函数导数与不等PPT学习教案

1、会计学1函数导数与不等函数导数与不等22311( )ln ()21( )1221ln.23f xxax aRf xxxxx例 ：已知函数（）求函数的单调区间；（ ）求证：当时，0( )0,0( ),0,.af xaf xaa时，的单调增区间是；时，的单调增区间是，减区间是第1页/共44页3221( )ln ,32g xxxx证明:(2)设221(1)(21)( )2xxxg xxxxx1,( )0 xg x当时( )(1,)g x 在上是增函数，1( )(1)0.6g xg第2页/共44页32211,ln .32xxxx故当时第3页/共44页23212122:( )728,( )2440 .(

2、1)3,3 ,( )( );(2)3,3 ,3,3 ,()(),f xxxcg xxxxxf xg xcxxf xg x 例已知两个函数若对任意都有成立,求实数 的取值范围若对任意都有成立 求实数c的取值范围.第4页/共44页32(1)( )( )( )2312.h xg xf xxxxc分析： 设min( )( 3)45,3,3h xhcx min( )0,h x45 0,c45.c的取值范围是，第5页/共44页1212maxmin:(2)3,3 ,3,3 ,()(),3,3,( )( ).xxf xg xxf xg x 分析对任意的恒成立 等价于时max( )( 3)147f xfcmin

3、( )(2)48g xg 14748c 195c 第6页/共44页2231 20 1120213120 1:( )ln, ( )( , .( )( ), ( );( ),( )( )( ),( ),.f xxaxg xxaxf xg xxf xg xbf xbxxxb 例已知函数在是增函数在上是减函数求的表达式求证当时 方程有唯一解;当时 若在内恒成立 求 的取值范围第7页/共44页:(1)( )2,( )01,2.afxxfxxx解依题意对任意恒成立2202.axaxx由，得222,2. xa( )1,2ag xx 又第8页/共44页( )02.g xax依题意由，得(0,122,xx当时,

4、2,a2.a2( )2ln , ( )2.f xxx g xxx22(1),2ln22xxxx（ ）由可知 原方程为第9页/共44页22ln220 xxxx即2( )2ln22h xxxxx设，21( )21(1)(222)h xxxxxx xxxx 则1( )0;xh x显然当时,第10页/共44页01, ( )0.xh x当时( )1(1)0,h xxh在处有最小值0,1( )0 xxh x又当且时恒有，( )0h x 只有一个解.0( )( )2.xf xg x即当时,方程有唯一解第11页/共44页22(1)(1)(3)( )2xxfxxxx0,1,( )0,( )0,1,xfxf x当

5、时在上为减函数min( )(1)1.f xf23122,2.ybxybxx令则1,0,1 ,bx 0y第12页/共44页2120,1.ybxx函数在上为增函数max1|21.xyyb11121 1bbb 依题意11 .b实数 的取值范围是，第13页/共44页22242121212 22332:( )(), ( )( ).( ):, ( );( ), ( ),;( ):( ).xxf xet exxtg xfxtg xRa bktkg xa bf x例已知函数证明 当时在 上是增函数对于给定的闭区间试说明存在实数当时在闭区间上是减函数证明第14页/共44页21( )(1).xxg xet ex（

6、）证明:由题设得2( )21xxg xete(2).xxxeeet22 2,2 2.xxeet而2,xxeet( )0.g x( )g xR故为 上的增函数.第15页/共44页2(2):,( )210,.xxktkg xetea b 分析 说明原问题即是说明 能找到实数使得当时在闭区间上成立即可2( )0(,)( )210(,).xabmeg xxa bh mmtmme e 令,则22()210()210aaabbbh eeteh eete 只须第16页/共44页22aabbteetee 即成立.max 2,2.aabbkeeee取,( )0,( ),.tkg xa bg xa b易知当时在闭

7、区间上恒成立,即在闭区间上为减函数第17页/共44页222(3)( )( )22()1.设xxF tf xtex tex221( )2()()122xxexF ttex则21( )()1.2xF tex易得( ),( )1,xxH xexH xe令则第18页/共44页( )0,0.H xx令得0,( )0;0,( )0.xH xxH x易知当时当时min0,( )(0)1.xH xH当时213()1.22xex 33,( ),( ).22x tF tf x故对任意有即第19页/共44页312120000005:( ), ( )( )1,2,( )(2)(2) ().(1)( );(2)1,(

8、).,1,1 ,()()4;(3)( )1,1,()1,(),().f xRg xf xxxg xa xxaf xxf xx xf xf xf xxf xff xxf xx 例设是定义在 上的奇函数与的图像关于对称 当时为常数求的解析式当时取得极值证明对任意不等式恒成立若是上的单调函数 且当时 有求证第20页/共44页3(1) ( )().f xxax xR2(2)( )3,fxxa由已知(1)30,fa3.a32( )3 ,( )33.f xxx fxx1,1( )3(1)(1)0,xfxxx 当时,( )11f x在，上是减函数.第21页/共44页minmax( )(1)2;( )( 1)

