第5讲解析几何问题的题型与方法(4课时)

1、第5讲解析几何问题的题型与方法（4课时）一、考试内容（一）直线和圆的方程直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。（二）圆锥曲线方程椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。二、考试要求（一）直线和圆的方程1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般

2、式，并能根据条件熟练地求出直线方程。2 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。4了解线性规划的意义，并会简单的应用。5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。（二）圆锥曲线方程1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。4 了解圆锥曲线的初步应用。三、复习目标1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直

3、线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了2. 能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题3. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程：（x-a）2+

4、（y-b）2=r2（r0）,明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：x2y2DxEyF=0,知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，1x=rcos-能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（0为参数），明确各字母的意=rsin义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握

5、椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法四、双基透视高考解析几何试题一般共有4题（2个选择题，1个填空题，1个解答题），共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识

6、。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。（一）直线的方程1点斜式：y-=k（x-xj；2.截距式：y=kxb；3.两点式：y一y1=X-Xi；4.截距式：-y=1；y2-yix2-Xiab5.一般式：AxByC=0，其中AB不同时为0.（二）两条直线的位置关系两条直线h，I?有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交设直线I1:y=k1x+b1，直线I2:y=k2X+b，贝

7、Uh/I2的充要条件是k1=k2，且b1=b2；I1丄I2的充要条件是k1k2=-1.（三）线性规划问题1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地,若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解2线性规划问题有以

8、下基本定理：一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形凸多边形的顶点个数是有限的.对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到3.线性规划问题一般用图解法.（四）圆的有关问题1. 圆的标准方程（xa）2+（yb）2=r2（r0）,称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a,b）,半径为r.特别地，当圆心在原点（0,0）,半径为r时，圆的方程为x2+y2=r2.2. 圆的一般方程2222xyDxEyF=0（DE-4F0）称为圆的一般方程，DE122其圆心坐标为（一一，一）,半径为r=如D+E-4F.22222DE当DE-4F=0时，方程表示一个点（，）；22当D2E

9、-4Fv0时，方程不表示任何图形.3. 圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：x2y22=r二x=rcost(0为参数)2(x-a)(y-b)x=arcost(0为参数)(四)椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，忽视.若这个距离之和小于IF1F21，则这样的点不存在;F1F2.平面内动点与两定点F,、F2的距离的和大于IF,F21这个条件不可若距离之和等于IFiF2I，则动点的轨迹是线段22. 椭圆的标准方程：笃a3. 椭圆的标准方程判别方法：则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在4. 求椭圆的标准方程的方法：(五)椭圆的简单几何性质22+与=1(ab0),笃+=1(ab0)

10、.bab判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y2项的分母,y轴上.正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解.2%=1(ab0).b范围：-awxa,-bxb0)的准线有两条，它们的方程为b22a丄x.对c222于椭圆鶴务-1(ab0)的准线方程，只要把x换成y就可以了，即目=dabc3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径x2y2设F1(-C,0),F2(c,0)分别为椭圆2+2ab=aex,=1(ab0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭MF,圆上任一点，则两条焦半径长分别为椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便MF2椭圆的

11、四个主要元素a、b、c、e中有a2=b2+c2e=C两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两a个独立条件.(六)椭圆的参数方程22椭圆务与=1(ab0)的参数方程为ab_i_x二acos.(0为参数)y=bsin.椭圆上点P的离心角0与直线0P的倾斜角a不同:说明这里参数0叫做椭圆的离心角btantanv；a2椭圆的参数方程可以由方程笃a2-爲=1与三角恒等式cos%-sin2v-1相比较而得到，所以椭圆b的参数方程的实质是三角代换.（七）双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，第三边”加以理解.若2a=|F1F21F1、F2的距离的差的绝对值等于

12、常数2a（小于|F1F21）的动点要注意条件2a|F1F21，则无轨迹.MF1MF2时，若MF10,b0）.这里b2二C2abab|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：系数法求解.（八）双曲线的简单几何性质2与=1的实轴长为2a,b2轨迹为双曲线的-a2，其中正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定21.双曲线

13、笃ac虚轴长为2b,离心率e1,离心率e越大，双曲线的开口a越大2.双曲线2x2a2丫百二1的渐近线方程为b2byx或表示为a22笃-亍=0.若已知双曲线的渐近线方程abB.m是yx,n22-ny即mxny=0，那么双曲线的方程具有以下形式:22mx3.二k，其中k是一个不为零的常数.心率）双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）2x2a的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线距离的比是一个大于1的常数（离它的焦点坐标是（-c，0）和（c,0），与它们对22应的准线方程分别是和CC在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有=-与C2a22=ab的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个

