48相似多边形的性质

1、8 相似多边形的性质1.1.了解相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应了解相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比中线的比都等于相似比. .2.2.了解相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似了解相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能应用解决实际问题比的平方，并能应用解决实际问题. .3.3.经历探索相似多边形性质的过程，培养学生的探索能力经历探索相似多边形性质的过程，培养学生的探索能力. .全等三角形全等三角形 相似三角形相似三角形对应边对应边_对应角对应角_对应高对应高_对应中线对应中线_对应角平分线对应角平分线_对应边对应边_对应角对

2、应角_对应高的比等于对应高的比等于_对应中线的比等于对应中线的比等于_对应角平分线的比等于对应角平分线的比等于_周长周长_面积面积_周长的比周长的比_面积的比面积的比_? ? ?相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等成比例成比例相等相等? ? ? ?全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形与相似三角形性质比较钳工小王准备按照比例尺为钳工小王准备按照比例尺为3434的图纸制作三角形零件，的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的如图，图纸上的ABCABC表示该零件的横断面表示该零件的横断面ABCABC，CDCD和和CDCD分别是它们的高分别是它们的高. .（1 1） 各等于多少？各等

3、于多少？（2 2）ABCABC与与ABCABC相似吗？如果相似，请说明理相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比由，并指出它们的相似比. .（3 3）请你在图中再找出一对）请你在图中再找出一对相似三角形相似三角形. .（4 4） 等于多少？等于多少？你是怎么做的？与同伴交流你是怎么做的？与同伴交流.BAABCAACDCCDCBBC 你能猜想相似三角形对应高的比与相似比的关系，并你能猜想相似三角形对应高的比与相似比的关系，并叙述你的理由吗叙述你的理由吗? ?相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比. .ABCMDEFN如图，因为如图，因为ABCABCDEF.DEF.所

4、以所以B =E.B =E.又因为又因为AMB =DNE =90AMB =DNE =90. .所以所以AMBAMBDNE.DNE.( (两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似).).即：即：相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比. .AMABDNDE所以如图：你能猜想相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系，如图：你能猜想相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系，并叙述你的理由吗并叙述你的理由吗? ?相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比. . 因为因为ABCABCDEF.DEF.所以所以B =E, BAC=EDF.B =

5、E, BAC=EDF.又因为又因为AM,DNAM,DN分别是分别是BACBAC和和EDFEDF的角平分线的角平分线. .所以所以BAM=EDNBAM=EDN. .因为因为AMBAMBDNE.DNE.即：即：相似三角形对应角平相似三角形对应角平分线的比等于相似比分线的比等于相似比. .ABCMDE EF FN N.AMABDNDE所以如图：你能猜想相似三角形对应中线的比与相似比的关系，并叙述你如图：你能猜想相似三角形对应中线的比与相似比的关系，并叙述你的理由吗的理由吗? ?相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比. .理由是理由是: :因为因为ABCABCDEF.DEF.

6、所以所以B =E,B =E,又因为又因为AM,DNAM,DN分别是分别是ABCABC和和DEFDEF的中线的中线. .所以所以AMBAMBDNE.DNE.即即: :相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比. .ABCMDEFN.AMABDNDE所以.EFBCDEAB.BMBCENEF所以.ABBMDEEN所以(2)(2)由由ASRASRABC.ABC.四边形四边形PQRSPQRS是正方形是正方形RSBCRSBCASR= BASR= BARS= CARS= CASRASRABC.ABC.BCSRADAE设正方形设正方形PQRSPQRS的边长为的边长为x cm, x cm,

7、 则则AE=(40-x)cm,AE=(40-x)cm,40.4060 xx所以解得解得,x=24.,x=24.所以正方形所以正方形PQRSPQRS的边长为的边长为24cm.24cm.ABCSREPD Q如图如图, ,在在ABCABC中中, ,边边BC=60cm,BC=60cm,高高AD=40cm,AD=40cm,四边形四边形PQRSPQRS是正方形是正方形. .(1)(1)ASRASR与与ABCABC相似吗相似吗? ?为什么为什么? ?(2)(2)求正方形求正方形PQRSPQRS的边长的边长. .解解: :( (1)1)ASRASRABC.ABC.理由是理由是: :8 相似多边形的性质ABCA

8、BC如图：你能猜想相似三角形周长的比与相似比的关系，如图：你能猜想相似三角形周长的比与相似比的关系，并叙述你的理由吗并叙述你的理由吗? ?相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. .理由是理由是: :在在 ABCABC与与 ABCABC中中, ,因为因为ABCABCABC,ABC,且相似比为且相似比为k.k.即即: :相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. .ABACBCkA BA CB C 所以.ABACBCkA BA CB C 所以等比性质如如ABCABCABCABC它们面积它们面积的比与相似比有什么关系的比与相似比有什么关系? ?如图如图, ,ABC

