函数: e-at 1(t)asasdtttastasat1e1e)( 1e L0)(0)(3、单位脉冲函数、单位脉冲函数: (t)astat1)( 1e L1)(Ltst1)(

13、1 L21)( 1Lstt2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理1、线性性质：、线性性质：02121e)()()()(Ldttbxtaxtbxtaxst0201e )(e )(dttxbdttxastst)()(21sbXsaXt例：0 x(t)452)( 1)( 12)(ttttx2212112)(sssssX2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理2、微分性质：、微分性质：0e)()(Ldtdttdxdttdxst00)(e )()(edtstxtxstst0e

14、 )()0(dttxsxst)0()(xssX)0()(L)(L22xdttdxsdttxd)0()0()(2xsxsXs若系统处于若系统处于零初始条件零初始条件下：则有下：则有)()(LssXdttdx)()(L222sXsdttxd)()(LsXsdttxdnnn2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理例例：在零初始条件下求输出的拉氏变换。：在零初始条件下求输出的拉氏变换。)()()()()(22tnxdttdxmtcxdttdxbdttxdaiiooo解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：解：对上方程在零初始条件下求拉氏变

15、换得：)()()()(2sXnmssXcbsasio)()(2sXcbsasnmssXio利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理3、积分性质（在零初始条件下）：、积分性质（在零初始条件下）：)(1)(L0sXsdttxt4、延时定理：、延时定理：)()(1)(LsXettxs0t1( t -)1例例：) 2( 1) 2()( 12)(ttttx22112)(sessXsx(t)t045222.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的基本性质

16、和定理三、拉氏变换的基本性质和定理5、终值定理：、终值定理：)(lim)(lim0ssXtxst证明证明00)0()()(ee)()(LxssXtdxdtdttdxdttdxstst )0()(lim)(elim000 xssXtdxssts)0()(lim)0()(limxssXxtxost)(lim)(lim0ssXtxst 2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm采用采用部分分式展开法部分分式展开法求拉氏反变换：求拉氏反变换： x(t) X(s) X(s)=Lx(t)x(t) X(s) X(s)

17、=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=LX(s)X(s) x(t) x(t)=LX(s)-1 )(.)()()(.)()(1211121sXLsXLsXLtxsXsXsXsXnn2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换1、只含不同单极点的、只含不同单极点的)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX)()()()(2211nnkkpsApsApsApsA式中：式中：kpskkkpssXpssXsA)()(lim),(Re四、拉氏反变换四、拉氏反变换tpiiiieApsAL12.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换1、只含不同单极点的情况：、

18、只含不同单极点的情况：例例1233)(2ssssX)( 1)2()(2teetxtt例22354)(22sssssX)( 1)2()()(2teettxtt)2(1) 1(2)2)(1(3)(ssssssX解：解：211212331)(2ssssssX解：2)1()(11sssXA1)2()(22sssXA2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换 teateasassaLcbssKsKLcbsssXKsKjscbpsKpsKcbssKsKsXttjsnnsincos,.,04,.21222221122112212,1223221通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换

19、通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换2、含共轭复数极点的情况：、含共轭复数极点的情况：2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换2、含共轭复数极点的情况：例sssssX231)(ssss112sss1)()(222321ssss1)()(33)()()(2222232123232121)( 1 1)cossin()(23233321tttetxt2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换 nnrrrpsKpsKpsKpsKpsKsX.221111121113、含重极点的情况：、含重极点的情况： rrrrrrrrpssXdsdKpssXKpssXK

20、pssXK111!1111!21131!1112111.lim.lim.lim.limS - p1S=-p1为为r 重极点重极点展开为展开为r 个分式个分式2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换例132) 1(32)(ssssX3、含重极点的情况：1) 1() 1(12233sBsBsB2 32) 1)(12133ssssssXB022) 1)(1132sssssXdsdB 12!21)1)(!21113221ssssXdsdB)( 1)()(2teettxtt11) 1(23ss2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换例2) 1()2(3)(2s

21、sssX3、含重极点的情况：nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm 12)2(212211sAsAsA1)2()(2211sssXA2)2()(2212sssXdtdA2)1()(12sssXA)( 12)2()(2teettxtt2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换例2) 1()2(3)(2ssssX3、含重极点的情况：2221221221112121112111121211121ssssssssssssss)( 12)2()(2teettxtt212121ssss2.2.2 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换 线性定常系统线性定

22、常系统在在零初始条件零初始条件下，输出量下，输出量的拉氏变换与输入量的的拉氏变换与输入量的拉氏变换拉氏变换之比。之比。 一、传递函数的定义一、传递函数的定义 nnnmmmasasabsbsbsRsCsG110110)()()(即系统的传递函数为：即系统的传递函数为：式中式中: :C(s)为系统的输出量，为系统的输出量，R(s)为输入量，为输入量，mn。a0 0、a1 1、 an 及及b0 0、b1 1、 、bm 均为实数均为实数, , 其数其数值由系统的结构及参数决定。值由系统的结构及参数决定。 2.2.3 传递函数传递函数一、传递函数的定义一、传递函数的定义 若线性定常系统的微分方程一般形式

23、为：若线性定常系统的微分方程一般形式为：)()()()()()()(111011110trbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmnnnnnnG(s)R( (s) )C( (s) )nnnmmmasasabsbsbsRsCsG110110)()()(即为系统的即为系统的传递函数。传递函数。C C（s s）=G=G（s s）R R（S S）)()()()(1101110sRbsbsbsCasasasammmnnnn2.2.3 传递函数传递函数 控制系统的数学模型控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表