14、独立的条件（九）抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（I）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线I上，否则轨迹是过点F且与I垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：2222y=2px、y=2px、x=2py、x=2py对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例(1) 范围:x0;

15、(2) 对称轴：对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出；(3) 顶点：0(0,0),注：抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);(4) 离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；(5) 准线方程x二-卫；2(6) 焦半径公式：抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p0):-2px:PF2py=2px:PF=捲+;2x2=2py:PF=y1+卫;2x2-2py:PF可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2pxa，则有|AB|=x1+x2+p(7) 焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，(p0)的焦点F的弦为AB,A

16、(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的倾斜角为以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。(8) 直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0,当az0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。(十)轨迹方程曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹)五、注意事项1直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对

17、于x轴的倾斜程度当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a(aR).因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为az0,bz0,所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式当直线li或12的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算2用待定系数法求椭圆

18、的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆求双曲线的标准方程应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解22b22双曲线笃yT=1的渐近线方程为y二_bx或表示为笃-爲=0若已知双曲线的渐近线方程abaab口m是yx，即mx_ny=0,那么双曲线的方程具有以下形式：nm2x2_n2y2=k，其中k是一个不为零的常数2222双曲线的标准方程有两个笃-爲=1和爲-笃=1(a0,b0)这里b2二c2_a2，其中ababIRF2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系

19、与椭圆中的异同求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个六、范例分析例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一：先用“平行”这个条件设出I的方程为3x+4y+m=0

20、再用“面积”条件去求m,v直线|交x轴于A?,。)，交y轴于B(0,-：)由1m=24，得m=_24，代入得所求直线的方程为:43x4y_24=0解法二：先用面积这个条件列出I的方程，设I在x轴上截距离a,在y轴上截距b，则有*ab=24,因为I的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab,I的截距式为-1，即48x+a2y-48a=0又该直线与a48a3x+4y+2=0平行，48二号坦，二a=-8代入得所求直线I的方程为3x，4y_24=0说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。例2、若

21、直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2,3),B(3,2)，求实数m的取值范围。解：直线mx+y+2=0过一定点C(0,-2),直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在/ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k?,则由1yA:BoxC(0,-2)斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k灯或k1,w-4,w30,解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）作直线l0:2x-y=0，再作一组平行于l0的直线2x-y=t,tR可知，当l在l0的右下方时，直线l上的点（x,满足2

22、x-y0,即t0,而且直线l往右平移时，x-3y+4=0y)t随之增大.当直线l平移至h的位置时，直线经过可行域上的点B,此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点（x,y）满足2x-yv0,即卩tv0，而且直线l往左平移时，对应的t最小.4=0t随之减小.当直线l平移至x=13x+5y-30=0l2的位置时，直线经过可行域上的点C,此时所x-3由3x+5y-30=0x=1解得点B的坐标为（5,3）;27解得点C的坐标为（1,）.53x+5y-30=0所以，z最大值=2X5-3=7;Z最小值=2X1-55例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬

23、运车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员.在建480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得xyx+yy48x+56yxw10,w5,w11,60,yN且z=350x+400y.xyx+y6x+7yxw10,w5,w11,55,yn,作出可行域，U乍直线l0:350x+400y=0,即7x+8y=0.作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点

24、和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=602525和y=5的交点A（25,5）,由于点A的坐标不都是整数，而x,yN,所以可行域内的点A（耳,5）不66是最优解.为求出最优解，必须进行定量分析求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.25因为，7X一+8X5疋69.2，所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小6的直线是7x+8y=10,在可行域内满足该方程的整数解只有x=10,y=0,所以(10，0)是最优解，即当丨通过B点时，z=350X10+400X0=3500元为最小.答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元.例5、已知点T是半圆O

25、的直径AB上一点，AB=2、OT=t(0t1),以AB为直腰作直角梯形AABB,使AA垂直且等于AT,使BB垂直且等于BT,AB交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.(1) 写出直线AB的方程；(2) 计算出点P、Q的坐标；(3) 证明：由点P发出的光线，经AB反射通过点Q.解：(1)显然A(1,1t),B(1,+t,于是的方程为y=_tx+1;x(2)由方程组2t1-12Q(d2,2);1+t1+122y-tx1,*丿pABA(-1，0)0丫(1)r解出后，反射光线直线ABP(0,1)、(3)kptQT-t22t(1-12)由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光

