计量地理 第3章 地理学中的经典统计方法-主成分分析

1、计量地理计量地理课程课程广州大学地理科学学院地理131专业Tel:mail: lsy_ 教学课件，请勿将课件上传至任何网站第第 3 章章 地理学中的经典统计分析方法地理学中的经典统计分析方法相关分析回归分析系统聚类分析主成分分析主成分分析主成分分析（ Principal component analysis ） 地理复杂系统： 变量太多分析问题复杂、难度大 多变量之间往往具有相关性用较少的新变量代替原来较多的旧变量，使新变量尽可能多地保留原来变量的信息？ 主成分分析主成分分析主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。降维处理技术！主成分分析的例

2、子主成分分析的例子各个变量之间，信息可能有重复，例如人口密度和人均耕地面积存在负相关。能否提出少数几个指标来代表这些变量，要求信息保留尽量地多，要求信息保留尽量地多，而，而指标之间不存在信息的重复，即指标之间不存在信息的重复，即或称为或称为。主成分分析主成分分析 主成分分析的基本原理 主成分分析的计算步骤 主成分分析方法应用实例 主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理 假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量，构成一个np阶的地理数据矩阵。npnnppxxxxxxxxxX212222111211主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理目标 用较少的几个

3、综合指标代替原来的变量指标。 使新的综合指标既能尽量多地反映原来指标的信息，同时它们之间又是彼此独立的。 这是一种线性变换技术pmpmmmppppxlxlxlzxlxlxlzxlxlxlz22112222121212121111.为新指标为原变量其中，pmzzzxxxmp,2121主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理系数lij的确定原则 zi与zj（ij；i，j=1，2，m）相互无关； z1是x1，x2，xp的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，xp的所有线性组合中方差最大者; zm是与z1，z2，zm-1都不相关的x1，x2，xp的所有线性组合中方差最大者。则新变量

4、指标z1，z2，zm分别称为原变量指标x1，x2，xp的第1，第2，第m主成分。 主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理 从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj（j = 1，2 ， p）在诸主成分zi（i=1，2，m）上的荷载 lij（ i=1，2，m; j = 1，2 ， p）。 数学上可以证明，它们分别是原变量的相关矩阵的前m个最大的特征值所对应的特征向量。 主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理2Z1Z2Z1Z可以表示大部分信息1Z主成分分析主成分分析 主成分分析的基本原理 主成分分析的计算步骤 主成分分析方法应用实例 主成分分析的计算步骤主成分分析的计算步骤（一

5、）计算相关系数矩阵一）计算相关系数矩阵 rij（i，j=1，2，p）为原变量xi与xj的相关系数， rij=rji，其计算公式为pppppprrrrrrrrrR212222111211nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr11221)()()(主成分分析的计算步骤主成分分析的计算步骤 （二）计算特征值与特征向量（二）计算特征值与特征向量 解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列 ； 0RI021p 分别求出对应于特征值的特征向量 ，要求 =1，即，其中表示向量 的第j个分量。i), 2 , 1(pieiie112pjijeijeie特征值越大

6、，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，信息量越多。主成分分析的计算步骤主成分分析的计算步骤 贡献率),2, 1(1pipkki累计贡献率 ),2, 1(11pipkkikk 一般取累计贡献率达85%95%的特征值所对应的第1、第2、第m（mp）个主成分。 m,21（三）计算（三）计算主成分贡献率及累计贡献率主成分贡献率及累计贡献率主成分分析的计算步骤主成分分析的计算步骤（四）计算（四）计算主成分载荷主成分载荷), 2 , 1,(),(pjiexzplijijiij主成分分析的计算步骤主成分分析的计算步骤（五）、（五）、计算计算主成分得分主成分得分pjjjipiiijeeexxxZ.2121

7、主成份得分即在新的坐标系下，各个样本的各个综合指标的取值。上式计算的是第i个样本在第j个综合指标的取值。主成分分析主成分分析 主成分分析的基本原理 主成分分析的计算步骤 主成分分析方法应用实例 主成分分析的应用实例主成分分析的应用实例21个农业区的数据主成分分析的应用实例主成分分析的应用实例计算相关系数矩阵x1x2x3x4x5x6x7x8x9x11-0.327 -0.714 -0.3360.3090.4080.790.1560.744x2-0.331-0.0350.6440.420.2550.009-0.0780.094x3-0.71-0.03510.07-0.74-0.755-0.93-0.

8、109-0.924x4-0.340.6440.0710.3830.069-0.05-0.0310.073x50.3090.42-0.740.38310.7340.6720.0980.747x60.4080.255-0.7550.0690.73410.6580.2220.707x70.790.009-0.93-0.0460.6720.6581-0.030.89x80.156-0.078 -0.109 -0.0310.0980.222-0.0310.29x90.7440.094-0.9240.0730.7470.7070.890.291（1）将数据作标准差标准化处理，然后计算相关系数矩阵主成分分析

9、的应用实例主成分分析的应用实例计算特征值及主成份贡献率（2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率。由表可知，第1，第2，第3主成分的累计贡献率已高达86.596%（大于85%），故只需要求出第1、第2、第3主成分z1，z2，z3即可。 主成分分析的应用实例主成分分析的应用实例 （3）对于特征值=4.661 0，=2.089 0，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3，计算各变量x1，x2，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷。 主成分分析的应用实例主成分分析的应用实例主成分载荷主成分分析的应用实例主成分分析的应用实例分析（1） 第1主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈现出较强的正相关，与x3呈现出较强的负相关，而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况，因此可以认为第1主成分z1是生态经济结构的代表。 第2主成分z2与x2，x4，x5呈现出较强的正相关，与x1呈现出较强的负相关，其中，除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映了人均占有资源量的情况，因此可以认为第2主成分z2代表了人均资源量。 第3主成分z3与x8呈现出的正相关程度最高，其次是x6，而与x7呈负相关，因此可以认为第3主成分z3在一定程度上代表了农业