24、达式或图形表达式或数字表达式。亦：描之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）数学模型有三种描述数学模型有三种描述 微分方程微分方程 传递函数传递函数 系统方框图系统方框图 传递函数是系统数学模型的一种形式，也是一种表示输传递函数是系统数学模型的一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式。入输出的模型形式。 它表示了系统本身的特性而与输入信它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内号无关。它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。部结构。一、传

25、递函数的定义一、传递函数的定义 2.2.3 传递函数传递函数 比例比例(或放大或放大)环节：环节：G(s)=K (理想理想)积分环节：积分环节：G(s)=1/s (理想理想)微分环节：微分环节：G(s)= s (一阶一阶)惯性环节：惯性环节：G(s)= 1/ (T s+ 1) 一阶微分环节：一阶微分环节： G(s)= s + 1 (二阶二阶)振荡环节：振荡环节：G(s)= 1/ (T2 s2 +2Ts +1) 二阶微分环节：二阶微分环节： G(s)= 2 s2 + 2s + 1 二、典型环节及其传递函数二、典型环节及其传递函数 1. 典型环节的传递函数典型环节的传递函数2.2.3 传递函数传递

26、函数 机械转动系统：机械转动系统：M(t)(t)fJ 此系统由惯性负载和粘性摩擦此系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成，负载的转动惯量为阻尼器构成，负载的转动惯量为 J，粘性摩擦系数为粘性摩擦系数为 f，作用到系作用到系统上的转矩为统上的转矩为M(t)。 根据牛顿定律可得：根据牛顿定律可得：dttdJtftM)()()()()()(tMtfdttdJ11)()()(11sfJssMssGfJf)()()(22tMdttdfdttdJ) 1(1)()()(122ssfsJssMssGfJf二、典型环节及其传递函数二、典型环节及其传递函数 2. 典型机电元部件传递函数中的典型环节典型机电元部件传递函

27、数中的典型环节2.2.3 传递函数传递函数)(1)(12tit经拉氏变换得角速度的传递函数：经拉氏变换得角速度的传递函数：isssG1)()()(121则减速器转矩的传递函数为则减速器转矩的传递函数为isssMsMsG)()()()()(21122)(1)(21sMisM可见负载转矩可见负载转矩M M2 2折算折算到输入端的折算值为：到输入端的折算值为：)(1)(221sMisM由机械原理知，在不考虑功率损耗时有由机械原理知，在不考虑功率损耗时有2211MMM1M2（减速比：（减速比： ）1221ZZi 减速器：减速器：Z1Z21M12M2二、典型环节及其传递函数二、典型环节及其传递函数 2.

28、 典型机电元部件传递函数中的典型环节典型机电元部件传递函数中的典型环节2.2.3 传递函数传递函数轴轴：211112121MMdtdfdtdJ轴轴：322222222MMdtdfdtdJ轴轴：3332323MdtdfdtdJM21M32齿轮传动系统齿轮传动系统：设输入为设输入为转矩转矩M1，输出为转角输出为转角1 。34323221221211ZZiZZiJ3, f3M1J1, f11轴轴J2, f22M2轴轴3M3轴轴Z1Z2Z3Z4且在不考虑功率损耗时有且在不考虑功率损耗时有:21211MiM32321MiM1121i2231i二、典型环节及其传递函数二、典型环节及其传递函数 2. 典型机

29、电元部件传递函数中的典型环节典型机电元部件传递函数中的典型环节2.2.3 传递函数传递函数11222132121212222132121)()(MdtdiififfdtdiiJiJJM11fJ J轴轴11212MdtdfdtdJ)1(1)()()(211TssKfsJssMssG齿轮传动系统齿轮传动系统：设输入为设输入为转矩转矩M1，输出为转角输出为转角1 。34323221221211ZZiZZiJ3, f3M1J1, f11轴轴J2, f22M2轴轴3M3轴轴Z1Z2Z3Z4二、典型环节及其传递函数二、典型环节及其传递函数 2. 典型机电元部件传递函数中的典型环节典型机电元部件传递函数中的

30、典型环节2.2.3 传递函数传递函数一、系统方框图一、系统方框图21211)()(RCsRRsUsUiO 方框图模型是控制系统的又一种数学模型。特点：具有方框图模型是控制系统的又一种数学模型。特点：具有图示模型的直观，能表明系统个元件的功能及信号的流向。图示模型的直观，能表明系统个元件的功能及信号的流向。方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。 系统方框图与原理图是不一致的！系统方框图与原理图是不一致的！2.2.4 系统方框图系统方框图一、系统方框图组

31、成一、系统方框图组成A(s s)B(s s)C(s s)= A(s s) B(s s)A(s s)A(s s)A(s s)信号线：信号线：表示信号传递通路表示信号传递通路 与方向。与方向。 方框方框：表示对信号进行的数学变换。：表示对信号进行的数学变换。 方框中写入元件或系统的传递函数。方框中写入元件或系统的传递函数。 比较点比较点：对两个以上的信号进行加减运算。：对两个以上的信号进行加减运算。引出点：引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位表示信号引出或测量的位置。同一位 置引出的信号数值和性质完全相同。置引出的信号数值和性质完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(- -)系统方框图表示系统方框图表示符号的符号的“三要素三要素”2