26、线经点T反射，反射光线通过点Q.V说明：需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗？22例6、设P是圆M:(x-5)+(y-5)=1上的动点，它关于A(9,0)的对称点为Q,把P绕原点依逆时针方向旋转90到点S,求|SQ|的最值。解：设P(x,y)，则Q(18-x,-y)，记P点对应的复数为x+yi，贝US点对应的复数为：(x+yi)i=-y+xi,即卩S(-y,x)|SQ卜(18xy)2(y-x)2=182x2y2-36x36y-2xyx2y22xyx2y2-18x18y8181二2(x-9)2(y9)2其中(x-9)2(y9)2可以看作是点P到定点B(9,-9)的距离，共最大

27、值为|MBr=2531最小值为|MB|-r=253-1，则|SQ的最大值为21062,|SQ的最小值为2106-2例7、已知OM:X2(y-2)2=1,Q是X轴上的动点，QA,中4丿2果|AB|，求直线MQ的方程；3(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.4/2/2解：(1)由|AB戶，可得|MP|MA|2-(31|MB|2=|MP|MQ|,得|MQ戶3,在RtMOQ中，|OQ|=.|MQ|2-|MO|2=一32-225,故a=5或a_-.5,所以直线AB方程是QB分别切OM于A,B两点，(1)如|AB|)21當)2丄，由射影定理，得32x5y一2.5=0或2x一、5y2、5=0;(2)连接MB,

28、MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M,P,Q在一直线上，得=-,(*)由射影定理得|MB|已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为=|MP|MQ|,ax即.x(I)求椭圆方程；(H)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M,又点A和点B在椭圆上,(y-2)2a24=1,(*)把(*)及(*)消去a,并注意到y：2，可得x2(y7)2二丄(y=2).416说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。例8、直线l过抛物线y2=2px(p=0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.(1)求证：4x1x2=p2;(2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD

29、，直线l不是CD的垂直平分线.解：(1)易求得抛物线的焦点F(P0).P242若l丄X轴，则丨的方程为X=二显然x,x22x2l不垂直于X轴，可设yXXE)，代入抛物线方程整理得2巴42PP2P(1r)x0,则X1X2k4综上可知4x2=p2.22(2)设C(-,c),D(d,d)且c=d2p2p假设过F，则0cd_cd(p，则CD的垂直平分线的方程为ydc2d2)27(xr22cd)整理得(22p24p(cd)(2p2c2d2)=0，p0.2p2c2d2=0,cd=0.这时的方程为y=0,从而与抛物线y2=2px只相交于原点.而I与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，I不是CD的垂直平分

30、线.说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。22例9、已知椭圆=1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离43求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。为它到两焦点F2距离的等比中项，若能找到，a2=4,解：假设存在满足条件的点，设M(X1,y1)2-1b=3,a=2,b=.3,c=1,e二一,222|MF1|MF2F(aexj(a-ex=a-e捲2=41X12，点M到椭圆左准线的距离422=(%4)2,5x132x148=0,x-4或a21x14,订2=d,4x1c4X1125，这与xi-2,0)相矛盾，.满足条件的点M不存在。例10、且M分有

31、向线段AB所成的比为2,求线段AB所在直线的方程。22解：(I)设椭圆方程为爲笃=1由2c=4得c=2又-a2b2a322故a=3,b2=a2-c2=5所求的椭圆方程为yX-195(H)若k不存在，则AM-2，若k存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2MB又设A(捲,yy)B(x2,y2)y=kx2由x2y2得+=1.59-20k.XiX22川95K(95k2)x220kx-25=0x-ix2二_25E点M坐标为M(0,2)-AM=(-X2一%)MB二(x2,y2-2)由AM=2得AM=2MB(-兀,2-)=2(x2,y2-2)MB-Xi=2X2代入、得由、得2(上鉴)29+5k20kx22

32、95k2595k2k22宀敖kJ3线段AB所在直线的方程为:y3x2。3说明：有向线段所成的比,线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。22例11、已知直线I与椭圆求以线段SR为对角线的矩形Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,笃每=1(ab0)有且仅有一个交点abORPS的一个顶点P的轨迹方程.解：从直线l所处的位置，设出直线l的方程，由已知，直线l不过椭

33、圆的四个顶点，所以设直线I的方程为y=kxm(k=0).代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得.222222、2.2bxa(kx2kmxm)二ab.化简后，得关于X的一元二次方程(a2k2+b2)x2+2ka2mx+a2m2_a2b2=0.于是其判别式(2ka?m)24(kb/am?aJ)4a2(b-m.由已知，得=0即a2k2b2m2.在直线方程y=kx+m中，分别令y=0,x=0,求得r(_,0),S(0,m).k令顶点P的坐标为(x,y),由已知，得mx=ky=m.,解得彳Xm=y.1)2代入式并整理，得2a2x2.2说明：方程a.bxy.b：/,即为所求顶点P的轨迹方程.y2韵形似椭

