第8章数字电路基础

1、制作：王林炜一、数字电路概述 在时间上和幅度上离散的信号称为数字信号数字信号，处理数字信号的电路称为数字电路。所谓处理数字信号，就是传输传输、控制控制或变换变换数字信号。 数字信号通常只有高电平高电平和低电平低电平两种状态，这两种状态在二进制中可用 1 1 和 0 0 来表示。 数字电路研究的主要对象是电路单元系统的输入和输出输入和输出状态之间的逻辑关系状态之间的逻辑关系，即电路的逻辑功能。分析这些逻辑关系，使用的基本数学工具是逻辑代数逻辑代数，描述电路逻辑功能的主要方法有：真值表真值表、逻辑函数式逻辑函数式、逻辑图逻辑图和卡诺图卡诺图。一、数字电路概述 逻辑代数逻辑代数 (英国数学家Geor

2、ge Boole首先提出的进行逻辑运算的数学方法，又称布尔代数)是分析和设计数字电路的基本数学工具，它的基本和常用运算也是数字电路要实现的重要操作，本节主要讲解逻辑代数的基本概念基本概念、公式公式和定理定理，逻辑函数的公式化简法公式化简法和卡诺图化简法卡诺图化简法，几种常用逻辑函数的表示方法表示方法及其相互转换相互转换。一、数字电路概述 逻辑代数和普通代数相比，虽然也有变量，但情况要简单的多，在二值逻辑中，变量取值只有 1 和 0 ，且此处 1 和 0 并不表示数值大小，而是表示两种不同的逻辑状态。例如，用 1 和 0 表示一个事件的是与非、真与假，电压的高与低，电流的有与无，开关的通与断等等

3、。在逻辑代数中有些公式与定理与普通代数并无区别，有些则完全不同。 二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码1、数制数制 多位数码中每一位的构成方法以及计数进位的规则称为数制数制。常用的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。 十进制十进制 (Decimal) 十进制是我们生活实践中最常使用的数制，十进制数的每一位用 0 9 十个数码十个数码来表示，其计数基数是计数基数是10，大于 9 的数需用多位数表示，其中低位和相邻高位间是逢十进一逢十进一，故称十进制。二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码1、数制数制 十进制十进制 (Decimal)多位十

4、进制数中的数码在不同位置所代表的数值是不一样的 (423.25)10 = 4102 + 2101 + 3100 + 210-1 + 510-2任意一个十进制数均可以表示为iiKD10)(10其中 Ki 是第 i 位的系数，它可以是 0 9 十个数码中的任何一个。若整数部分的位数是n，小数部分的位数是m，则i包含从n1到0的所有正整数和从1到m的所有负整数。式中10i 称为十进制第i位的“权权”。显然一个数每一位的含意不仅取决于该位数码本身每一位的含意不仅取决于该位数码本身, 还取决于该位的权还取决于该位的权。二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码1、数制数制 十进制十

5、进制 (Decimal) 若用N代替上式中的10，就得到任意进制(N进制)数展开式的普遍形式。iiKD10)(10iiNNKD)(其中 i 的取值与前述的规定相同二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码1、数制数制 二进制二进制 (Binary) 在数字电路中采用的数制是二进制。二进制数的每一位仅有0和和1两个数码两个数码来表示，计数基数是计数基数是2，计数规律是“逢逢二二进一进一”，即 1 + 1 = 10 (读做“壹零壹零”)。任何一个二进制数均可展开为iiKD2)(2将展开后的数加起来就得到与该二进制数等值的十进制数, 即 (1011.11)2 = (11.75)

6、10例如：例如：(1011.11)2=123 + 022 +121 +120 +12-1 +12-2二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码1、数制数制 八进制八进制 (Octal) 在八进制数中，每一位用 0 7 八个数码八个数码表示，计数基数计数基数是是 8，计数规律是“逢八进一逢八进一”，任何一个八进制数均可展开为iiKD8)(8例如：例如： (37.41)8 = 381 + 780 + 48-1 + 18-2 将展开后的数加起来就得到与该八进制数等值的十进制数, 即 (37.41)8 = (31.515625)10二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和

