变化多端的等腰三角形

1、变化多端的等腰三角形湖北省流水县六神中学翟升华某小丰纵观2014年全国数学中考关于等腰三角形的考查花样翻新、与时俱进，充分体现了新的课程标准（2011版）倡导的学生“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”的理念。下面笔者对2014年中考数学关于等腰三角形的试题进行搜集、整理，展现端倪，以飨读者。一、剪出等腰三角形例1（2014年黄冈市）如图，在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形

2、的边上）.则剪下的等腰三角形的面积为cm2.析解：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分以下三种情况进行讨论：（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上.（1）当AE=AF=5厘米时，如图（1）图（1）图（2）图（3）_1_1962、Szaef-AE?AF=>5>5=（厘米2）.222（2）当AE=EF=5厘米时，如图（2）bf=Vef2-BE2=7s2-12=2（厘米），$/=-?85=4>5>2n=5混（厘米2）.（3）当AE=EF=5厘米时，如图（3）DF=VeF2-DE2=Vb2-S2=4（厘米），SAEF=|aE?DF=7；&g

3、t;5>4=10（厘米2）.故答案为：、自，56,10.反思：本题融操作、计算、探究于一体，通过动手实践，领悟到分类讨论数学思想在解题中的运用.例2(2014年宁波市)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36。的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45。的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视

4、为同一种)(2)ABC/B=30°,AD和DE是ABCW三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BDDE=CE设/Cx。，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3,ABC43,AC=2,BC=3,/C=2/B,请画出ABC勺三分线，并求出三分线的长.析解：(1)顶角为45。，自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况；第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45。和22.5。，再以22.5。分别作为等腰三角形的底角或

5、顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形.即又一三分线作法.如图2作图，(2)用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA一边为BC根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验一一分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABD.根据图形易得x的值.如图3、作AEC.当AD=AE时，2x+x=30+30,.x=20.当AD=DE时，.30+30+2x+x=180,.x=40.(3)因为/C=2/B,作/C的角平分线，则可得第一个等腰三角形.而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线

6、.则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长.如图4,CDAE就是所求的三分线.设/&a,则/DCBZDCA/EAGa,/ADE/AED：2a,此时AECoBDCACEhAABC设AE=AD=x,BD=CD=y,.AEGBDC，x：y=2：3,.ACmAB(C，2x=(x+y):2,联立得，方程组解得,即三分线长分别是反思：本题取材于教材，但略高于教材、活于教材，考查了学生的理解能力及动手创造能力，是一道锻炼学生思维智能的好题目.二、画出等腰三角形例3（2014年无锡市）已知那BC的三条边长分别为3,4,6,在4ABC所在平面内画一条直线，将"B

7、C分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）.A.6条B.7条C.8条D.9条析解：利用等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可.如图所示：当BCi=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形.故选：B.反思：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，通过做题，让学生体会到数学图形的可塑性和多样性，具有一定的挑战思维性三、黄金三角形例4（2014年无锡市）（1）如图1,RtAABC中，/B=90°,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为

8、半径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证：坐=J5.（这个比值:5叫做AE与AB的黄金比.）AB22（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）A3A3ISI圄2析解：（1）利用未知数表示出AB,AC,BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案证明：RtAABC中，/B=90°,AB=2BC,设AB=2x,BC=x,贝UAC=x,.AD=AE=（岳T）x,|AE

9、（七-1）1恒-1AB2xZ（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可.底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图:.此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，让学生体会数学的美感，是一道证明、作图相结合的不可多得试题例5（2014年福建漳州）如图，4ABC中，AB=AC,ZA=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括4ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以

10、上操作发现：在4ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形,其中有个黄金等腰三角形.析解：（1）利用等腰三角形的性质以及/A的度数，进而得出这2个等腰三角形的顶角如图1所示：.AB=AC,/A=36.当AE=BE,贝U/A=/ABE=36°,贝U/AEB=108°,贝叱EBC=36°,.这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108,36.(2)利用(1)的思路进而得出符合题意的图形.如图2所示：(3)利用当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案.如图3所示：当1条直线可

11、得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；在4ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.故答案为：2n,n.反思：此题以黄金三角形为背景，“题”陈出新，展示了数学的丰富内涵，材料平实、亲切，具有挑战性.让学生经历“观察一一操作一一猜想一一计算一一拓展”的过程，较好地考查了学生运用知识和探究问题的能力，践行了新课标的精神四、构造等腰三角形例6(2014年襄阳市)如图，在ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD与CE交于点O,给出下列三个条件：/EBO=/DCO;BE=CD;OB=OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.析解：(1)由；.两个条件可以判定ABC是等腰三角形.；.(2)先求出/ABC=/ACB,即可证明ABC是等腰三角形.选证明如下，OB=OC,/OBC=/OCB,/EBO=/DCO,又/ABC=/EBO+/OBC,/ACB=/DCO+/OCB,丁./ABC=/ACB,.ABC是等腰三角形.给学生提供了较广阔的解题空间，锻炼了学反思：本题主要考查了等腰三角形的判定，生对数学命题的组合、判断、证明的能力.总