第03讲函数方程思想与建模

1、第3讲函数方程思想与建模（高中版）（第课时）神经网络准确记忆!方程模型不等式模型函数方程思想与建模函数模型几何模型统计模型重点难点好好把握!重点：1函数的性质；2函数方程思想；3构造模型解决纯数学问题；4构造模型解决现实世界中的实际问题。难点：构造模型解决现实世界中的实际问题。考纲要求注意紧扣！1 能从题目中收集和处理信息；2 能把现实世界中的实际问题抽象和简化成数学问题;3 能综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题。命题预测仅供参考！函数是中学数学的主线内容，综合性极强，它涉及代数的方程、不等式、数列，以及三角甚至几何问题。对函数方程思想的考查往往都是间接和隐蔽的。函数的相关知识几乎全部出

2、现在考题中，增强对生产与生活中的实际问题的考查力度。近年来高考十分重视对应用问题的考查，题数明显增加，小题向大题转化；紧密联系当前的市场经济和价值规律，应用题的信息来源真实可靠；涉及函数、数列、不等式等高中主要内容，建模思想必将体现在其中。近年高考试题中应用题的考查情况一览表:年度1996年1997年1998年1999年2000年题号23221122162261321问题情境土地、人口汽车运费分配方案污水处理作物间作机器原理税收分配方案市场经济建模类型方程不等式函数排列组合函数不等式排列数列函数排列函数分值10分12分5分12分4分12分5分4分12分合计10分12分17分16分21分考占执占

3、V八、八、八、定掌握！函数思想就是将所研究的问题(包括表面看来的非函数问题)借助建立函数关系式(或构造中间函数)，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、并最终解决。方程思想就是将数学与实际问题中的数量关系运用数学语言转化为方程或不等式模型加以解决。实际上函数和多元方程没有什么本质区别，例如函数yf(x)，就可以看作二元方程f(x)y0。所以有时还可以实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。要深刻理解一般函数yf(x)、yf1(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换)，这是应用函数思想解题的基础。数学模型：按广义的解释，数学概念、数学公式以及由它们构成的算法系统都称之为数学

4、模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。数学建模思想不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理各种实际问题的一般数学方法。数学建模：把现实世界中的实际问题加以抽象和简化，成为数学模型，进而求出模型的解，最后验证模型的合理性(如果不合理，则应该修改假设，重复建模过程)，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。用数学建模解决问题的基本步骤如右边的流程图。对于实际应用问题，由于题目文字一般比较多，提供的情景和术语可能比较陌生，陈述的顺序也可能和平时不同，我们必须提高

5、心理承受能力，保持冷静。首先要理解题意，明确问题的实际背景，其次要合理选择变量与参数，最后建立函数、方程或不等式等数学模型，并应用相关知识求解。对于实际问题，常用的模型有：方程不等式模型、函数模型、数列模型、概率统计模型、几何模型、三角模型。“建模”没有固定的模式，要想用好它，需要具备敏锐的观察能力、丰富的联想能力和创造性思维能力，故有一定的难度。用好建模思想解题的关键有二：一是要有明确的建模方向，即为什么目的而建模；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。一.利用函数方程思想分析问题利用函数思想可以对方程、不等式、参数的取值范围、数列的通项与前n项和之类的问题加以分析。例.关于x的不

6、等式232x-3x+a2-a-30,当Owx-2t2+t,t-a-3大于f(t)=-2t2+t在1,3上的最大值。解：设t3,Owx-2t2+t,t1,3,设f(t)2t2t,则其图像开口向上，顶点横坐标为故其在区间1,3内的最大值在端点1处取得,max2(2)1211原不等式可化为解a2-a-3-1得(-g，-1)U(2,+g)点评：本题利用函数思想分析不等式以及求参数的取值范围。例(1992年高考理科题).设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12,S120,S130,513 =13a1+78d=13(122d)+78d=156+52d0。24解得：d3。7/、11Sn=na1+2n(n

7、11)d=n(122d)+?n(n1)dd1242d1242=n-(5)-一(5)22d22d亠124224124,因为d0，故n(5)最小时，Sn最大。由一d3得6(5)，故正2 d72d1242整数n=6时n(5)最小，所以S6最大。d因此可利用函数点评：数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，思想来分析或用函数方法来解决数列问题。例已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根。(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m,n(mvn=，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n,如果

