中考数学专题复习最值问题探索动点的轨迹

1、最值问题（探索动点轨迹）辅助圆（隐圆）一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.例1、如下左图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°, M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN 沿MN所在直线翻折得到4A,MN，连接A'C,则AC长度的最小值是.例2、如上右图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2, AEQ 沿EQ翻折形成FEQ，连接PF、PD,则PF+PD的最小值是.二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直

2、角.构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:AB若AB是一条定线段，且NAPB=90°,则U P点轨迹是以AB为直径的圆.例1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G，连接BE 交AG于点H，若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是例2、如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG, 则AG长的最小值为.例3、如图，正方形ABCD的边长是4,点

3、E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF±BE于点F，点P 是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值， ZP为定角，则A点轨迹是一个圆.当然，NP度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°,下分别作对应的轨迹圆.若ZP=30°,以AB为边，同侧构造等边三角形AOB, O即为圆心.若ZP=45°,以AB为斜

4、边，同侧构造等腰直角三角形AOB, O即为圆心.若NP=60°,以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB, O即为圆心的等腰三角形AOB,O即为若NP =120°,以AB为底，异侧为边构造顶角为120°圆心.例1、如图， ABC为等边三角形，AB=2,若P为工ABC内一动点，且满足NPAB =NACP,则线段PB长度的最小值为例2、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB （异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，NACB的角 平分线交圆O于点D,NBAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是四、从动模型

5、之轨迹为圆【模型总结】为了便于区分动点尸、0，可称点尸为“主动点”，点0为“从动点”.此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(NPAQ是定值);主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:N PAQ =N OAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:AP: AQ=AO: AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，0与尸的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.【思考1：如图，P是圆O上一个动点

6、，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边 APQ.考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析Q点满足(1)NPAQ=60°； (2) AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑NPAQ=60°,可得Q点轨迹圆圆心M满足NMAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有APO/ AQM.小结可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ 的位置和数量关系.【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角AP0.考虑：当点P在圆O上运

7、动时，如何作出Q点轨迹?【分析】Q点满足(1)NPAQ=45°； (2) AP:AQ = <2 ： 1,故Q点轨迹是个圆.连接AO,构造NOA"=45°且AO:AM= Q ： 1. M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AOPAAMQ.即可确定点Q的轨迹圆.A例1、如下左图，正方形ABCD中，AB 2<5 , O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DR连接AE、CF.求线段OF长的最小值.ED例2、如下右图，k4BC中，AB=4, AC=2,以BC为边在 ABC外作正方形BCDE, B

8、D、CE交于点O,则 线段AO的最大值为A五、轨迹之线段篇必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于/PAQ （当NPAQW90°时，/PAQ等于MN与BC夹角）B PCP、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ （由AABCAAMN，可得AP:AQ=BC:MN）例1、如图，在等边/BC中，AB =10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD3 PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边 DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是例2、

9、如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1, F为AB边上的一个动点，连接石尸，以EF为边向右侧作等边 EFG，连接CG则CG的最小值为例3、如图，在团ABCD中，BC=61月，对角线BD =10, tanZDBC=，点E是线段BC上的动点，连接 DE，过点D作DP±DE，在射线DP上取点F,使得ZDFE =ZDBC,连接。£则4DCF周长的最小 值为.【解答】解：过D点作DN±BC,交BC于点N,过点F作FM±/D,交延长线与点M,作C点关于直线MF的对称点C,连接CD与MF交点即为F；VtanZDBCg, BD =10,DN=2

10、9; 5, BN=4' 5,BC=6： 5,:.CN =2;'亏，:.CD=2 / 10,V CF = C' F,. DCF周长=CD+DF+CF=2一T0+DC,此时周长最小；V DM BC,?.Z DNM=/ DNB=90°,VN DFE =Z DBC,. BDNDNM (AAS),.DM= BN=4,.; 5,.NC=6：二在白 DC'N 中，CD =10 2,. DCF周长的最小值为2 .TO+10 ；： 2,故答案为 2；Ici+10'.;1.堂堂堂1、如图，在RS ABC中，NC=90°, AC=6, BC=8,点F在边A