7、代码、数制和代码1、数制数制 十六进制十六进制 (Hexadecimal) 在十六进制数中，每一位可用 0 9以及以及A、B、C、D、E、F共共16个数码表示个数码表示，其中A、B、C、D、E、F 6个数码依次表示1015。计数基数是计数基数是16，计数规律是“逢十六进位逢十六进位”，即(4)16+(C)16= (10)16任何一个十六进制数均可展开为iiKD16)(16例如：例如： (2A .7F)16 = 2161 + A160 + 716-1 + F16-2 (2A.7F)16 = (42.44140625)10 目前在微型计算机中普遍采用 8位、16位和32位二进制数并行运算，而 8位

8、、 16位和32位二进制数可以用 2位、4位和 8位十六进制数来表示，所以用十六进制编码写程序十分方便。且十六进制数和二进制数之间的转换非常简单，这使得十六进制的应用更为广泛。二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码1、数制数制 十六进制十六进制 (Hexadecimal)十进制十进制二进制二进制八进制八进制十六进制十六进制0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E

9、15111117F不同数制对照表不同数制对照表二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 十进制数十进制数转换成转换成二进制数二进制数 一个十进制数一般包括整数和小数两部分，需将整数部分和小数部分分别进行转换，再将转换结果排列在一起就得到完整的转换结果。 整数部分的转换方法整数部分的转换方法是：“除除2取余法取余法” 将整数部分连续除以2直至商为0，每次的余数即为二进制数码，最初得到的为整数的最低有效系数K0，最后得到的为整数的最高有效系数Kn-1。二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 十进制

10、数十进制数转换成转换成二进制数二进制数小数部分的转换方法小数部分的转换方法是：“乘乘2取整法取整法” 十进制小数转换成二进制小数采用“乘2取整，顺序排列”法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 十进制数十进制数转换成转换成二进制数二进制数001111102222)

11、(kkkkDnnnn 01211)22(2kkkknnnn mmkkkkD 2222)(33221110)222()(212312110 mmkkkkD (23.125)10 = (10111.001)2例如，将(23.125)10转换成二进制数二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 十进制数十进制数转换成转换成二进制数二进制数二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 二进制数二进制数与与八进制数八进制数之间的转换之间的转换a. 二进制数转换成八进制数 将二进制数转换成八进制数要分别对整数和小

12、数进行转换。整数部分的转换整数部分的转换从最低位起，每3位分为一组(最后不足3位的用0补足)，每组用1位相应的八进制数码替代；小数部分小数部分的转换的转换从小数点后第一位起，每3位分为一组(最后不足3位的用0补足)，将每组二进制数用相应的八进制数码替代即可。例如: 二进制： 1110101100.10110011 八进制： 1 6 5 4. 5 4 6000二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 二进制数二进制数与与八进制数八进制数之间的转换之间的转换b. 八进制数转换成二进制数 八进制数转换成二进制数，只要将每位八进制数用相应3位的二进制数

13、来表示即可。例如: (652.31)8 = (110101010.011001)2二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换 二进制数二进制数与与十六进制数十六进制数之间的转换之间的转换a. 二进制数转换成十六进制数 将二进制数转换成十六进制数也要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换整数部分转换从最低位起，每4位分为一组(最后不足4位的用0补足)，每组用1位相应的16进制数码替代；小数部分小数部分转换转换从小数点后第一位起，每4位分为一组(最后不足4位的用0补足)，将每组二进制数用相应的十六进制数码替代即可。例如: 二进制 ： 1111011.

14、1110101 十六进制： 7 B. E A00二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码2、数制的、数制的转换转换b. 十六进制数转换成二进制数 十六进制数转换成二进制数，只要将每位十六进制数用相应4位的二进制数来表示即可。例如: (2A.7D)16 = (00101010.01111101)2 二进制数二进制数与与十六进制数十六进制数之间的转换之间的转换3、二进制代码二进制代码 用二进制数表示文字、符号等信息的过程叫做编码编码，进行编码之后的二进制数称为二进制代码二进制代码。 若对 N 项信息进行编码，则需要使用的二进制代码的位数 n 应满足以下关系： 2nN 十进制

15、数 0 9十个数码的二进制编码BCD码码 ( BCD 是Binary Coded Decimal code的缩写)， BCD码有两类：有权BCD码：8421码、2421码、5421码、 无权BCD码：余3码、格雷码、余3循环码、二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码 8421码码 8421码是取4位二进制数前10种码组00001001来表示 09这10个十进制数码，其余 6 种组码为禁用码。可以看出这种编码中的每一种代码的 4位二进制数，其位权依次是8、4、2、1，且每个代码的十进制数值，恰好就是它所表示的十进制数码。十进十进制数制数8421码码B3B2B1B0012

