函数新定义问题训练

1、函数中的定义型问题训练、选择题1 .定义方程f(x)=fx)的实数根X0叫做函数f(x)的新不动点”，如果函数g(x)=1x2(xC(0,+oo)h(x)=2sinx+2cosx,x(0,兀)(j)(x)=ex2x的新不动点”分别为a、3、丫，那么a、3、丫的大小关系是()A.a3也.gf3C.FaQ.3a/xB.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)3 .定义两个实数间的一种新运算*x*y=lg(10x+10y),x,yCR.对于任意实数a,b,c,给出如下结论：(a*b)*c=a*(b*c);a*b=b*a;(a*b)+c=(a+c)*(b+c).其中正确结论的

2、个数是()A.0B.1C.2D.34 .设函数y=f(x)在(8,+oo)内有定义，对于给定的正数k,定义函数：fxfxk一fk(x)=，取函数f(x)=2xe,若对任意的xe(8,+8),恒有kfxkfk(x)=f(x卜则()A.k的最大值为2B.k的最小值为2C.k的最大值为1D.k的最小值为15 .对于区间a,b上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对于区间a,b中的任意实数x均有|f(x)g(x)|,1那么称函数f(x)与g(x)在区间a,b上是密切函数，a,b称为密切区间.若m(x)=x23x+4与n(x)=2x3在某个区间上是密切函数”，则它的一个密切区间可能是()A.3,4.

3、B.2,4C.2,3D.1,4二、填空题6.若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点p(xo,y)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处切过”曲线C.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).3 直线l：y=0在点P(0,0)处切过曲线C：y=x;3 直线l：x=-1在点P(1,0)处切过曲线C：y=(x+1); 直线l:y=x在点P(0,0)处切过曲线C:y=sinx; 直线l:y=x在点P(0,0)处切过曲线C:y=tanx; 直线l:y=x1在点P(1,0)处切过曲线C:y=lnx.7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即fx)存在，且导

4、函数fx)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记fx)=(fx)若fx)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是.9 .给定区间D,对于函数f(x),g(x)及任意的xi,xzeD(其中x1x2),若不等式f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立,则称函数f(x)相对于函数g(x)在区间D上是渐先函数:已知函数f(x)=ax2+ax相对于函数g(x)=2x3在区间a,a+2上是渐先函数，则实数a的取值范围是.10 .函数f(x)的定义域为D,对D内的任意xi、x2,当Xic.称f(x)为平底型”函数.判断f1(x)=|x1|+|x2|,f2(x)=x+|x2|是否是平底型”函数？

5、简要说明理由.12 .已知实数kCR,且kwQe为自然对数的底数，函数f(x)=r,g(x)=f(x)-x.e1(1)如果函数g(x疮R上为减函数，求k的取值范围；(2)如果kC(0,4,求证：方程g(x)=0有且只有一个根x=xo；且当xx0时，有xf(f(x)成立；定义：对于闭区间s,t称差值ts为区间s,t的长度；对于函数g(x),如果对任意xi、X2s,t土D(D为函数g(x)的定义域)，记h=|g(x2)-g(x1)|,h的最大值称为函数g(x)在区间s,t上的身高问：如果kC(0,4,函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上身高“最矮”？213 .a是实数，函数f(x)=ax+(a+1

6、)x2lnx.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=2时，过原点O作曲线y=f(x)的切线，求切点的横坐标；(3)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(%,y)处的切线方程为l：y=h(x),当x次0时，若g(X)-h(X)0),若对于任意X0C(3,4),总存在正数a,使得函数g(x)在x=x0处存在长度为ax的对称点”，求b的取值范围.15 .已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx.当a=1时，求函数f(x)的极小值;(2)当a=1时，过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，设切点为P(m,n),求实数m的值；gx-hx_(3)设te义在D上的函数y=g(x)在点P

