吉林大学2016~2017第一学期随机数学B试卷答案

1、吉林大学20162017学年第一学期概率论与数理统计B»试卷答案、填空题（每小题3分，满分18分，把答案填在题中横线上）2017年1月9日一二三四总分1 .设A,B是同一个试验中的两个事件，且P（A）=0.61,P（AB）=0.22,则P（AB）=0.61.2 .抛掷两颗均匀的骰子，已知两颗骰子点数之和为7点，则其中一颗为1点的概率为1/3.1.3 .设连续性随机变量X的分布函数在某区间的表达式为-,其余部分为常数，写出x11此分布函数的完整表达式F（x）=x2+1，当x<0时.1,当x_0时4 .设二维随机变量（X,Y）在区域D上服从均匀分布，D由曲线x=e点的值为1-，21

2、y=一,y=0,x=1,x=e2所围成，则（X,Y）关于X的边缘概率密度在x1/2e.2(J5 .设随机变量Xi,X2，Xn相互独立，并且服从同一个分布，期望为八一1n令X=，£Xi,则D(X)=nid6 .设总体XN",。2）,从总体X中抽取样本X1,X2，Xn,样本均值为X,样本方差为S2,总体N和仃2均未知，则N的置信水平为1的置信区间为(X-t2(n-1)2S二、选择题（每小题3分，满分18分.每小题只有一个选项符合题目要求，把正确选项前的字母填在题后括号内）1.设A、B、C三个事件两两相互独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是（第1页共6页）(A)A与BC独立

3、(B)AB与AUC独立(C)AB与AC独立(D)AUB与AUC独立2.设F(x)为随机变量X的分布函数，在下列概率中可表示为F(a)-F(a-0)的是(C)(A)P【XMa)(B)Pha)(C)PX=a)(D)Plx_a)3 .设两个相互独立的随机变量(A)PiXY<0(QP(X-Y£04 .在假设检验中，原假设(A)Ho为真，接受H(C)Ho为真，拒绝H5 .设随机变量X的数学期望P80<X<120至(D)(A)0.025(C)0.966 .设Xi,X2,X3是来自总体N(N,F列各式中不是统计量的为(D)(A)X2-2(C)max(X1，X2,X3)X与Y分别服

4、从正态分布(B)PiX(D)P'：XN(0,1)和N(1,1),则(B)Y<1?=-2-Y<1?=-2Ho,备择假设也，则(B)称为第二类错误(B)Ho不真，接受Ho(D)Ho不真，拒绝HoE(X)=100，方差D(Y)=10,则由切比雪夫不等式(B)0.5(D)0.975仃2)的一个样本，其中N为已知，仃2为未知，则(B)lX1X3eX21(D)(XiX2X3)<T、(按照要求解答下列各题，每题10分，满分50分)1.在电报通讯中，发送端发出的是由“g”和“-”两种信号组成的序列。由于受到随(第2页共6页)机干扰，接收端收到的是“g”和“-”及“不清”三种信号组成的

5、序列。假设发送“g”和“-”的概率分别为0.7和0.3;在已知发送“g”时，接收到“g”、“-”和“不清”的概率分别为0.8、0.1和0.1；在已知发送“-”时，接收到“g”、“-”和“不清”的概率分别为0.2、0.7和0.1.求（1）接收到信号“g”、“-”和“不清”的概率；（2）在接收到信号“不清”的条件下，发送信号为“-”的概率。解：（1）由全概率公式。俚通三即M联喻1|勾）本联&）”雕11|题）三077改®8随3<0au0625分盟电动三774.1T30）.7三028心修）三0770.1皿0.1三（0.1（2）由贝叶斯公式得P(A2|B3)=P(A2)P(B31

6、A2)100.30.10.70.10.30.1=0.3P(A1)P(B3|A)P(A2)P(B31A2)2.设连续型随机变量X的分布函数为F（x）=A+Barctanx,<x<求（1）常数A、B.（2）随机变量x落在（-1,1）内的概率.（3）X的概率密度函数.解：(1)F(*)=0,F(f)=1得，二二11A+B(-)=0,A+B(1)=1,得庆=一，B=13分222二P(-1:二x：二1)=F(1)-F(-1)(2) 11二11二16分1(3) X的概率密度函数f(x)=F(x)=厂,-°°<x<f10分二(1x2)X-101p1412j43.已

7、知随机变量X和Y的概率分布分别为Y01P1212并且P,XY=0；=1.（1）求二维随机变量（X,Y）的概率分布（只写出计算结果表格）（第3页共6页）(2)判别X和Y是否相互独立。解：(1)二-101Pj014014121012012p.1412141(2)由X和Y的联合分布律和边缘分布律可知p1X-1,Y=0；，P；X=1P，Y=0；.已知随机变量J4428所以X和Y不相互独立。2221XY4.已知随机变量X、Y分别服从N(1,32),N(0,42),PXY=1，设Z=+.232求(1)Z的数学期望与方差；(2) X与Z的相关系数；(3) X与Z是否相互独立？为什么？解：(1)由EX=1,D

8、X=9,EY=0,DY=16,得EZ=E(Y)=1EX1EY=-,32323DZ=D(：-2)=D*)DI：)2Cov(|,；):9dx11八-DY-Cov(X,Y)434=1DX1DY1:xy.DX.DY=14-2=3943(2)XY11Cov(X,Z)-Cov(X,)Cov(X,X)Cov(X,Y)3232DX1：xyDX、DY=3-3=032可知X与Z是相所以XYu0(3)由于二维正态随机变量相关系数为零和相互独立两者是等价的结论,(第4页共6页)互独立的。10分而x加0<x<1.5.设总体X的概率密度为f（x）=，一一0>0为未知参数，0,其他Xi,X2，Xn是来自总

9、体X的样本，求日的矩估计量和最大似然估计量。解：由于3=EX=j"x&x：-3分0I令此=a，即一2解得6的矩估计量为?=5分1-X设Xi,X2，Xn为样本值，似然函数为nnnnL(i)fjf(x户)、同为R=(为)7i1i1i1取对数，得lnL(-)=lIn12n+(而-1)2lnxiiW令dlnL(u)d解得6的最大似然估计值为?11，lnxif23ij2nClnxi)2i12e的最大似然估计量为?=下100lnXi）2i1四、按照要求解答下列各题（第一小题8分，第二小题6分,满分14分）X的概率密度为x0,x-0,e，f(x)=0,（第5页共6页）求随机变量Y=X2的概率密度函数.解：设Y的分布函数为FY(y)=P(Y<y.当y<0时,Fy(y)=PY«y=pX2«y=0,当y30时,FY(y)=pY«y=px2<y=FxG/y)-Fx(-V7)，ey：二0.因此Y的概率密度函数为fY(y)=42«y0，2.设总体xu(0,e),Xi,X2,l,Xn(n22)是取自总体X的样本，已知e的两个无偏估计量为虏=2X,=-n-1max(X1,nX2,，Xn),判别有与居哪个更有效？解：D(«)=D(2X)