集合与简易逻辑知识点归纳

1、知识点典型例题集合与简易逻辑集1兀素与集合的关系：例1以下关系式中正确的选项是()合用或表示；2集合中元素具有(A)(B)0确定性、无序性、互异性(C)0(D)03集合的分类：x y 3 一亠， 按兀素个数分：有限集，无限集； 按元素特征分；数集，点集。如例2丿2x 3y解集为1数集y|y-x2,表示非负实数集，点例 3 设 A4,2a 1,a2 , B 9,a 5,1 a ,集(x, y)|y=x2表示开口向上，以Al B 9，数a的值y轴为对称轴的抛物线；4集合的表示法：列举法.用来表示有限集或具有 显著规律的无限集，女口 N+=0 , 1,2, 3,；描述法字母表示法：吊用数集的付号：

2、自然数集N;正整数集N*或N ；整数集Z;有理数集 Q实数集R;子集合与集合的关系：用，=例4设Mxx2 x 20, x R , a=lg(lg10),集表示;A是B的子集记为 A B ； A 是B的真子集记为A B。那么a与M的关系是()任何一个集合是它本身的子集，(A) a=M (B)M ua(C) a Y M (D)M a记为A A ;空集是任何集合例 5 集合 A= x|x=3k-2, k Z , B= y|y=3n+1 , n Z , S=y|y=6m+1, m Z之间的关系是()的子集，记为A ；空集是任(A)S u B u A(B)S=B u A何非空集合的真子集；如果A B，同

3、时B A，那(C)S u B=A(D)SY b=a么 A = B ;如果 A B, B C,例6用适当的符号丐(、-、仕、)填空：那么A C n个兀素的子集有 nQ；3.14Q; R U R+R;2n个；n个兀素的真子集有 2n - 1x|x=2k+1, k Z x|x=2k 1, k Z。个；n个兀素的非空真子集有2n例 7 全集 U = 2 , 4 , 1 a , A = 2 , a2 a + 2 12个如果$ A1,那么a的值为交1交集 AA B=x|x A 且 x B;例 8 设集合 A= x|x Z 且-10W x< -1 , B= x|x Z ,、并集 A U B= x|x

4、A，或 x B;且 |X|W 5,那么 AUB中的兀素个数是()并补集 CuA= x|x U，且 x A ,(A)11(B)1(C)16(D)15、集合U表示全集m 4x 3补2集合运算中常用结论：例 9 A= m|Z , B= x|N,2 2 A B AI B A ;贝y An b=。A B AU B B例10集合M= y|y=x2+1, x R, N= y|y=x+1 , 痧(AUB) (u A)I (?jB); 痧(Al B) ( u A) U (?u B) card (A U B) card (A) card (B) card (Al B)x R,求 MAN。交例 11 假设 A =(

5、 xy)| y =x+1,B= y|y =x2+1,、并、补那么 a n b =例 12 设全集 u R,A X< 6,那么 Al (e,A), AU(e,A)例 13 设全集 U = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8,A = 3 , 4 , 5 B = 4 , 7 , 8,求：(Cu A)n (Cu B),(Cu A) U (Cu B),Cu(A U B), Cu (A A B).不 等 式1. 绝对值不等式的解法：|x a(a 0)的解集疋a x a,a 0 ;|x a(a 0)的解集是 x|x a或xa, a 0公式法：|f(x) g(x) f (x) g

6、(x)或f(x) g(x), f(x) g(x)g(x) f(x) g(x) (2)几何法(3)定义法(利用定义翻开绝对值)(4)两边平方2 22、一元二次不等式ax bx c 0(a0)或ax bx c 0(a.0)的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。000二次函数y ax bx c(a 0 )的图象y ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx c一元二次方 程ax bx c 0a 0的根有两相异实根X1,X2(X1 x2)有两相等实根bX1 X22a无实根2ax bx c 0(a 0)的解集x x 捲或x x2bXX2

7、aRax2 bx c 0 (a 0)的解集*x x x2注:分式、高次不等式的解法：标根法不 等 式14.不等式x ax b 0的解集是x|2 x 3 ,那么a, b15分式不等式x 30的解集为：x 716求伸一 2 "I有意义的取值围2x 1 4不 等17.解不等式：|4x-3|>2x+1式18. 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.2 4x19. 解不等式：?x 1.x 3x 2220. 方程2k+1 x +4kx+3k-2=0有两个负实根，数 k的取值围.命 题1命题分类：真命题与假命题，简 单命题与复合命题；2复合命题的形式：p且q, P或q,非p；“或、“且

