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文档简介
1、吉林大学20162017学年第一学期概率论与数理统计B»试卷答案、填空题(每小题3分,满分18分,把答案填在题中横线上)2017年1月9日一二三四总分1 .设A,B是同一个试验中的两个事件,且P(A)=0.61,P(AB)=0.22,则P(AB)=0.61.2 .抛掷两颗均匀的骰子,已知两颗骰子点数之和为7点,则其中一颗为1点的概率为1/3.1.3 .设连续性随机变量X的分布函数在某区间的表达式为-,其余部分为常数,写出x11此分布函数的完整表达式F(x)=x2+1,当x<0时.1,当x_0时4 .设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,D由曲线x=e点的值为1-,21
2、y=一,y=0,x=1,x=e2所围成,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x1/2e.2(J5 .设随机变量Xi,X2,Xn相互独立,并且服从同一个分布,期望为八一1n令X=,£Xi,则D(X)=nid6 .设总体XN",。2),从总体X中抽取样本X1,X2,Xn,样本均值为X,样本方差为S2,总体N和仃2均未知,则N的置信水平为1的置信区间为(X-t2(n-1)2S二、选择题(每小题3分,满分18分.每小题只有一个选项符合题目要求,把正确选项前的字母填在题后括号内)1.设A、B、C三个事件两两相互独立,则A、B、C相互独立的充分必要条件是(第1页共6页)(A)A与BC独立
3、(B)AB与AUC独立(C)AB与AC独立(D)AUB与AUC独立2.设F(x)为随机变量X的分布函数,在下列概率中可表示为F(a)-F(a-0)的是(C)(A)P【XMa)(B)Pha)(C)PX=a)(D)Plx_a)3 .设两个相互独立的随机变量(A)PiXY<0(QP(X-Y£04 .在假设检验中,原假设(A)Ho为真,接受H(C)Ho为真,拒绝H5 .设随机变量X的数学期望P80<X<120至(D)(A)0.025(C)0.966 .设Xi,X2,X3是来自总体N(N,F列各式中不是统计量的为(D)(A)X2-2(C)max(X1,X2,X3)X与Y分别服
4、从正态分布(B)PiX(D)P':XN(0,1)和N(1,1),则(B)Y<1?=-2-Y<1?=-2Ho,备择假设也,则(B)称为第二类错误(B)Ho不真,接受Ho(D)Ho不真,拒绝HoE(X)=100,方差D(Y)=10,则由切比雪夫不等式(B)0.5(D)0.975仃2)的一个样本,其中N为已知,仃2为未知,则(B)lX1X3eX21(D)(XiX2X3)<T、(按照要求解答下列各题,每题10分,满分50分)1.在电报通讯中,发送端发出的是由“g”和“-”两种信号组成的序列。由于受到随(第2页共6页)机干扰,接收端收到的是“g”和“-”及“不清”三种信号组成的
5、序列。假设发送“g”和“-”的概率分别为0.7和0.3;在已知发送“g”时,接收到“g”、“-”和“不清”的概率分别为0.8、0.1和0.1;在已知发送“-”时,接收到“g”、“-”和“不清”的概率分别为0.2、0.7和0.1.求(1)接收到信号“g”、“-”和“不清”的概率;(2)在接收到信号“不清”的条件下,发送信号为“-”的概率。解:(1)由全概率公式。俚通三即M联喻1|勾)本联&)”雕11|题)三077改®8随3<0au0625分盟电动三774.1T30).7三028心修)三0770.1皿0.1三(0.1(2)由贝叶斯公式得P(A2|B3)=P(A2)P(B31
6、A2)100.30.10.70.10.30.1=0.3P(A1)P(B3|A)P(A2)P(B31A2)2.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,<x<求(1)常数A、B.(2)随机变量x落在(-1,1)内的概率.(3)X的概率密度函数.解:(1)F(*)=0,F(f)=1得,二二11A+B(-)=0,A+B(1)=1,得庆=一,B=13分222二P(-1:二x:二1)=F(1)-F(-1)(2) 11二11二16分1(3) X的概率密度函数f(x)=F(x)=厂,-°°<x<f10分二(1x2)X-101p1412j43.已
7、知随机变量X和Y的概率分布分别为Y01P1212并且P,XY=0;=1.(1)求二维随机变量(X,Y)的概率分布(只写出计算结果表格)(第3页共6页)(2)判别X和Y是否相互独立。解:(1)二-101Pj014014121012012p.1412141(2)由X和Y的联合分布律和边缘分布律可知p1X-1,Y=0;,P;X=1P,Y=0;.已知随机变量J4428所以X和Y不相互独立。2221XY4.已知随机变量X、Y分别服从N(1,32),N(0,42),PXY=1,设Z=+.232求(1)Z的数学期望与方差;(2) X与Z的相关系数;(3) X与Z是否相互独立?为什么?解:(1)由EX=1,D
8、X=9,EY=0,DY=16,得EZ=E(Y)=1EX1EY=-,32323DZ=D(:-2)=D*)DI:)2Cov(|,;):9dx11八-DY-Cov(X,Y)434=1DX1DY1:xy.DX.DY=14-2=3943(2)XY11Cov(X,Z)-Cov(X,)Cov(X,X)Cov(X,Y)3232DX1:xyDX、DY=3-3=032可知X与Z是相所以XYu0(3)由于二维正态随机变量相关系数为零和相互独立两者是等价的结论,(第4页共6页)互独立的。10分而x加0<x<1.5.设总体X的概率密度为f(x)=,一一0>0为未知参数,0,其他Xi,X2,Xn是来自总
9、体X的样本,求日的矩估计量和最大似然估计量。解:由于3=EX=j"x&x:-3分0I令此=a,即一2解得6的矩估计量为?=5分1-X设Xi,X2,Xn为样本值,似然函数为nnnnL(i)fjf(x户)、同为R=(为)7i1i1i1取对数,得lnL(-)=lIn12n+(而-1)2lnxiiW令dlnL(u)d解得6的最大似然估计值为?11,lnxif23ij2nClnxi)2i12e的最大似然估计量为?=下100lnXi)2i1四、按照要求解答下列各题(第一小题8分,第二小题6分,满分14分)X的概率密度为x0,x-0,e,f(x)=0,(第5页共6页)求随机变量Y=X2的概率密度函数.解:设Y的分布函数为FY(y)=P(Y<y.当y<0时,Fy(y)=PY«y=pX2«y=0,当y30时,FY(y)=pY«y=px2<y=FxG/y)-Fx(-V7),ey:二0.因此Y的概率密度函数为fY(y)=42«y0,2.设总体xu(0,e),Xi,X2,l,Xn(n22)是取自总体X的样本,已知e的两个无偏估计量为虏=2X,=-n-1max(X1,nX2,,Xn),判别有与居哪个更有效?解:D(«)=D(2X)
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