16、34567890000000011000011110000110011000101010101权权84213、二进制代码二进制代码二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码 余余3码码 余3码是在 8421码基础上，每一个 8421代码加上0011，即每一个余3码的4位二进制数的十进制数值要比它编码对应的十进制数码多余3，故称余3码。从编码表中可以看出 0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的码组互为反码，即余余3码具码具有互补性有互补性。十进十进制数制数余余3码码B3B2B1B00123456789000001111101111000011001100110101010

17、10103、二进制代码二进制代码二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码 格雷码格雷码十进制数十进制数格雷码格雷码十进制数十进制数格雷码格雷码00000811001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010114100170100151000 格雷码不仅相邻两个代码只有一位不同，且首尾两个代码也仅有一位不同。此外，格雷码还具有反射相邻性，即以中间为对称的两个代码(1和14、2和13等)仅有一位不同。 格雷码中每1位代码从上到下的排列顺序都以固定的周期循环，其中右起第1位的循环周期是0110，第2位的

18、循环周期是00111100，第3位的循环周期是0000111111110000，等等。3、二进制代码二进制代码二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码十进制十进制数码数码 8421码码2421码码A2421码码B4221码码5421码码余余3码码格雷格雷码码余余3循循环码环码000000000000000000000001100000010100010001000100010001010000010110200100010001000100010010100110111300110011001100110011011000100101401000100010001100

19、100011101100100501011011010101111000100001111100601101100011011001001100101011101701111101011111011010101001001111810001110111011101011101111001110910011111111111111100110011011010几种几种BCD码码3、二进制代码二进制代码二、逻辑代数基础二、逻辑代数基础(一一)、数制和代码、数制和代码十进制十进制数值数值二进二进制数制数8421码码2421码码A2421码码B4221码码5421码码余余3码码格雷码格雷码余余3循循环

20、码环码0000000000010001111111200102222230300113333302401004444174501015526360110664341701117754528100085591001966101010779111011588121100669985131101779614111088881511119997 ASCII码(America Standard Code for Information Interchange,美国信息交换标准代码)由美国国家标准化协会(ANSI)制定的一种信息代码，广泛地应用于计算机和通讯领域。ASCII码已由国际标准化组织(ISO)认

21、定为国际通用的标准代码。早期的ASCII码采用7位二进制代码对字符进行编码。它包括32个通用控制字符, 10个阿拉伯数字，52个英文大、小字母，34个专用符号共128个。7位ASCII代码在最高位添加一个“0”组成 8位代码，正好占一个字节，在存储和传输信息中，最高位常作为奇偶校验位使用。扩展ASCII码，即第八位不再视为校验位而是当作编码位使用。扩展 ASCII码有256个。ASCII码是目前各计算机系统中使用最普遍也最广泛的英文标准码，相对于ASCII 码，中文系统使用最广泛的内码则为Big-5码。 * * ASCII码码 在逻辑代数中，也用英文字母表示变量，叫做逻辑变逻辑变量量，其取值十

22、分简单，在二值逻辑中，逻辑变量取值不是1就是0，没有第三种可能。这里的1和0没有数值大小的含义，所表示的是事物互相对立而又联系着的两个方面，即两种状态。 一、逻辑变量与逻辑函数 数字电路的输出量与输入量之间具有一定的逻辑关系。即输入逻辑变量A、B、和输出逻辑变量Y之间是一种函数关系，称为逻辑函数逻辑函数，记为 ),( BAFY 二、基本逻辑关系 当决定某一事件的各个条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系，称与与逻辑逻辑。 与与逻辑逻辑 当决定某一事件的各个条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系，称为或或逻辑逻辑。 或或逻辑逻辑 某一事件的发生取决于某个条件的否定，即该条件

23、具备了，事件便不发生，此条件不具备时，该事件一定发生。这样的因果关系，称为非非逻辑逻辑。 非非逻辑逻辑 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算 与与运算运算 1 1、基本逻辑运算、基本逻辑运算ABY000010100111BAY真真值值表表矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算1 1、基本逻辑运算、基本逻辑运算 或或运算运算 ABY000011101111BAY矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算 非非运算运算 AY0110AY 矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号1 1、基本逻辑运算、基本逻辑运算 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算2 2、复合逻辑运算、复合逻