34、圆的标准方程，你能画出它的图形吗？例12、已知双曲线22笃一爲的离心率e=,过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点的距离是ab3求双曲线的方程;(2)已知直线y=kx5(k=0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,abc2、3原点到直线AB:=1的距离dabab-/a2b2=1,a=x3.求k的值.r.2.故所求双曲线方程为X2TX2-3y2=3中消去y,整理得(1-3k2)x2-30kx-78=0.-y2=i.(2)把y=kx亠5代入设C(X1,y1),D(X2,y2),CD的中点是E(x,y)，则X1X2-2y01x。kXokbe15k52y0=kx05=21-3k1

35、-3k2一xky即15k21-3k2故所求k=0,5k+21-3k2土7.k=0,又k=0,k2=7OAB面积厂P/yxaO丿X(3m24)y2-6.3my-3=0,my3m24说明：为了求出k的值，需要通过消元，想法设法建构k的方程.例13、过点P(-、3,0)作直线丨与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点,的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设丨的方程为y-0二k(x-.3),则要求丨的斜率一定要存在，但在这里丨的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线丨的方程为x二my-.、3，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简

36、化了运算。解：设A(X1,yj,B(X2,y2),l:x=myV3S.aob=|OP|y1|OP|y2F3(|V1|MI3(y1-y2)22把x=my-、3代入椭圆方程得：3(m2y2-23my3)4y2-12=0，即6、3m2.，ym二3m4108m212(3m2+4)2=49m23_433m21-3m24-Iyi一y2F3m243m241、144x2483m24=43.3m21-(3m21)343m4.3c2_3_2、3.3m21S仝22=.3，此时.3m21令直线的倾角为3:-，贝Vtg:-:-二/6.3m21、.6_20，向量c=(0,a),i=(1,0).A(0,a)以i-2人c为方

37、向向量的直线相交于点P,其E、F,使得|PE|+|PF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说c+入i=(入，a),i2入c=(1，-2入a).，y=ax和y-a-2ax.22x.解:i=(1,0),c=(0,a),因此，直线OP和AP的方程分别为消去参数入，得点p(x,y)的坐标满足方程y(ya)=-2a/a、2整理得x2(y一2)2=1.:382因为a0,所以得：丄血(i)当a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F;2(ii) 当0G时，方程表示椭圆，焦点E(1L_a2a)和F(丄I丄_a2a)为合乎题意的两个定点；22、22222(iii) 当a2时，方程也表示椭圆，焦点e(

38、0l(a+，a2丄)和F(0】(a：a2丄)为合乎题意的两个定点.2222*2根据直线的方向向量得出直线说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：方程，再转化为解析几何问题解决。22例15、已知椭圆笃占a2b2线，恰好通过椭圆的左焦点求椭圆的离心率e;设Q是椭圆上任意一点,1(ab0)的长、短轴端点分别为F,，向量AB与0M是共线向量。A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂(1)(2)解:(1)：F1(-c,0),则xmF1、F2分别是左、右焦点，求/b2二一。ac-c,yM-b,OM

39、与AB是共线向量，aFQ=,F2Q(2)设-kABb2，kOMa卫ac，二b=c,故e=。2二J,RQF2,二A+r2=2a,FF2=2c,+r224c2(ri+r2)2_2叩2_4c2COST2r1r22rir2a2-1-2a(jr_j2)221=0当且仅当R=r2时，cos0=0,B三0,。2说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。22Q,两点,例16、一条斜率为1的直线丨与

40、离心率为的椭圆C:笃爲=1(a.b.0)交于P2a2b2直线丨与Y轴交于点R，且OPOQ-3，PR=3RQ，求直线l和椭圆C的方程。解：；椭圆离心率为一2，C=，a2=2b22a222所以椭圆方程为x2y2=1，设l方程为：y=xm，P(x1,y1),Q(x2,y2)2bbf22xy/由2b2b2消去y得3x24mx2m2-2b2=0y=xm16m2-43(2m2-2b2)=8(-m23b2)0.3b2m2(*)4222x-ix2m(1)x1x2(mb)(2)33OPOQ-3所以x1x2y1y-3而y1y2=(x1m)(x2m)二x1x2m(x1x2)m所以2x1x2m(x1x2)m2_-34