9、2.f xff xf 12,( 1,1),x x 对任意12maxmin()()( )( )2( 2)4.f xf xf xf x 第22页/共44页2(3)( )3,fxxa2( )1301,.f xxa若在 ，上是减函数,则在上恒成立231ax即在 ，上恒成立.2233,31xaax不存在常数 使得在 ，上恒成立.第23页/共44页2( )1301,.f xxa若在 ，上是增函数,则在上恒成立231ax即在 ，上恒成立.2233,331xaax存在常数使得在 ，上恒成立.3,( )1,.af x即当时在上是增函数第24页/共44页00(),f xx假设0000()1, ()(),f xxf

10、 f xf x若则00(),.xf x即与假设矛盾0000()1,() (),xf xf xf f x若则00(),.f xx即与假设矛盾00().xf x第25页/共44页6:( )ln(1),( )ln .(1)( );(2)0,:0( )( )2 ()()ln22f xxxg xxxf xababg ag bgba例已知函数求函数的最大值设证明max(1) ( )(0)0()f xf过程略第26页/共44页(2)( )( )( )2 ()2abF bg ag bg设( ,)(0)baa其中( )( )2 ()2abF bg bglnln2abb0,ba02abb ( )0F b( )(

11、,).F ba在上为增函数第27页/共44页( )( )0F bF a( )( )2 ()0.2abg ag bg即( )( )()ln2,(0)G bF bbaab又设( )lnlnln22abG bb则lnln()bab0( )( ,)G ba在上是减函数.第28页/共44页( )( )0G bG a( )( )2 ()()ln2.2abg ag bgba即.故原不等式成立第29页/共44页117:( )ln()(0).(1)( )( )( )( );(2)ln(3 ),ln(4 ) ,( )ln( )0,xf xea ayf xyfxf xfxxaamfxfxm例已知函数求函数的反函数及

12、的导数假设对任意不等式恒成立 求实数 的取值范围.1(1)( )ln()(ln )xfxea xa第30页/共44页( )ln().xxxefxeaea12( )ln( )0,mfxfx（ ）由得lnln()ln()ln,xxxxxxeaeaeameaee22().xxxmxxe eaeaeeae即22(), ( ), ( ).xt tatate u tv ttat令第31页/共44页3 ,4 ,( )( )mtaau tev t于是问题化为对任意不等式恒成立.22(2)()()( )()ta tatatu tta222()20(3 ,4 )()taataata22222()( )0t tta

13、tav ttt 第32页/共44页( ), ( )3 ,4 .u t v taa在上都是增函数max12( )(4 );5u tuaamin8( )(3 ).3v tvaa128128.lnln.5353maaaeam故欲使原不等式恒成立,只须即第33页/共44页1010212012212112( )( ),( ),(1)( ,).( )()()()(),1,1 .(1)(1);(2),1,1 ,()()2(2)1.nkkknnknnknnknfxfxxfxfkn n kNF xC fxC f xC fxC fxxfx xF xF xnn 例8：已知其中设写出证明对任意的恒有第34页/共44页

14、(1)( )(1),(1)1.n kkkfxnkxfnk解: 由已知推得从而有22()1(2)11,( )(1),nnkn knkxF xxnkC x 当时0,( )0,( )0,1,( ),( )1,0.xF xF xF xF x当时所以在上是增函数 又是偶函数在上是减函数第35页/共44页1212,1,1 ,()()(1)(0)x xF xF xFF 对任意的恒有0121(1)(0)(1)(1)2.nnnknnnFFCnCnCnkCC(1)()!()!kkknnnknnkCnk CCnnkCknk第36页/共44页1(1)!1 !kkknnnnnCnCCknk(1,2,1)kn121111

15、121011(1)(0)()()(21)212(2)1nnnnnnnnnnnnFFn CCCCCCCnnn .因此结论成立第37页/共44页3141219931 313220( )( , ).( ),;( ),( ),?,;,.( ):(sin)(cos )()(,)f xmxxNnm nkf xkxkfxfxf ttxR t 例例9 9：已已知知在在函函数数的的图图像像上上，以以为为切切点点的的切切线线的的倾倾斜斜角角为为求求的的值值是是否否存存在在最最小小的的正正整整数数使使得得不不等等式式对对于于恒恒成成立立 如如果果存存在在求求出出最最小小的的正正整整数数如如果果不不存存在在 请请说说明明理理由由求求证证第38页/共44页。故即依题意得解： ,31,)1 (,32, 113,4tan)1 ( , 13)( )1 (2nnfmmfmxxf,15)3()(,22, 12)( )2(2 fxfxxxf的最大值为可求得得令第39页/共44页恒成立。对于不等式使得所以存在最小的正整数则恒成立对于要使不等式3 , 11993)(2008.2008199315,3 , 11993)(xkxfkkxkxf3332233( )(sin )(cos )( sinsin )( coscos )fxf