24、辑运算 与非与非运算运算 ABY001011101110BAY矩形逻辑符号与与运算和运算和非非运算运算组成的复合运算组成的复合运算特定外形形逻辑符号 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算2 2、复合逻辑运算、复合逻辑运算 或非或非运算运算 ABY001010100110BAY或或运算和运算和非非运算运算组成的复合运算组成的复合运算矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算2 2、复合逻辑运算、复合逻辑运算 与或非与或非运算运算 与与运算和运算和或非或非运算运算组成的复合运算组成的复合运算CDABYABCDY0000100011001010011001001010110110101

25、1101000110011101011011011000110101110011110矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算2 2、复合逻辑运算、复合逻辑运算 异或异或运算运算 ABY000011101110 异或运算的特点由真值表可以看出：当两个输入逻辑变量A、B取值相异时，输出函数Y为1；当两个输入逻辑变量A、B取值相同时，输出函数Y为0。矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号BABABAY 三、基本逻辑运算和复合逻辑运算2 2、复合逻辑运算、复合逻辑运算 同或同或运算运算 ABY001010100111 异或运算的特点由真值表可以看出：当两个输入逻辑变量A、B取值相异时，

26、输出函数Y为0；当两个输入逻辑变量A、B取值相同时，输出函数Y为1。矩形逻辑符号特定外形形逻辑符号BABAABY 逻辑真值表逻辑真值表(简称真值表)、逻辑函数表达式逻辑函数表达式、逻辑图逻辑图和卡诺图卡诺图是逻辑函数的四种表示方法。 四、逻辑函数的表示方法 经过变量设定和状态赋值后，便可得到反映条件变量与结果变量之间逻辑关系的数学表达形式真值表真值表。即将条件变量的各种可能取值和相应的结果取值(函数值)，以表格形式全部列出来表示变量与函数之间的关系。1、真值表真值表 用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之间的关系组合表达式，称为逻辑代数式逻辑代数式，又称为函数表达式函数表达式。 四、逻辑函数的表

27、示方法 根据真值表可以写出表达式。方法方法是：首先找出函数值Y=1Y=1的变量组合。其次在找到的变量组合中，若变量值为1 1,则写变量本身；为0则写其反变量；于是相应于函数值为1 1的一个变量组合可以写成一个乘积项。最后将得到的所有乘积项相加就得到与真值表相应的逻辑函数表达式。2、逻辑函数表达式逻辑函数表达式例：论文评审表决输 入输 出ABCY00000010010001101000101111011111 四、逻辑函数的表示方法ABCCABCBAY“与或与或标准型标准型”表达式2、逻辑函数表达式逻辑函数表达式 逻辑图逻辑图就是用逻辑符号及连线表示逻辑函数关系而构成的图形。例：ABCCABCB

28、AY 四、逻辑函数的表示方法3、逻辑图逻辑图 几种表示逻辑函数的方法可以用来描述同一个逻辑函数关系，它们之间必有内在联系，可以互相转换。 四、逻辑函数的表示方法4、几种表示方法之间的转换根据逻辑图写逻辑函数表达式根据逻辑图写逻辑函数表达式 方法是：由前级门逐级向后，根据各个门的输入变量，写出其输出的逻辑关系式，即得相应得逻辑函数式。BABAYABCBAY 方法是：首先根据逻辑函数表达式中输入变量的个数n ,列出输入变量的 2n 种组合；再将输入变量的各种取值列表，并逐一代入逻辑表达式中进行计算；最后将结果也填入表中,便可得到相应的真值表。 000001110000001100000100010

29、101010011001100001111YABCBACBA 四、逻辑函数的表示方法4、几种表示方法之间的转换根据逻辑函数表达式写真值表根据逻辑函数表达式写真值表逻辑函数表达式的类型是多种多样的 通常逻辑函数表达式并不是最简形式或实际需要的形式，这就需要对逻辑函数式进行化简化简或根据实际需要转换转换成一定的形式。与或与或表达式或与或与表达式与非与非- -与非与非表达式或非或非- -或非或非表达式与或非与或非表达式CBABCBBACBABY )C)(BBA(CBBA 化简逻辑函数的目的就是要消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以得到逻辑函数式的最简形式。 化简逻辑函数常用的方法有：代数化简

