复变函数与积分变换讲义__详细

1、 复复 变变 函函 数数 与积分变换与积分变换 电电 子子 课课 件件 目目 录录第一讲第一讲 复数的代数运算及几何表示复数的代数运算及几何表示第二讲第二讲 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 区域区域 复变函数复变函数 第三讲第三讲 复变函数及极限与连续复变函数及极限与连续第四讲第四讲 解析函数的概念及充要条件解析函数的概念及充要条件第五讲第五讲 初等函数初等函数 第六讲第六讲 复积分的概念复积分的概念 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理第七讲第七讲 复合闭路定理原函数与不定积分复合闭路定理原函数与不定积分第八讲第八讲 柯西积分公式柯西积分公式 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 解析函数和调

2、和函数的关系解析函数和调和函数的关系第九讲第九讲 复数项级数复数项级数 幂级数幂级数 第十讲第十讲 泰勒级数泰勒级数 第十第十一一讲讲 洛朗级数洛朗级数 第十第十二二讲讲 孤立奇点孤立奇点 第十第十三三讲讲 留数留数 第十第十四四讲讲 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用第十第十五五讲讲 FourierFourier积分积分 FourierFourier变换变换第十六讲第十六讲 FourierFourier变换的性质变换的性质 应用应用 卷积卷积第十七讲第十七讲 LaplaceLaplace变换的概念变换的概念 性质性质第十八讲第十八讲 LaplaceLaplace变换的逆变换变换

3、的逆变换 卷积卷积前前 言言在十六世纪中叶，G. CardanoG. Cardano (1501-1576)在研究一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被CardanoCardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有所好转。特别是由于 L.EulerL.Euler的研究结果，1040 xx515515与复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式 揭示了复指数函数与三角函数

4、之间的关系。然而一直到C.WesselC.Wessel (挪威.1745-1818)和R.ArgandR.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面向量或点来表示，以及 K. F.GaussK. F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.HamiltonW.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术cossinieiaib中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函

5、数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。 第一讲第一讲 复数的代数运算及几何表示复数的代数运算及几何表示教学重点：教学重点：1.复习复数的基本概念复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题计算有关复数的典型题教学难点：教学难点： 复球面复球面突破方法：精讲多练突破方法：精讲多练 1.概念 一对有序实数（ ）构成一个复数，记为 .x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z), ,称 为 Z 的共轭复数。两个复数相等 他们的实部和虚部都相等特别地， 与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.2 .四则运算 设 iyxzyx,1i zxiy00yxiy

6、xz222111,iyxziyxz 1.1复数及其代数运算复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z33.共轭复数性质:.ziz,z(zzziv;zzzziiizzii;zzzz,zzzz,zzzzi)Im(2)Re2)Im()Re();)22212121212121)0()()();()(22221211222212121212112212121212121zxxyxyxixxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzz1.点

7、表示iyxz复数yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴1.21.2复数的几何表示复数的几何表示( , )XOYz x y 平面上的点0 xyxyz=x+iy|z|=rz|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzx2 向量表示-复数复数z z的辐角的辐角(argument)(argument) 记作Arg z= .任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足 p p 0 p p 的的 0 称为称为ArgArg z z的主值的主值, 记作0=arg z .则Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)复数z=x+iy矢径z22zzrxy-复数复数z z的模的模轴正向的夹

8、角弧度与xzarctan22yxpp其中在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定:说明：当 z 在第二象限时，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxp3.指数形式与三角形式),(zArgzrirez 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin, 可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:例1 将下列复数化为三角表示式

9、与指数表示式.1)122 ;2)sincos.55zizipp 解 1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arctanarctan.3612ppp 因此56554cos()sin()466izieppp)sin(cosirz23.izep3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此31033cossin1010izieppp练习：练习：写出 的辐角和它的指数形式。132iz解3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3ArgzzkkkZppp1,rz2) 显然, r = | z | = 1, 又4. .复数形

10、式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.例2 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此, 它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2z1). (t+) 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2z1). (0t1)取12t 得知线段1 2z z的中点为122zzz 例3 求下列方程所表示的曲线:1)|

11、2;2)|2 | |2|;3)Im()4.ziziziz解：1)| 2zi设设 z = x + i y , 方程变为2222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2 | |2|ziz 几何上, 该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直平分线, 方程为 y x , 也可用代数的方法求出。2iOxy2yx3)Im()4.iz设设 z = x + i y , 那么(1)Im()1izxy iizy 可得所求曲线的方程为 y 3 .Oyxy35.复球面 N0 x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外, 还可以用