高三数学高考导数专题5：函数的最值

1、专题5：函数的最值1已知函数，若成立，则的最小值为（ ）ABCD【解析】令，则，即，若，则，有，当时，单调递减；当时，单调递增；，即的最小值为.故选：D.2已知函数，若，则的最小值为（ ）ABCD【解析】由题意，得，即，又，得在上单调递增，综上知：，令，则，得；，得；故在上单调递减，在上单调递增.，故选：C3若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）ABCD【解析】令，所以，因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，因为当时，且，所以，使得，并且当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，所以，所以所以，考虑函数，其中，根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，因为，所以

2、解得到，所以，因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C4已知函数，若存在，使得成立，则的最小值为（ ）ABCD【解析】函数f（x）的定义域为（0，+），当x（0，e）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（e，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，又f（1）0，所以x（0，1）时，f（x）0； 同时，若存在，使得成立，则且，所以，即x2lnx1，又所以，故，令，k0，则，令，解得，令，解得，在（，3）单调递减，在（3，0）单调递增，故选：D5已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根，且，则的最小值为（ ）ABCD【解析】作函数的大致图象如下，结合图象易知，使得，故，令，则，令，则，当时，

3、当时，故在上单调递减，在上单调递增，故选：D.6已知函数.（1）a=1时,求函数f（x）的极值；（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范围.【解析】(1)当a=1时,则,令h（x）=exx,当x（0,+）时,h（x）=ex10,在（0,+）上,h（x）h（0）=1,即exx,令f（x）=0,则x=1,经检验,在（0,1）上,f（x）0,f（x）单调递减,在（1,+）上,f（x）0,f（x）单调递增,当x=1时,函数y=f（x）取得极小值e1,无极大值；(2),令,则,由（1）知,当x（0,+）时,exx,ex（x22x+2）xx（x22x+2）x=x（x1）20,p（x）0在（0,+）上恒

4、成立,f（x）在定义域上单调递增,方程f（x）=0在（0,+）上有唯一解,设方程f（x）=0的解为x0,则在（0,x0）上f（x）0,在（x0,+）上f（x）0,且1x02,f（x）的最小值为,由f（x）=0得,代入g（a）得,令,则,x2+2x2=（x1）211,ex（x2+2x2）+xxex0,（x）在1,2上为减函数,g（a）ln21,e1.7已知函数（，为自然对数的底数），且在点处的切线的斜率为，函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若，求的最大值.【解析】（1）由已知得，在点处的切线的斜率为，所以，从而，.因为，在上递增，且，所以当时，；时，的单调减区间为，单调增区间为，所以，无极大

5、值.（2）令，得，当时，在上单调递增，当时，与相矛盾；当时，此时；当时，得，所以在，为减函数，在，为增函数.当时，即，所以（其中）.令，则，所以在，为增函数，在，为减函数.当时，即：当时，的最大值为，所以的最大值为.综上所述：的最大值为.8已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，记函数在区间的最大值为.最小值为，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为.当时，恒成立，函数的增区间为，无单调减区间；当时，令可得；令可得，函数的增区间为，减区间为.综上，当时，函数的增区间为，无单调减区间；当时， 函数的增区间为，减区间为.（2）当时，由（1）可得函数在区间单调递减，在区间单调递增.，.由.

6、当时，有.记，则，函数在单调递减，即.此时的取值范围为.当时，有.记，则，函数在单调递增，即.此时的取值范围为.综上，的取值范围为.9已知函数两个极值点.（1）当时，求；（2）当时，求的最大值.【解析】（1） （）当时，（）由，得或；由，得在及上单调递增，在上单调递减， （2）的两个极值点，是即方程的两个根，QQ群416652117，又，（）令，则即即又在上单调递减的最大值为的最大值10已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，则，时，；时，在上为增函数，在上为减函数（2）对任意的，不等式恒成立，在上恒成立，令，则令，则，在上为增函数

7、，又，使得，即，时，在上单调递减，时，在上单调递增，由可得令，则又，在上单调递增，综上所述，满足条件的的取值范围是11已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）求函数的最小值；（2）求证：.【解析】（1）因为，所以当时，单调递减当时，单调递增所以（2）证明：要证，只需证明：对于恒成立，令，则，当时，令，则，在上单调递增，即在上为增函数又因为，所以存在使得由得即即即所以当时，单调递减当时，单调递增所以，令，则所以在上单调递增，所以，所以，所以，即12已知函数（a、）.（1）当，时，求的单调区间；（2）当，时，求的最小值.【解析】（1）当，时，（）.，令得，或（舍去）.当时，单调递减，当时，单调递增

8、，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）.设（），1）当时，则在上单调递减，且，在上单调递增，.2）当时，设，有两根，.，不妨令，当时，即，在上单调递减，当时，即，在上单调递增.当，即时，在上单调递增.又，.当，即时，在上单调递减，在上单调递增.又，存在使得，.综上可得13已知函数，.（1）若直线是曲线的切线，求的最大值；（2）设，若函数有两个极值点与，且，求的取值范围.【解析】（1）因为，又因为是曲线的切线，即故，因为，即，故，所以，即所以单调递减，故，综上，的最大值是0.（2）因为，所以，是的两根，即，故，所以，因为，令，即单调递减，且，所以在单调递增，故，综上，的取值范围是.14已知函数（1）求的极值；（2）求在上的最大值【解析】（1）函数的定义域为，当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；当时，令，解得，则在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有极小值，无极大值，综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；（2）当时，由（1）知在上是减函数，所以当时，有最大值；当时，由（1）知在上是减函数，在上是增函数，（i）当，即时，在上是增函数，所以当时，有最大值；（ii）当即时，在上是减函数，在上是增函数.若，即时，有最大值；若，即时，有最大值；（）当即时，在上是减函数，所以当时，有最大值，综上所述，当时，有最大值；当时，有最大值.15已知函数.（1）当时，求证：；（2）设，记在