30、法代数化简法，就是利用逻辑代数中的公式和规则进行化简；卡卡诺图化简法诺图化简法，即利用卡诺图进行化简；适用于编制计算机辅助分析程序的Q-M法。 基本公式基本公式01律律00A11A一、逻辑代数的公式和规则自等律自等律A1AA0A重叠律重叠律AAAAAA互补律互补律0AA1AAAA 非非律非非律ABBAABBA交换律交换律结合律结合律CB)A()C(BACB)A()C(BA分配律分配律CABA)C(BAC)A( B)A()C (BA吸收律吸收律ABAAAB)A(A反演律反演律BABABABA 摩根定理摩根定理 常用公式常用公式一、逻辑代数的公式和规则CAABBCCAABCAABBCDCAABBA

31、BAAABAABa. 代入规则代入规则CACAACABCABAB 逻辑运算运算的基本规则逻辑运算运算的基本规则一、逻辑代数的公式和规则 在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若将所有出现A的位置，都以另一个逻辑表达式带入，则等式仍然成立。对任意一个逻辑函数式Y，若将式中符号 换成换成 + + 换成换成 0 换成换成 1 1 换成换成 0原变量换成反变量原变量换成反变量 反变量换成原变量反变量换成原变量那么所得的逻辑函数式就是Y的反函数 。 Y 逻辑运算运算的基本规则逻辑运算运算的基本规则一、逻辑代数的公式和规则b. 反演规则反演规则 利用反演律需注意两点注意两点： 需遵循先括号，然后与，最后或的运

32、算顺。 不是单个变量上的非号，均应保持不变。BABAYB)A()BA(YEDCBAYEDCBAY 逻辑运算运算的基本规则逻辑运算运算的基本规则一、逻辑代数的公式和规则b. 反演规则反演规则对任意一个逻辑函数表达式Y，若将其中的 换成换成 + + 换成换成 0 换成换成 1 1 换成换成 0由此得到一个新的函数式 ，称为Y的对偶式。变换时仍需遵守需遵循“先括号，然后与，最后或”的运算顺序。 Y对偶定理对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 逻辑运算运算的基本规则逻辑运算运算的基本规则一、逻辑代数的公式和规则c. 对偶规则对偶规则 逻辑运算运算的基本规则逻辑运算运算的基本规则一、逻辑代数

33、的公式和规则c. 对偶规则对偶规则 有时为了证明两个逻辑式相等，可通过证明它们的对偶式相等来完成，因为在有些情况下证明对偶式相等更容易。证明证明：C)B)(AA(BCA首先写出等式两边的对偶式，分别是：C)B(AACAB由分配律可知两对偶式相等；根据对偶定理，原来的两式必然相等。二、逻辑函数的代数化简法 代数化简法的原理就是灵活应用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。代数化简法没有固定的模式或步骤，下面将一些经常使用的方法归纳如下。 并项法并项法 利用公式 ，将两项合并为一项，并消去一对互为反的因子。 ABAAB CABCBACBACBAY

34、C C)BA(ACB)A(A CB)B( CB)FD(ECBACBY二、逻辑函数的代数化简法 吸收法吸收法利用公式 ，可消去一个乘积。 AABA 消去法消去法 a. 消因子法消因子法 利用公式 ，可消去一个多余因子，使乘积项中的因子减少。BABAACBCAABY )CBA(ABCABABCAB b. 消项法消项法利用公式 可消去多余的乘积项CAABBCCAABCAABBCDCAAB 利用公式 ，人为地加上一些多余项，或利用公式 把某些项乘以 展开后消去更多的项，以获得更加简化的函数式。1AAAAAAA 配项法配项法二、逻辑函数的代数化简法CABBCAABCYCABBCAABC 配项配项ABCC

35、BC 并项并项C 吸收吸收 配项法配项法二、逻辑函数的代数化简法CBCBBABAYCB)AA(CB)CB(CABACBACBACBCBABCABA)CBCBA(C)BABCA(C)BABA(CBCABA 配项法配项法二、逻辑函数的代数化简法F)ACD(ECBABYF)ACD(EF)D(EC1BABCBF)ACD(EF)CD(EBABCBF)CD(EBABCBAB 用配项法化简，除以上介绍的两种配项方法外，有时我们采用在函数式中加上适当的多余项的办法对逻辑函数进行化简，其原则是：a. 增加了新项不会影响函数的逻辑关系增加了新项不会影响函数的逻辑关系； b. 增加的新项便于与其它项合并增加的新项便