8、、“非这些词叫做 逻辑联结词；不含有逻辑联结词的 命题是简单命题；由简单命题和逻 辑联结词“或、“且、“非构成的命题是复合命题。 “ p且q形式复合命题当 P与 q同为真时为真，其他情况时为假 即当q、p为真时，p且q为真； 当p、q中有一个为假时，p且q 为假。 “ p或q形式复合命题当p与 q同为假时为假，其他情况时为真 即当p、q均为假时，p或q为假； 当p、q中有一个为真时，p或q 为真； “非p形式复合命题的真假与p的真假相反即当p为真时，非p 为假；当p为假时，非p为真。例21写出命题：“假设x + y = 5那么x = 3且y = 2 的逆 命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。

9、例22:假设a b 5,那么a 2或b 3 是命题.填真、假例23命题假设ab-0，贝U a、b中至少有一个为零的逆 否命题为。例24 :用反证法证明： x、y R, x+y> 2，求 证 x、y中至少有一个不小于1。命 题3四种命题：记 假设q那么p"为原命 题，那么否命题为 假设非p那么非q， 逆命题为 假设q那么p ,逆否命题为例25c 0.设P :函数y cx在R上单调递 减.Q不等式x |x 2c | 1的 解集为R,如果P和Q 有且仅有一个正确，求 c的取值围.假设非q贝U非p。其中互为逆否的 两个命题同真假，即。E a w p甲firXx5苦酣电1 假设r测rg一

10、个命题 命题一定为 题.一 否命题一定 否命题.4.反证法是 会用反证法互連应的否命题为真, 丁真.否命题 个命题为真，那么 兰为真.原命三中学数学的重要 F证明一些代数命逹“崔 假设p剜¥它的逆 1逆命它的逆 行题逆F方法。 亍题。充 分 条 件 与 必 要 条 件充分条件与必要条件1. 定义：当假设p那么q是真命题 时，p是q的充分条件，q是p的 必要条件；当 假设p那么q的逆命题 为真时，q是p的充分条件，p是 q的必要条件；当假设p那么q，假设 q那么p均为真时，称p是q的充要 条件；2. 在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四

11、种 情况说明：充分不必要条件，必要 不充分条件，充分且必要条件， 既 不充分又不必要条件。从集合角度 看，假设记满足条件p的所有对象组 成集合A，满足条件q的所有对象 组成集合q，那么当A B时，p 是q的充分条件；B A时，p是 q的充分条件：A=B时，p是q的 充要条件；注：当p和q互为充要时，表达 了命题等价转换的思想。小围推出大围；大围推不出小 围.例 26: x 5x 5或 x 2.填，？，例27:条件甲：X 1且y2；条件乙：X y 3,那么乙是甲的条件.例 28 “ a是 OS a OOS®A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件例29p:方程x

12、2+ ax+ b=0有且仅有整数解，q： a，b是整数，那么p是q的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案见下一页数学根底知识与典型例题第一章集合与简易逻辑答案 例1选A；例2填(2 , 1)注:方程组解的集合应是点集.例 3 解: AI B 9 , 9 A假设 2a 1 9,那么 a 5,此时 A 4,9,25 , B 9,0,4,2AI B 9, 4,与矛盾，舍去假设a 9 ,贝U a 3当a 3时,A 4,5,9 ,B 2, 2,9 .B中有两个元素均为2,与集合中元素的互异性矛盾，应舍去当a3时,A 4, 7,9 ,B 9, 8,4 ,符合题意综上所述,a

13、 3.点评此题考查集合元素根本特征 一 定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。例4C例5C例6，u ,u，例7填2例8C例9例 10解： M= y|y=x2+1 , x R= yy> 1 , N=y| y=x+1 , x R=y|y R /. M n N=M=y|y > 1 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，此题中的M, N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x), x A应看成是函数尸f(x)的值域，通

14、过求函数值域化简集合。此集合与集合 (x, y) |y=x2+1, x R是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线 y=x2+1上的所有点，属于图形畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如y|y > 1= x|x> 1。例11填 注：点集与数集的交集是例12埴 ,R例 13 解：T Cu A = 1 , 2, 6, 7, 8 ,C u B = 1 , 2, 3, 5, 6,(CuA) n (C B) = 1 , 2, 6 ,(Cu A) U (Cu B) = 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8,解：原不等式等价于x 1或(x 3) (x 1)11,解集为(),的解