7、(x0,y)处的切线方程为l:y=h(x),当x次0时，右0x-%在D内恒成立，则称P为函数y=g(x)的转点”.当a=8时，试问函数y=f(x)是否存在转点”？若存在，请求出转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.16 .若斜率为k的两条平行直线l,m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l,m之间(也可在直线l,m上)，则把l,m间的距离称为曲线C在k方向上的宽度”，记为d(k).若曲线C:y=2x2-1(-Kx2,若曲线C：y=x3-x(-1xn+1；对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,b,使得不等式h(x)kx+b和g(x)铉+b都成立，则称直线

8、y=kx+b是函数h(x)与g(x)的分界线设函数h(x)=1x,g(x)=ex1f(x),试问函2数h(x)与g(x)是否存在分界线”？若存在，求出常数k,b的值；若不存在，说明理由.18 .对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a+x)f(a-x)=b对定义域中白每一个x都成立，则称函数f(x)是a,b)型函数:(1)判断函数f(x)=4x是否为a,b)型函数”，并说明理由；(2)已知函数g(x)是“(1理函数”，当xC0,2时，都有1可(x)w戒立，且当xC0,1时，g(x)=x2-m(x-1)+1(m0),试求m的取值范围.函数中的定义型问题训练答案解析1.【解析】由定

9、义，令gx)=x=-x2,得a=2;对于h(x)=sinx+2cosx,x(0,兀)令hx)=cosx2sinx23x.xx.=sinx+2cosx,得(一,兀)对于(f)(x)=-e2x,令4x)=e-2=-e-2x,得产1.故fg氏4选C.2 .【解析】由f(x)=f(2ax)知f(x)的图象关于x=a对称，且awQA,C中两函数图象无对称轴，B中函数图象对称轴只有x=0,而D中当a=kTt-1(kCZ)时，x=a都是y=cos(x+1)的图象的对称轴.故选D3 .【解析】因为a*b=lg(10a+10b),故(a*b)*c=lg(10a+10b)*c=lg(10lg(10a+10b)+1

10、0c)=lg(10a+10b+10c),同理a*(b*c)=a*(lg(10b+10c)=lg(10a+10lg(10b+10c)=lg(10a+10b+10c),故“脸算满足结合律；据定义易知运算符合交换律；(a*b)+c=lg(10a+10b)+c=lg(10a+10b)+lg10c=lg(10a+10b)10c=lg(10a+c+10b+c)=(a+c)*(b+c),故结论成立.综上可知正确.4 .【解析】对任意xC(00,+oo),恒有fk(x)=f(x)成立，即f(x)爽恒成立，:fx)=ex1当x0时，fx)0时，fx)0,f(x)在(00,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减

11、，从而f(x)在x=0时取到最大值f(0)=1,.f(x)恒成立，.k!故选D.5 .【解析】|m(x)n(x)|?|x2-5x+7|1,解此绝对值不等式，得2aw做在区间2,3上|m(x)n(x)|的值域为0,1,|m(x)n(x)|w施2,3上恒成立，故选C.6 .【解析】中由y=x3得y=3x2.又当x=0时，切线斜率为0,故函数y=x3在点(0,0)处的切线方程为y=0.结合图象知正确.中由y=(x+1)3得y=3(x+1)2.又当x=1时，切线斜率为0,故函数y=(x+1)3在点(1,0)处的切线方程为y=0,故不正确.中由y=sinx得y=cosx.又当x=0时，切线斜率为1,故函

12、数y=sinx在点(0,0)处的切线方程为y=x.结合图象知正确.1中由y=tanx得y=一1.又当x=0时，切线斜率为1,cosx故函数y=tanx在点(0,0)处的切线方程为y=x结合图象知正确.中由y=lnx得y=L又当x=1时，切线斜率为1,x故函数y=lnx在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,结合图象可知不正确.7 .【答案】【解析】对于，fx)=(sinx+cosx),x0,|,2对于，x)=-L，在xe0,ix22,fx)0;对于，x)=-6x,在xe10,712，fx)0恒成立，所以f(x)=xex不是凸函数.【解析】(2布，+8)由已知得h)+4-x=3x+b,所以h(x

