第3章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1、20092013年高考真题备选题库第3章三角函数、解三角形第4节函数y=Asin(3汁妨的图像及三角函数模型的简单应用考点函数y=Asin(3汁的图像1.(2013山东,解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0乂岁寸，显然y0,而当x=n时，y=n0据此排除选项A、B、C,正确选项为D.答案：D2. (2013福建，5分)将函数f(x)=sin(2x+0)才吋的图像向右平移护°)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x),g(x)的图像

2、都经过点P,¥丿，贝U0的值可以是()5n5na亍B.6D.C.解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.因为函数f(x)的图像过点P,所以0=n所以f(x)=sin2x+n；又函数f(x)的图像向右平移0个单位长度后，得到函数g(x)=sin2x0+扌，所以sin；20=于，所以0可以为黄答案：B冗、3. (2013新课标全国n,5分)函数y=cos(2x+0)(0兀)的图像向右平移？个单位后，与函数y=sin2x+的图像重合，则0=解析：本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，

3、意在考后得到y=cos2x-扌卄0的图像sin3xcos3X查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用.将y=cos(2x+的图像向右平移才个单位,化简得y=cos(2x+0,又可变形为y=sin?x+(扌由题意可知0二=g+2knkZ),所以0=k+2knkZ),结合一頁0<n知.2366答案：5n64. (2013山东，12分)设函数f(x)=¥3sin2wxsinw)coswx(w>0),且y=f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为n4.(1)求3的值；求f(x)在区间n于上的最大值和最小值.解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力.=

4、sin.31芬cos23XgSin2wx又3>0,因此3=1.由(1)知f(x)=sin5n-n8n所以一二3sin因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为才,因此一1Wf(x)w¥.故f(x)在区间n上的最大值和最小值分别为三3,1.5. (2012浙江，5分)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析:变换后的三角函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A选项正确.答案：An6. (2010福建，5分)将函数f(x)=sin(«x+0)的图象向左平移云

5、个单位.若所得图象与原图象重合，则3的值不可能等于()A.4B.6C.8D.12、”，Onn解析：由题意得：sin3(x+3+刁=sin(3x+0,则2°=2kn,kZ,.3=4k,kZ,而6不是4的整数倍，故应选B.答案：Bn7. (2009天津，5分)设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,bR,ab0,若f(x)<陀)|f(70)l<lf(n)l f(x)即不是奇函数也不是偶函数 f(x)的单调递增区间是kn+nkn+甘你Z) 存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号).解析：f(x)=asin2x+bco

6、s2x=0)=±，可.a2+b2sin(2x+$)(tan£，因为对一切xR,f(x)wIfQl恒成立，所以得(=2kn+n或0=2kn-芋故f(x)=.a2+b2sin(2x+j或f(x)=-,a2+b2sin(2x+而口卷=±,a2+b2sin(2xj=0,所以正确；盅1=1.a2+b2s泊爺n=1,a2+b2sinn|f(5)l=I,a2+b2sin37n所以|f(70)|=|f(5)l，故错误；明显正确；错误；由函数f(x)=,a2+b2sin(2x+和f(x)=.a2+sin(2x+图像可知，不存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交，故错答

7、案：&(2009江苏，5分)函数y=Asin(3x+$)(A,3,$为常数，A>0,3>0)在闭区间n0上的图象如图所示，贝U3=解析：由图中可以看出:322n2T=n，T=3n=3,3=3.答案：3一3nn39.(2012福建，14分)已知函数f(x)=axsinx?(aR),且在0,刁上的最大值为一.(1)求函数f(x)的解析式;判断函数f(x)在(0,n内的零点个数，并加以证明.解：由已知得f'(x)=a(sinx+xcosx),对于任意x(0,n，有sinx+xcosx>0.当a=0时，f(x)=多，不合题意;当a<0时，x(0,nn,f'

8、;(x)<0,从而f(x)在(0,2)内单调递减，又f(x)在0,?上的图象是连续不断的，故f(x)在0,n上的最大值为f(0)一2，不合题意;inJnJn当a>0,x(0,)时,f'(x)>0，从而f(x)在(0,2内单调递增，又f(x)在0,2上的图象是连续不断的，故f(x)在0,n上的最大值为f(n,即n32=2，解得a=1.综上所述,得f(x)=xsinx|.(2)f(x)在(0,n内有且只有两个零点.证明如下：33n3由(1)知，f(x)=xsinx：,从而有f(0)=；<0,f(n=nr>0，n又f(x)在0,n上的图象是连续不断的，n所以f(

9、x)在(0,2)内至少存在一个零点.nn又由知f(x)在0,n上单调递增，故f(x)在(0,2)内有且只有一个零点.当xn,n时，令g(x)=f'(x)=sinx+xcosx.由g(n)=i>0,g(n=n<0，且g(x)在才，n上的图象是连续不断的，故存在mqn,使得g(m)=0.由g'(x)=2cosxxsinx,知x(才,n时，有g'(x)<0,n从而g(x)在q,n内单调递减.当x(n，m)时，g(x)>g(m)=0，即f'(x)>0,从而f(x)在(寸，m)内单调递增，故当x扌，m时，f(x)>f©二2&g

10、t;0，故f(x)在扌，m上无零点；当x(m，n时，有g(x)<g(m)=0，即f'(x)<0，从而f(x)在(m，n内单调递减.又f(m)>0，f(n<0，且f(x)在m，n上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，n内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，n内有且只有两个零点.n10.(2012湖南，12分)已知函数f(x)=Asin(®x+Q(xR，w>0,0<籽2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；nn求函数g(x)=f(xf(x+的单调递增区间.解：(1)由题设图象知，周期3=2jn=2,因为点(12，0)在函数图象上，5n5n所以Asin(2x12+册=0，即卩sin(6+妨=0.n5n5n4n又因为0<<j<,所以<F©v.2663从而©=n,即Q=n66又点(0,1)在函数图象上，所以Asin=1，得a=2.6故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+f).nn