9、ABCABC,ABC,相似比是相似比是k(k(如如34).34).(1)(1)ABCABC与与ABCABC的面积如何表示的面积如何表示? ?(2)(2)ABCABC与与ABCABC的面积的比是多少的面积的比是多少? ?解解: :分别作高分别作高CD,CD,CD,CD,则则;21CDABSABC.21DCBASCBA CACAB212123.4ABCABCAB CDSAB CDSAB CDAB CDABCDAB CD 所以DBDCBAA B C.,2kSSCBAABC那么相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方. .如图如图, ,如果如果ABCABCABC,ABC,且

10、且.kBAAB全等三角形全等三角形 相似三角形相似三角形对应边对应边_对应角对应角_对应高对应高_对应中线对应中线_对应角平分线对应角平分线_对应边对应边_对应角对应角_对应高的比等于对应高的比等于_对应中线的比等于对应中线的比等于_对应角平分线的比等于对应角平分线的比等于_周长周长_面积面积_周长的比周长的比_面积的比面积的比_等于相似比等于相似比等于相似比的平方等于相似比的平方相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等成比例成比例相等相等相似比相似比相似比相似比相似比相似比全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形与相似三角形性质比较BCDEFAB1C1D1E1F1A1如图：你

11、能猜想相似多边形周长的比与相似比的关系，并如图：你能猜想相似多边形周长的比与相似比的关系，并叙述你的理由吗叙述你的理由吗? ?相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比. .理由是理由是: :因为六边形因为六边形ABCDEFABCDEF六边形六边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1, ,且相似比是且相似比是k.k.1 11 1111 11 11 11 11 1111 11 11 11 1 11 1 1:.,.ABBCCDDEEFFAkABBCCDDEEFFAAB BC CD DE EF FAkABBCCDDEEFFAABCDEFkABCDEF

12、解 因为相似多边形对应边成比例对应边的比叫做相似比所以等比性质六边形的周长所以六边形的周长即：相似多边形周长的比等于相似比即：相似多边形周长的比等于相似比. .A1B1C1D1A2B2C2D2通过上面的活动通过上面的活动, ,你得出了什么结论你得出了什么结论? ?相似多边形周长的比等于相似多边形周长的比等于_,_,对应对角线的比等于对应对角线的比等于_,_,对应三角形相似对应三角形相似, ,且相似比等于且相似比等于_,_,对应三角形面积的比等于对应三角形面积的比等于_;_;相似多边形面积的比等于相似多边形面积的比等于_._.相似比相似比相似比相似比相似多边形的相似比相似多边形的相似比相似比的平

13、方相似比的平方相似比的平方相似比的平方1 1. .（潼南（潼南中考）中考）ABCABC与与DEFDEF的相似比的相似比为为3434，则，则ABCABC与与DEFDEF的周长比为的周长比为_._.【解析解析】相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比. . 答案：答案：34342.(2.(芜湖芜湖中考）如图，光源中考）如图，光源P P在横杆在横杆ABAB的正上方，的正上方，ABAB在在灯光下的影子为灯光下的影子为CDCD，ABCDABCD，AB=2 mAB=2 m，CD=6 mCD=6 m，点，点P P到到CDCD的距离是的距离是2.7 m2.7 m，则，则CDCD到到ABAB的距

14、离是的距离是_m._m.【解析解析】因为因为ABCDABCD，所以所以PAB=CPAB=C，PBA=DPBA=D， 所以所以PABPABPCDPCD，设点设点P P到到ABAB的距离为的距离为xmxm, ,则有则有即即解得解得x=0.9.x=0.9.此时，此时，ABAB到到CDCD的距离为的距离为2.7-0.9=1.82.7-0.9=1.8（m m）. .答案：答案：1.81.8ABx=CD2.72x=62.73.3.有一侦察员在距敌方有一侦察员在距敌方200 m200 m的地方发现敌人的一座建筑的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦物，但不知其高度，又不能靠

15、近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将建筑物遮住移动，使食指恰好将建筑物遮住. .若此时眼睛到食指的距若此时眼睛到食指的距离约为离约为40 cm40 cm，食指的长约为，食指的长约为8 cm8 cm，你能根据上述条件计，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请写出你的推理过程算出敌方建筑物的高度吗？请写出你的推理过程. .【解析解析】如图，作如图，作AGBCAGBC于于G G，并，并延长延长AGAG交交DEDE于于F.F.因为因为BCDEBCDE，所以所以AFDEAFDE，D=ABCD=ABC，E=ACB.E=ACB.故故ADEADEABC.ABC.所以所以 . .故故DE= =40(m).DE= =40(m).即敌方建筑物的高度为即敌方建筑物的高度为40 m.40 m.DEAF=BCAGAF BC200 0.08=AG0.4B B对应高的比对应高的比对应中线的比对