36、于与其它项合并。 配项法配项法二、逻辑函数的代数化简法ACBACBBAYCBBACACBBACAACBACBBAABACBBAABCBAB 应用代数法化简逻辑函数时，需要对基本公式和常用公式比较熟悉，并在练习中注意总结化简技巧。一般来说，先一般来说，先用用并项法并项法、吸收法吸收法和和消去法消去法，在以上三种方法不能直接选用，在以上三种方法不能直接选用的情况下考虑的情况下考虑配项法配项法。 另外，在化简过程中要注意以下两点注意以下两点： a. 如果给定的逻辑表达式不是与或形式的，一般先将其转 换成与或形式。 b. 化简后的与或表达式不是唯一的，但它们乘积项的个数 以及每个乘积项的因子都应是最少

37、的。二、逻辑函数的代数化简法)CBAC)(B(AY例：例： CBCACBBACABA654321CACBBA(2、3消消4，2、6消消1，3、6消消5)CBBACA二、逻辑函数的代数化简法【习题】【习题】四版教材四版教材 P444 445 8.1 8.6五版教材五版教材 P286 7.1 7.61、逻辑函数的逻辑函数的最小项最小项三、逻辑函数的卡诺图化简法 在 n 个变量的逻辑函数中，如果一个乘积项乘积项m包含 n 个因子，而且每个因子以原变量或反变量的形式仅在此乘积项中出现一次，那么我们就称这样的乘积项叫做 n 变量的最小项最小项。显然 n 个变量共有个变量共有 2n 个最小项个最小项ABC

38、CABCBABCACBACBACBACBA例如，三个变量A、B、C，其最小项数应为 23 个，即变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于 11、逻辑函数的逻辑函数的最小项最小项三、逻辑函数的卡诺图化简法m7m6m5m4m3m2m1m0111011101001110010100000最小项最小项编号编号最小项最小项对应十进制数对应十进制数CBA逻辑变量的组合逻辑变量的组合76543210ABCCABCBABCACBACBACBACBA 最小项的编号方法编号方法：把最小项的变量取值视为二进制数,则相应的十进制数就是该最小项的编号。任一逻辑函数表达式都

39、可以变换为最小项之和最小项之和的形式CBABCACABABC CBAABCBCAABCCABABC )BAC(B)ABC(A)CAB(C ACBCABC)B,Y(A,)7 , 6 , 5 , 3(7653mmmmC)B,Y(A,1、逻辑函数的逻辑函数的最小项最小项三、逻辑函数的卡诺图化简法 最小项具有下列性质最小项具有下列性质：a. 任何一个最小项，只有一组变量取值使其逻辑值为1；此 组变量取值即这一最小项的编号。b. 任意两个不同最小项之积必为0；c. 全部最小项之和恒等于1。d. 具有相邻相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一 对因子。1、逻辑函数的逻辑函数的最小项最小项三、逻辑函数

40、的卡诺图化简法相邻相邻：两个最小项只有一个变量不同CACBABCA1、逻辑函数的逻辑函数的最小项最小项三、逻辑函数的卡诺图化简法 某乘积项中，若少1个变量，则它对应 2个最小项；若少 2个变量对应 4个最小项；若少 3个变量对应8个最小项。CABBAYCAB)CB(CACABCBABCADCABBAYDCAB)D)(DCB(CADCABDCBADBCADCBABCDA* * 逻辑函数的最大项最大项 在 n 个变量的逻辑函数中，如果M为n个变量之和变量之和，而且每个变量以原变量或反变量的形式仅在M中出现一次，则称M 为n变量的最大项最大项。显然，n个变量共有2n个最大项。例如三个变量A、B、C，

41、其最大项数应为23个，CBACBACBACBACBACBACBACBA三、逻辑函数的卡诺图化简法n变量的最大项数目和最小项数目是相等相等的变量的每一组取值都使一个对应的变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于最大项的值等于 0M7M6M5M4M3M2M1M076543210111011101001110010100000CBA最大项最大项编号编号最大项最大项对应的十对应的十进制数进制数逻辑变量的组合逻辑变量的组合CBACBACBACBACBACBACBACBA* * 逻辑函数的最大项最大项三、逻辑函数的卡诺图化简法 最大项的编编号方法号方法是：在最大项中逻辑变量以原变量形式出现时变量取值记