8、存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由。解：(1)v方程ax2+bx=2x有等根，=(b-2)2=0，得b=2.由f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为x=-b=1得a=-1,故f(x)=-x2+2x.1nw42a(2)f(x)=-(x-1)2+114n1,即而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=11nw时，f(x)在m,n上为增函数.4若满足题设条件的m,n存在，则2即m2n2m4m2n4nf(m)f(n)0或m20或n24m4n1,m=2,n=0,4由以上知满足条件的又mvnwm、这时定义域为-2,0，值域为-8,0.n存在，m=-2,n=0.二.构造函数、方程或不等式解

9、决问题一个数学问题，如能建立描述其数量关系的函数表达式、方程(组)或不等式(组)般可使问题得到迅速解决。1方程不等式模型方程和不等式是中学阶段重要的解题工具，生产和生活中广泛存在着的一些量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输等“优选”“控制”问题中涉及到的有关量之间的求解问题，常常可以归结为解方程或解不等式问题。例(高三)设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和，求证：12(lgSnlgSn2)lgSn1o解：原不等式化为s21Sn?Sn2程的根的判别式相似，故我们构造方程要S：1Sn?Sn20，只要方程当an公比q=1时，方程为2x2然有两不等的实

10、根；当an公比q丰1时，方程为(12n21)q(xq)0，显然有两不等的实根。综上所述，原不等式成立。点评：本题构造方程证明数列不等式。0,(SSn?x2Sn?x22(n1)xn0,n2Sn1?x2Sn1?x(n2)n2q)x，则一N),因为该不等式与一元二次方Sn2Sn0,0,0有两个不等的实根，(x1)(nxn2)0，显(x例(高一)已知sin3cos2，求sinsincoscos2(11)x(1qn2)0的值.sin人sincos令sinx1coscos则(x1)sin(x1)cos0,与已知条件联立，1 .由sin22cos22x2-6点评：本题利用方程思想对三角函数求值。例(高二)在

11、正三棱锥VABC中，.6已知侧棱,三棱锥的体积为15。已知底棱与侧棱之比小于6分析：可知，关键是求出正三棱锥的侧棱I与底棱知量I、a的关系式，列出方程再行求解。简解：列出方程如下：l2l215l21,整理得x24x20,VA与侧面VBC所成的角为B且Cos02,求底面中心0到侧面VBC的距离。a的长，通过题设的已知条件，寻找出未C从而0到侧面VBC的距离为一6点评：本题列出方程组解决立体几何问题。例（高二）设a,bR,且abab3,求ab的最小值。解：由abab32.ab3，得ab2,ab30。视.ab为未知数，记.abt（t0）,由方程t22t30,解出t3或t1（舍）。故不等式的解为,ab

12、3，得ab9。点评：本题从已知的等式出发构造出一个不等式，再通过解不等式求出所需式子的范围。例（高一）在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15。角，速度为h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少分析：不妨画一个图，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型。设船速为v，显然v4km/h时人是不可能追上小船，当0v2km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2

13、v4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为V，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为kt（0k1），则人在水中游的时间为（1k）t，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形。|OA|4kt,|AB|2(1k)t,|OB|vt,由余弦是理得|AB|2|OA|2|OB|22|OA|OB|cos15即4(1k)2t2(4kt)2(vt)22.4ktvt-4整理得12k22(6、.2)v8kv240.2要使上式在(o，1)范围内有实数解，则有上41且1

14、2222(62)v8412(v4)0解得2v2、2,即vmax2.2km/h.故当船速在（2,2、.2内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为2、2km/h，由此可见当船速为h时，人可以追上小船点评：本题使用方程模型。例（高三）某地现有耕地10000公顷，规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食含有量比现在提高（精确到1公顷）10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（粮食单产总产量耕地面积，人均粮食占有量总产量）总人口数）解：欲求耕地平均每年至多减少量，关键决定于人均粮食占有量，所以应该列出关于人均粮食占有量的关系式：现在的人

15、均粮食占有量与10年后人均粮食占有量的关系。设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现在人口为p人，粮食单产为M吨/公顷,依题意，得不等式：M(122%)(1000010x)M10000(1P10%)p(11%)10化简整理，得x100011.1(10.01)10122而(10.01)10C10C100.011Cw0.0121.104511X11045x1000112241(公顷)按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷。点评：本题使用不等式模型。本试题以土地资源的变化为背景考查了不等式及二项式定理的有关知识，对计算能力有较高要求，通过该题也对学生进行了适当的国情教育，使其懂得了数学在国民经济建

16、设中的应用价值。例(2003年高考理科题)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城、V2市O(如图)的东偏南(arccos)方向10300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.台风中心P(x,y)的坐标为22x30020t,10 27-2-2y30020t.10 2此时台风侵袭的区域是_22(xx)(yy)r(t),其中r(t)10t60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0(0G2(10t6