11、C上，并且CF=2,点E为边BC上的动点， 将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.2、如图，在RSABC中，NACB=90°, BC=4, AC=10,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O, 连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为.3、如图，等边皿。边长为2, E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF,连接AE、BF,交点为P点, 则CP的最小值为4、如图，在等腰RtAABC中，AC=BC= 2<2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半 圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为.P5、如图，已知点A是第一象限内横坐标为

12、2V3的一个定点，AC±x轴于点M,交直线歹=-x于点N, 若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°, BA±PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变， B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.6.在平面直角坐标系中，A (1, 0), B (0,/3),过点B作直线BCx轴，点P是直线BC上的一个动点，以 AP 为边在 AP 右侧作 RtAAPQ，使NAPQ=90°,且 AP： PQ =1： ；3,连结 AB、BQ，则4ABQ 周 长的最小值为.【分析】设P (m，,巧).作AMLBC于M, QN±BC于N.利用新

13、三角形的性质求出点Q的坐标推出， 点Q的运动轨迹是直线歹=-&+5,：，作点A关于直线歹=-.：%+5厂后的对称点A ,连接BA ,交 直线于Q/,连接AQ,此时 ABQ的周长最小.【解答】解：设P (m, 1耳).作AMLBC于M, QNLBC于N.VZ AMP =N APQ =N QNP = 90°, / APM+ Z NPQ=90°,Z NPQ +Z PQN=90°,AZ APM=Z PQN, AMP M PNQ, .幽=电=型=工PM NQ PQ ,.二工！=工PN NQ /3 .PN = 3, NQ ='.; 3 (m - 1),；.Q

14、(m+3, 2= 3 -二 Mm),，点Q的运动轨迹是y =- r' X+51:3,作点A关于直线y =-'；2+5'；亏的对称点A ,连接BA ,交直线于Q/,连接AQ,此时 ABQ的 周长最小. 二A' (7, 2,: 3), B (0, 43), A (1, 0),二A ' B = ；/+(.屈 2=2"3, Ab = ：2+C=2, ABQ 的周长的最小值=AQ' +BQ' +AB = A' Q' +BQ' +AB = A / B+AB=2 / 13+2,故答案为2'.;l3+2.【巩固练

15、习】1、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5, AC=4. D是弧BC上的一个动点，连接AD, 过点C作CELAD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.2、在AABC中，AB=4,NC=60°,NA>NB,则BC的长的取值范围是.3、如图，点P (3,4),圆P半径为2, A (2.8,0), B (5.6,0),点M是圆P上的动点，点C是MB的中点， 则AC的最小值是.4、如图，在平面直角坐标系中，A (-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上， 以AB为边在AB的下方作等边4ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为.5、P,使

16、AD=PD,则PB的取值范围为如图所示，AB=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并延长至点6、如图，已知等边4ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把4ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B.当PB=6时，在直线l变化过程中，AACB面积的最大值为8、如图，点O为原点，OO的半径为1，点A的坐标为（2,0）,动点B在OO上，以AB为边作等边ABC （顺时针），则线段OC的最小值为9、如图，AB=2, BC=4, A 是OB 上任二一点，点C为OB外一点，4ACD为等边7、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M

17、是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是A. 4 . 3+4C 4/3+8D. 6'3三角形，则BCD的面积的最大值为()10、如图，矩形ABCD的边AB=3cm, AD=4cm,点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O,点F 为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF,过点E作EGLEF, EG与圆O相交于点G,连接CG.(1)试说明四边形EFCG是矩形；(2)当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积最小值为点G移动路线的长为.爪补充练习

18、:1 .如图，在 ABC中巧，NBAC =90°, D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC, 将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到尸C,连接DR则在点E运动过程中，DF的最小值 是.2 .如下左图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰RtAPE，边PE与BC交于点方，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为.3 .如下右图，正方形ABCD的边长为2,点E、F分别是边AB、CD上的动点，目AE = CF,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为.4、如图，正方形ABCD中AB=2,:5, O是BC边的中点，点E是正方形内一动 点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90