15、集为x|_<x<3，的解集为x|x 3, 原不等式的解集为x|x> .2-方法2:数形结合：从形的方面考虑，不等式1于1的点.原不等式的解集为x|x> .21 x 3或x 3(x 3) (x 1) 1(x 3)|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到，解的例 19 答:例 20 解:x|x < 0 或 1<x<2要原方程有两个负实根，必须2(k 1) 00x x2 0魁0kk21)123和-1两点的距离之差小1或? k实数k的取值围是k|-2<k<-1 或3逆命题：x + yx例21解：否命题：假设 逆否命题：假设 例22答滇解：逆否：

16、k 24k2(百)3k 202(k 1)卡2或一 <k<1.3(真)1k 10或k1-或k13假设 x = 3 且 y = 2 贝U x + y = 55贝U x 3且y 2 (真)3 或 y2 贝 U x + y 5 (假) a = 2且b = 3，那么a+b = 5，成立，所以此命题为真A U B = 3,4,5,7, 8,An b = 4,.Cu (A U B) = 1,2,6 ,C u (A n B) = 1,2,3,5,6,7,8例 14a 5, b6 ;例15原不等式的解集是x| 7 x3例 16 x R | 3 W x5或3x < 32 2例17分析:>

17、3x莎4或x 2关键是去掉绝对值方法1:原不等式等价于4x 3?0或4x 3 0，即4x 3 2x 1(4x 3) 2x 131 14 , x>2或x< ，原不等式的解集为x| x>2或x< .方法2：(整体换元转化1333例23答假设a、b都不为0，那么ab0 例24解：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质 x+y<2与x+y>2矛盾， 假设不成立 x、y中至少有一个不小于 1注反证法的理论依据是：欲证假设p那么q为真，先证 假设p那么非q为假，因在条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立) 为真。例25解：不等式x函数

18、y cx在R上单调递减 0|x 2c| 1的解集为R函数y2x 2c, x > 2c, 2c|2c,x 2c,函数y不等式|x x 2c | 1的解集为 R2c，所以当 假设p那么非q为假时，假设p那么q一定1.|x法)分析：把右边看成常数c ,就同ax b c(c 0) 一样T |4x-3|>2x+14x-3>2x+1或当x1时，x30,x 10 - (x 3) (x 1)1 4<1x当1W x 3时.(x 3)(x11)1 x -,1 x|- x 3当x > 3时 (x3)(x 1)1-4<1x R x| x > 3综上，原不等式的解集为x|x丄2

19、114x-3<-(2x+1)x>2或x< ，原不等式的解集为x| x>2或x< .33例18分析：关键是去掉绝对值.方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)也可以这样写:2c|在R上恒大于1.| x 2c |在R上的最小值为2c.1c 7如果P正确，且Q不正确，1那么0 c <.如果 P不正确，且Q正确2例 26 答：x 5 x 5或 x 2 .例27答既不充分也不必要解:t假设x + y =3,那么x = 1或y = 2 "是假命题，其逆命题也不成立.逆否命题:假设x 1或y故x y 3是x 1或y例28选B例29选A，那么c1.所以c的取

20、值范围为(0,-21,).1、当别人说你“有缺陷2,那么x y 3 是假命题，否命题也不成立.2的既不充分也不必要条件.时，你就“疯狂地战胜它吧!疯狂就是：“Practice while others are complaining. 当别人抱怨时你练习。Believe while others are doubting.当别人疑惑时你坚信。从一个人的“反弹爆发力上，我最佩服乒乓球双料冠军邓亚萍。她因为身高只有1米5,曾经被省队和国家队都拒绝过，她父亲就对她说： “你个 子矮，就必须把球打得快，这样才有进攻性；你个子矮，别人跑一步，你就要跑两步， 所以你一定要跑得快。因为她要克服个子矮的弱点，

21、所以在训练时，她比任何人都要付出多两倍的努力， 每天要换几次衣服，晚上趁别人睡下时，还要再悄悄躲进训练房苦练到晕倒为止。邓亚萍说：“我打球打赢了还不一定能进国家队， 更别说输了。所以我打球很凶狠， 那是逼出来的。假设你感觉自己有某方面缺陷弱点时， 你就疯狂地战胜它吧，像邓亚萍一样，当别 人休息时你练习；当别人疑惑时你坚信；当别人放弃时你坚持苦练 短处，把短处变得更快、把短处变得更狠，从而把短处变成长处！邓亚萍说：“我不比别人聪明，但我能管住自己。我从小就形成了一旦设定目标， 就绝不轻易放弃的习惯。也许，这就是我能赢得成功的原因。当你看到这里时，也请怒吼一声：“我要管住自己的软弱！ 一旦设定目标

22、一一就绝 不放弃！( Never Give Up) 成功就是坚持!文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复,只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件 上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档 重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文 档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已 有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅 读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功， 但与

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