13、)=6x+2b4-x2.h(x);g(x)恒成立,即6x+2b3x+b&x2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y=3x+b及半圆y=j4-x2(如图所示),可得旦2,即b2/10,故答案为(2而，+8).1074TuJ+后【解析】设aa2g(xi)g(x2)恒成立，即22ax+ax1-(ax2+ax2);2x1-3-(2x23)恒成立，即a(x1一x2)(x+x2+1)2(x1一x2).因为x1x2,故不等式转化为a(x+x2+1)2恒成立.因为a%x1Q+2,所以2a+1x+x2+1a+5,117故当a0时，不等式恒成立转化为a(2a+1)2即2a2+a-20,解得a;4-5-、41当a2即2

14、a2+5a-2Q解得a4所以a的取值范围是|10.【答案】1【解析】对任意xC0,3,有f(x)1x,.(1)x1323对任意x0,1,有f(1x)+f(x)=1,.f(2)+f(1)=1.33f(x)在0,i)上为非减函数，可)(2)=1I).可1)，.f(1)=1,f(2)=1.333323232对任意xCJ,I,有f(；)气x)气;)，.f(x)=；(：虫w),33332331352.f(3)=f(5)=1,.f(B)+f(5)=1.37937927911.【解析】f1(x)=|x1|+|x2|是平底型”函数，存在区间1,2使得xC1,2时，f(x)=1,当x2时，f(x)1恒成立；f2

15、(x)=x+|x2|不是平底型”函数，不存在a,b?R使得任取xCa,b,都有f(x)=常数.12.【解析】(1).g(x)=f(x卜x=kex-x在R上为减函数,kexex1-kexexkexx2ex1(2)由(1)知:ke4g(4)=右2ex1ex121WO恒成立,=ex+ex+2之2芯+2=4,当且仅当kC(0,4时，g(x)在R上为减函数，又xxe=exx2ex1即kg(0)=在k0=0,2恒成立.x2ex1的最小值为4,k4.ke4-4e4-4k-4e4-44=*，k,4(k-4)e440,g(4)。时,有g(x)g%)=0,即f(x)-xf(x),又f(x)=f(x)=kex;x为

16、增函数，xf(f(x)设x1,x2亡I2,tL且XiX2,由(1)知，kw0,4时，g(x旅R上为减函数,h=gd)-g(xj=g(x1)-g(x2)g(t-2)-g(t)ft-2-t-2-|Jt-t=ft-2-ft2t2.tkeket-2te1e12=kt-2teet-2t.0,当且仅当et=不，即t=1时，*n=2kee1函数g(x网长度为2的闭区间-1,1上“身高”最“矮”.2.2xx-113.【答案】(1)当a=1时，fx)=f(x)=(x0),1 5,-15由fx)0得：x；由fx)V0得：0vxv-.2 2所以，f(x)的单调增区间为(一1jJ5,+8),单调减区间为(0,1；J5

17、).(2)当a=2时，设切点为M(m,n).fx)=4x+32(x0),所以，切线的斜率k=4m+3工.xm又直线OM的斜率为_22m3m-2lnmm2所以，4m+3=mm=n-m-,即m2+lnm-1=0,mm又函数y=m2+lnm1在(0,+)上递增，且m=1是一根，所以是唯一根,所以，切点横坐标为1.1一(3)a=1时，由函数y=f(x)在其图象上一点P(R,y0)处的切线方程为:y=(xo+)(xxo)x02Hxo-2lnx0.24x0441,32、，x12,3ci令h(x)=(一一xoH)(xxo)xoTx02lnxo,24x044设F(x)=f(x)-h(x),则F(x0)=0.且

18、Fx)=fx)hx)=1x+32(1x0+-)24x24x02(xx0)(U元，、，4、(x-xo)(x一)x04,4.,Fx-当0%F(xo)=0,所以，0；x0x0x-Xo4_4FX当xo2时，一vxo,F(x)在(一,xo)上单倜递增，从而有F(x)0.xoxox-xo因此，y=f(x)在(0,2)和(2,+8)上不存在巧点”.x222时，F(x)vF(2)=0,Fx-0x-2FxF(2)=0,x-2因此，点(2,f(2)为巧点”，其横坐标为2.14.【解析】解：(1)由f(1+a)=f(1-a),得(1+a)33(1+a)2+2(1+a)-1=(1-a)33(1a)2+2(1-a)-1