17、0)2.即(30020t)(30020t)102102即t236t2880，解之得12t24。答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.例(2004年高考理科北京题)给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、,直至第N组(余差为rN)把这些

18、数全部分完为止.(I)判断12,Jn的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；(II)当构成第n(n0在x(-a,1)上解：由题设可知，不等式1+2x+4xa0在x(-a,1)上恒成立,11,xx,x2xx40,不等式1+2+4a0可以化为g)+()+a0,111设t=()X,则不等式(一)2x+()X+a0可以化为又设g(t)=t2+1+a,则的图像开口向上，其对称轴为2t+1+a0,1t=-，如下图,点评：本例构造函数，再巧用奇偶性和单调性，求代数式的值。11由t=(广和x(-m,1)可知t,1113由g(t)的单调性可知g()=()2+a0,得a,2224所以a的取值范围是a3。

19、4点评：本题构造含参二次函数，求参数取值范围；本题也可从12丄、t2和att推出at2t12(2)2例(高二)求证(11)(1略证：只要证f(n)(13。4丄儿(1-)33n1(nN)。43n2111)(1-)L(1)3.-43n2引3n1(13h33n43：(3n22)1知f(n)是递增的。,(3n1)(3n4)由gf(n)2又f(1)厂1，故有f(n)f(1)1，从而命题得证。点评：本题构建函数证明不等式。对数列型不等式，传统证法为数学归纳法，本题巧构单调函数(数列)，妙证不等式。这种证法的一般步骤如下：要证f(n)g(n)，可构造h(n)f(n)g(n),来证h(n)是增函数，且h(1)

20、0.。或构造h(n)丄来证h(n)是增函数，且h(1)1(其中g(n)0)。g(n)例(2000年高考理科题)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内西红柿市场售价与上高时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示。Q1U020UISO2505011II50100150200250300写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）时间192019

21、30194019501960197019801990人口（百万）分析：假设该国政治、社会、经济环境稳定，而且人口数量是时间的连续函数。首先建立数学模型，以x轴代表年度，y轴代表人口数，建立直角坐标系，描出散点图，观察散点图，可以发现，从1930年以后散点近似分布在一条直线上，而从散点图的整体趋势来看，可以认为散点近似分布在一条抛物线上一部分或近似分布在一条指数曲线上，因此，可以采用直线型拟合，抛物线型拟合和指数曲线型拟合。（直线型拟合法）从散点图可以看出，1930年以后散点近拟分布在一条直线上，过两点（1940,）,（1960,）作直线/（x-1920）=即y=当x=2020时，y=X106即

22、2020年该国人口预测为百万人。（抛物线型拟合法）从散点图的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线x=1830为对称轴的抛物线上，则以点（1830,为顶点，再任意选一点（1930，所确定抛物线方程为y=（x-1830）2+当x=2020时y=X106即该国人口预测为百万。（指数曲线法）从散点图的整体趋势来看，还可认为所有散点近似分布在一条指数线上，设指数方程为y=abx-c。/1980、1990这两年离2020年最近，指数方程化为y=abx-1940,记Y=lgy,X=x-1980，贝UY=Xlgb+lga,可用线性回归方法确定参数a,b,若对精确度要求不是很高的情况下，只须用点（1980,（1

23、990,）去确定a,b，容易计算得出a=,b=。指数曲线方程为y=x-1940,当x=2020时，y=X106，即2020年该国人口为百万。点评：预测问题常使用函数模型，一般求解步骤是：根据原始数据、表格，绘出散点图；通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或曲线；根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数的关系式；利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据。例下表所示为X,Y,Z三种食物的维生素含量及成本XYZ维生素A（单位/kg）400600400维生素B（单位/kg）800200400成本（元/kg）654欲将三种食物混合，制成100kg

24、的混合物，设所用的食物X,Y,Z的份量依次为x,y,z（kg）,若混合物至少需要44000单位维生素A及48000单位维生素B,定出x、y、z的值，使成本最低。（高二）m2xxyz100解:y20x、y、z需要满足的约束条件为400x600y400z44000，即,2xy40800x200y400z48000y4000至A点处取得m最小值，解y20ox30得，2xy40y20故当x30，y20，z50时，成本最低。设混合物成本为m,则m6x5y4z,即2xy400,作出可行域如图阴影部分所示，向左平移直线点评：线性规划问题常使用不等式模型，一般求解步骤是：根据题意，建立数学模型，作出可行域；设