41、(m2_b2)_里m2m2=_333m)从而22所以3m4b=-9(3)又R(0,m),PR=3RQ,(-X1,m-yj=3(X2,y2-22X1=3X2(4)由(1)(2)(4)得3m=b(5)2由(3)(5)解得b=3,mh1适合(*),22所以所求直线丨方程为：y=x1或y=x-1；椭圆C的方程为xy=163说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。F1PF2的最例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且/大值为9

42、0,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12.(1)求椭圆C的离心率;(2)求椭圆C的方程.12212解法一:(1)设円円肝戶巴厅FF2c,对PF1F2，由余弦定理，得cosFtPF?=r,r；-4c22r2D)2-2rj2-4c24a2-4c22也4a2-4c2=1-2e2=0,解出72e=2(2)考虑直线丨的斜率的存在性，可分两种情况：i)当k存在时，设I的方程为y=k(xc)22椭圆方程为x2a由e=建得-2+b22a=1,A(xi,yi),B(x2,y2)222=2c,bc.x22y2-2c2=0于是椭圆方程可转化为将代入，消去y得整理为x的一元二次方程，则X

43、1、X2是上述方程的两根且x2-2k2(x-c)2-2c2=0,得(12k2)x24ck2x-2c2(k2_1)=0.,2J2cj1+k2区十|12k2，|AB|二1k2|X2洛|二2：(2,)，AB边上的高h=|F1F2|sinEBF=2c|k|1+k21 1k2|k|22c(2)2c2 12k21k2-21一k2|k|-2k2k4-2,2c22.2c,24=2.2c1+2k21+4k2+4k421，4k41k2，2c.2ii)y当不存在时，把直线2c代入椭圆方程得二_2c,|ABl2c,S=1,2c2c2由知S的最大值为,2c2由题意得2c2=12所以故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：x

44、2+y=12屈6迈-解法二：设过左焦点的直线方程为：x=my-cx22a椭圆的方程为:2y2=1,A(x1,y1),B(x2,y2)b22c=62二b2a2=12-2由得:2把代入并整理得：于是是上述方程的两根.|AB|(x1-x2)2(yy2)21m2lyy1|2.4=2c2,b2=c2,于是椭圆方程可化为:222(m-2)y_2mcy_c0AB边上的高h从而S=丄|AB|h=1222m22.2c2.m21J2m2412c1-m22屁1+mX,c=2丘21m2(m2)=22c2当且仅当m=0取等号，即Smax由题意知.2c2=12,于是故当ABF2面积最大时椭圆的方程为:222x2y-2c=

45、02一222mc亠4c(m亠2)222c(1-m)m2亠2二,2c2.b2=c2=62,a2=12、J2.22亠+斗=112262例18、(2002年天津高考题)已知两点M(-1,0),N(1,0)且点成公差小于零的等差数列，(I)点P的轨迹是什么曲线？P使MPMN,PMPN,NMNP(n)若点P坐标为(x0,y0),v为PM与PN的夹角，求tanB。解：(I)记P(x,y),由M(-1,0)N(1,0)得PM二MP二(-1-x,-y)所以PN二NP=(-1x,y)MN二-NM二(2,0)PM曰是，MPMN=2(1x)PN=x2y2-1MPMN,PMPN,NMx2+y2_1=丄2(1+x)+2

46、(1_x)2(1-x)-2(1x):0NMNP=2(1-x)NP是公差小于零的等差数列等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，(n)点P的坐标为(x0,y0)。PMPN=x022x2y2=3x0.、3为半径的右半圆。22PMPN=J(1+x0)2+y02J(1_x0)2+y02TT所以COS=y1=2。-,(42x0)(4-2x0)=2詁4-x14-X：所以-:COST:1,0-23,sinv-1-cos2二taw壬4cos日14-X。说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的

47、关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。七、强化训练22务E=1(ab0)上一点，若PF1PF2二0abtanPF1F2_12则椭圆的离心率为/八121V5(A)(B)(C)(D)23332、已知ABC的顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为线的方程为：x-4y+10=0,求边BC所在直线的方程。1、已知P是以F1、F2为焦点的椭圆()6x+10y-59=0,/B的平分线所在直食物P食物Q食物R维生素A(单位/kg)400600400维生素B(单位/kg)800200400成本(元/kg)6543、求直线l2：7x-y+4=0到l1:x+y-2=0的角平分线的方程。4、已知三种食物P、QR的维生素含量与成本如下表所示C、yBM0A%现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44000单