19、.即a(a+1)(a1)=0.-a0,a=1.(2)令g(x)=c,得x+=c,即x2cx+b=0.(*)x由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为x0.-.c0,b0,c2-4b0,c=x。.2则0vbvx2对一切x0C(3,4)均成立.b的取值范围是(0,9.一一，115.(1)当a=1时,fx)=2x3+=x2x2-3x+1=(x-1X2x-1)一一1.当0x0；当一x1时,2fx)1时，fx)0.所以当x=1时,f(x)取极小值一2.(2)fx)=2x1-1(x0),所以切线的斜率x，八,1k=2m1m21m-m7nm整理得m2+lnm1=0.显然m=1是这个方程的解.又因

20、为y=x2+1nx1在(0,+8)上是增函数，所以方程x2+1nx1=0有唯一实数解，故m=1.，-:，8”2x0(3)当a=8时，函数y=f(x)在其图像上一点P(x0,f(x。)处的切线万程为h(x)=2%十一10(x-x0)+%10x0+81nx0.设F(x)=f(x)h(x),则F(x0)=0,则当xe,x0i时，F(X)F(X0)=0,此时0,所以y=f(x)在(0,2)和(2,+8)上不存在转点”.88一)匕Fx)=fx)hx)=.2x+10-2x0xJ,82+10=(xx0)xx0x0J44右0x02,F(x)在x0,一上单倜递减,所以当x4%,一x0)时，F(x)F(%)=0,

21、此时Sx一小2,则F(x)在一,x0上单调递减,x0时，F(x)F(r)=0；当xX0时，XF(x)F(X0)=0,所以点P(X0,f(X0)为转点”.故函数y=f(x)存在转点”，且2是转点”的横坐标.16.【解析】(1)y=2x2-1(-1x2的端点为A(1,1),B(2,7),y=4x,由y=-1得到切点为1-1,_Z.当k=1时，与曲线C相切的直线只有一条.48结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线C:y=2x21(1W2相切，另一条直线过曲线的端点B(2,7).平行的两条直线分别为：x+y9=0和x+y+=0.8由两条平行线间的距离公式可得，d(-1)=81点.16(2)曲线Cy=x

22、3-x(-1x11时，由k=3/-111,得X。-2或X02.因为Cy=x3-x(-1x2)所以切点P不在曲3k-6线C上，则曲线C上的所有点都在I1,l2之间，所以d(k)=/;1k2得址=j13k.切线方程为卜在y轴上的截距分别为片、*k)3,当2k11时，由23%111,得2x01,或1cx2.因为C：y=x3-x(-1x2)所以有且只有一条斜率为k的直线与曲线C相切.由k=3x；-1,八2,3_2.33.I3:y=(3x0-1Xx-X0)+x0-X0,即y=kx-(1+kf.设l1、I2、9b2、b3,则b=k,b2=62k.因为2k11,所以bb2.因为b3233b2-b3=62k+

23、31+ky,令t=1+k2k11,则k=t13t12.9,2、3323:31所以b2-b3=12-2t+8.设g(t)=12-2t+8,因为g(t)=t2-2,3t12,99310所以g(t)0在(3,12)上恒成立，所以b2b3,则曲线上的所有点都在11、13之间.39k2x31k2所以d(k)=IL9Jk2综上得d(k)=r3k-6,(k211)V1+k2_39k2.31k29,1k22:：k：二11117.解析(1)f(x)=x1lnx(x;0),fx)=1xx-1当xC(0,1)时,fx)0,f(x)递增.，f(x)的最小值为f(1)=0.(2)证明：由(1)知当X0时，恒有f(X)即X-1lKL故ex1sx,从而有ex牙+1,当且仅当x=0时取等号.分别令工可得e11+1=2,n1e21e3111：.134相乘可得e23n234231m3即e23n-22令F(x)=h(x)-g(x)