25、所求的目标函数f（x,y）为m值；平移直线f（x,y）=0，使目标函数取得最值。3.几何模型现实世界中，诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，例.已知再用方程、不等式或三角函数知识来求解。2cos（0,2），且cos22cos2，求证：coscoscos3.2。cos2分析：已知条件材中的一道题“长方体的一条对角线与各个面所成的角分别是和，求证cos2cos2cos22”的结论，由此引发构造几何模型，即长方体ABCD-ABCD（如图）设长方体长、宽、高分别为a,b,c,一条对角线与各个面所成的角分别是a、B、丫，易知Jb2+a2cos2cos2

26、2类似于立几教cot=b2+c2.a2+c2b1由不等式x2+y2-(x+y)2(x,yR)，得cot2匸2丄2-匚22L22.b+c.b+a.a+c+aca+COtBcotY=二22?(2+2+2)=3.2.2b+cc+aa+b2匸+尸Trbacacb.（+-）+（+-）+（二+-）abacbc例某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处（如图），其中：AP=100米，BP=150米，/APB=60请问怎样运土才能最省工分析：“省工”翻译成数学语言就是“到P的距离最近”，半圆中的点可分为3类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP,BP到P等

27、距。其中第三类点集是（1）、（2）类点集的交集（分界线）。设M为分界线上的任一点，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|, |MA|-|MB|=|PB|PA|=50（定值）, M在以A,B为焦点的双曲线右支上，易得|AB217500。yM0AxP6以AB为X轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，得边界线为双曲线上的一段：3750x2625y26253750（x25）。故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。4.三角模型例.（高一）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0wtw24,单位小时）的函数，记作y=f（t）,下表是某日各时的浪高数据t（时）03691

28、215182124y（米厂1经长期观测y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=Acost+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acost+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午&00至晚上20:00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.2解：（1）由表中数据，知T=12,3=.T6由t=0,y=得A+b=.一1由t=3,y=，得b=.所以，A=,b=1.振幅A=,2y=COt1261（2）由题意知，当y1时，才可对冲浪者开放.COSt11,COSt0.2kn-266t2k,即有12k-3t13k+3.262

29、由0wtw24,故可令k=0,1,2,得0wt3或9t15或21则判此鸟为燕隼，匚6则表明仅用这些数据无法给出明确的判断。在问题中有3121x35=25.还有xA-32.65ryA-25.2,r3=33Aty-26.9.由上面的模型可以得到如下的分析结果：D金=-肘=丽石=244,儿=伍窈*込窈=75.25=2.36g=(总-巧)U饨-岡尸=77=2.40?%=J(兀B-乃尸4仏兀尸十应讦=2,4富由于-I可知鸟A是红隼，-二*匸可知鸟B是红隼。(由于耳等价于D；0.104=1凡-儿|,故鸟A为红隼。由于I-11=0.09412X2+133、5.a.+1$2n+1(2n+2)_2(n+1)2(

30、2n+1)_anp2n+3(2n+1)*4n2+8n+3、4n2+8n+445678910111213141516171819、2nan+1an，二当n1时，ana?1,即得即(1!)(11)1.2n1。10年期贷款，偿还贷款的方式为：10年期贷款的年利率为4%,且，问每年应还多少元(精确到1元)52n12他选择例某人计划年初向银行贷款10万元用于买房.分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)分析：首先需要明确，如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的，例如现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱。因为

31、现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息。在此基础上，这个问题，有两种解题途径。一是如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等。我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算。104%元。9x14%；二是从另一个角度思考，我们可以分步计算考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱。解法一：10万元，在10年后(即贷款全部付清时)的价值为1051设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为8第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x14%；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元。于是105X(1+4%)

32、10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+x,104101由等比数列求和公式可得1051.0410=x,40.04+L1.4802a00。1.04-1其中1.0410=(1+0.04)10=1+100.04+450.042+1200.04；+2101051.48020.04所以，x=12330。0.480210514%x元;解法二：仍然设每年还款x元。则第一年还款后，欠银行的余额为如杲设第k年还款后，欠银行的余额为ak元，则akak114%不难得出a10=105X(1+4%)10-x(1+4%)9x(1+4%)8-x(1+4%)7-另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经

33、把贷款全部还清了，故有由此布列方程，可得同样的结果。点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：分清单利、复利(即等差与等比)；寻找好的切入点(如本题的两种不同的解题途径)。7 复数模型例求证：(C0Cnc：)2(CnC3Cn)22n。(含有复数三角式)in的周期性变分析：本题类似于二项展开式系数的性质，其符号的正负间隔跳跃又类似于化，故试构造复数(1i)n以辅助证明。证明：(1i)nC0cn?icfc3?iC4c5?iC6c?i(C0Cn2c：)i(cnc；c：)又(1i)n,2(cos4CCnCn4(i)2(2)2得(cnCn2n1 sin)n2 n22cos4)2cn422

34、(cos4isin=),4，cl(C：C；C；)2n2sinn2no&排列组合模型9 二项式模型10 .向量模型例.证明：sin5+sin77sin149+sin221+sin293=0。分析：审题时发现这些角都依次相差72，联想到正五边形的内角关系，由此构造一个正五边形，如图。由于AB+BC+CD+DE+EA0，从而各个向量在Y轴上的分量之和亦为0，故知原式成立。11 立几模型12 解几模型亠24例(高一)设函数f(x)a、x4x,g(x)x1，已知x4,0，时恒有3f(x)g(x)，求a的取值范围.分析：把f(x)g(x)变形得、x24x4x1a,3令曲线C为y.x24x，直线|为y-x1

35、a,3故只要求直线L不在半圆C下方时，直线L在y轴上的截距的最小值。5当直线与半圆相切时，易求得a5或a5(舍去)，3 故当a5时，恒有f(x)g(x)。点评：本题构建曲线方程求参数取值范围。能力测试认真完成!参考答案仔细核对!函数方程思想与建模在方程问题中的应用在不等式问题中的应用在数列问题中的应用在最值问题中的应用利用函数方程思想分析问题构造模型解决问题在求参数取值范围中的应用1.方程模型1. 不等式模型2. 函数模型3. 几何模型4. 三角模型5. 统计模型6. 数列模型7. 复数模型8. 排列组合模型9. 二项式模型10. 向量模型11. 立几模型12. 解几模型1.设集合A=x|4x

36、2x+2+a=0,x(1) 若A中仅有一个元素，求实数(2) 若对于任意aB，不等式x2-6xva(x-2)恒成立，解：(1)令2x=t(t0)，设f(t)=t2-4t+a，要A中仅有一个元素，只要f(t)=0在(0,+g)有且仅有一根或两相等实根， f(t)=0在(0,+g)有两等根时，=016-4a=0验证：t2-4t+4=0t=2(0,+g)，这时x=1 f(t)=0在(0,+g)有一根时，如图可知有f(0)V0R.a的取值集合B；x的取值范围av0；或f(0)=0a=0，此时4x-42x=02x=0(舍去)，或x=2，即A中只有一个元素，综上所述，a0或a=4,(2)要使原不等式对任意

37、只须x2即B=a|a0或a=4a(g,0)U4恒成立.即g(4)517vx0恒成立b2,求证:xn是一兀a、b，从而x2,求证:0abn(n(anN)b)uab0nnab3322b22ab(ab)(aabb)(ab)(a-)2解：（1）安全负荷y1k-ad（k为正常数）l2的木材，用它来截取成长方形的枕木,翻转a/孔3b2(a)240,ab0.又a3b3k32(ab)33ab(ab)2，设abk(k0)，则有ab3k可见a,b是2k322k32兀二次方程xkx0的两实根，故k4()0.3k3k去分母，可得k2.综上所述，有0ab2.点评：本题构建方程证不等式。4.（高三）若（zx）24（xy）

38、（yz）=0，求证：x、y、z成等差数列。分析：观察题设，发现正好是判别式b24ac=0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。证明：当x=y时，可得x=z,x、y、z成等差数列；当x丰y时，设方程（xy）t2（zx）t+（yz）=0，由=0得t1=t2，并易知t=1是方程的根。yzt1t2=1,即2y=x+z,x、y、z成等差数列xy综上所述，x、y、z成等差数列。点评：本题构建方程证明数列问题。5.（高二）二次函数f(x)ax2bxc(abc)的图象上存在两点A(m1,f(m1)B(m)2,2f(m2),?且af(m1)f(m2)af(m1)?f(m2)0,f(1)0。求证b0。证

39、明：把a2f（mjf(m2)af(mj?f(m2)0变形为af(m1)af(m2)0即af(m1)或af(m2),又f(1)0,abc0,(nvUmJ)、(mi?,f(m2)应适合f(x)ax2bxc,即f(m1)amirbq2c,f(m2)am2bm2c,把fg)a,cab代入22f(m-i)amibm1c得am1bm1b0,把f(叫)a,cab代入22f(m2)am2bm2c得am2bm2b0,即m1、m2是方程ax2bxb0的两根，方程ax2bxb0的判别式b24ab0,假设b0，:abc,c0,又abc0，贝Ua0，贝Ubc0,cab,bc0即b(ab)0，即abb20，即b2ab0,Tab0,b24ab0，但这与b24ab0矛盾,点评：本题构造不等式解题。a成正比，与它的厚度6.（高二）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度