42、为0，以反变量形式出现时变量取值记为1，把最大项的变量取值视为二进制数，则相应的十进制数就是该最大项的编号。任一逻辑函数表达式都可以变换为最大项之积最大项之积的形式)CBA)(CBA)(CBA)(CBA( C)BAC)(ABBA)(CCBA( C)C)(BAB)(A( C)BA(A)BA( ACBAC)B,Y(A,上式还可写为)6 , 4 , 1 , 0(C)B,Y(A,6410MMMMC)A(B)A(BCA分配律分配律* * 逻辑函数的最大项最大项三、逻辑函数的卡诺图化简法a. 任何一个最大项，只有一组变量取值使其逻辑值为0；此 组变量取值即这一最大项的编号。b. 任意两个不同最大项之和必为

43、1；c. 全部最大项之积恒等于0。d. 具有相邻相邻性的两个最大项之积可以合并成一项并消去一对 因子。 BA)CBA)(CBA(最大项具有下列性质最大项具有下列性质：* * 逻辑函数的最大项最大项三、逻辑函数的卡诺图化简法最大项和最小项之间存在如下关系最大项和最小项之间存在如下关系:iimM imYiiMmYiMYiimMY三、逻辑函数的卡诺图化简法2、卡诺图卡诺图的画法的画法三、逻辑函数的卡诺图化简法 卡诺图一般画成矩形或正方形，对于n个变量，在矩形或正方形中划分2n个小方块，每个小方块表示一个最小项，几何相邻的小方块对应的最小项具几何相邻的小方块对应的最小项具有逻辑相邻性有逻辑相邻性。画卡

44、诺图时，首先将变量分组，若分得的变量组内只有单个变量，则取值顺序按0、1排列，两个或两个以上变量取值顺序按格雷码格雷码的规则排列。2、卡诺图卡诺图的画法的画法三、逻辑函数的卡诺图化简法m10m11m9m8m26m27m25m24m30m31m29m28m22m23m21m20m18m14m6m2m7m5m4m15m13m12m19m17m16m3m1m0 010 110 111 101 001 011 100 00010110100 DEABCm6m7m5m4m14m15m13m12m10m11m9m8m2m3m1m0 01 11 10 0010110100 CDABm6m7m5m4m2m3m

45、1m01010110100 BC A三、逻辑函数的卡诺图化简法3、用、用卡诺图卡诺图表示逻辑函数表示逻辑函数a. 若已知逻辑函数真值表，则只需在相同变量的卡诺图上，将真值表中每组变量取值所对应的函数值填入相应的小方格中，就可以得到该逻辑函数的卡诺图。ABCY0000001001000110100010111101111100111000 01 11 10 0010 C AB 三、逻辑函数的卡诺图化简法3、用、用卡诺图卡诺图表示逻辑函数表示逻辑函数b. 若已知逻辑函数表达式，要画相应的卡诺图，首先要将逻辑函数表达式转换为标准的最小项之和的形式，然后在相同变量的卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入

46、1，其余位置填0，即得到该逻辑函数表达式对应的卡诺图。CABBAYCAB)CB(CA CABCBABCA 11100000 01 11 10 0010 C AB 三、逻辑函数的卡诺图化简法3、用、用卡诺图卡诺图表示逻辑函数表示逻辑函数 在熟练的情况下，逻辑函数表达式不一定要转化成标准的最小项之和的形式，只要转化成一般的与或与或表达式表达式即可，画卡诺图时，只需把转化所得的与或表达式中的每一个乘积项所包含的那些最小项处填1，其余填0。CABAY11000011 01 11 10 0010 C AB ACBA C)A()BA( 四版教材四版教材P400 例例8.3.4三、逻辑函数的卡诺图化简法4、

47、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数 在卡诺图中，由于任意几何相邻的小方格所代表的最几何相邻的小方格所代表的最小项具有逻辑相邻性小项具有逻辑相邻性，因此，用卡诺图化简逻辑函数的本质就是合并最小项合并最小项以消去相应的变量。a. 合并合并最小项的规则规则 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子。合并后的结果只剩下公共因子； 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两个因子。 若八个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三个因子。三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数b. 卡诺图的化简步骤化简步骤将给出的逻辑函数化为最小项

48、之和的形式或一般与或表达式。画出表示该逻辑函数的卡诺图按照合并规则找出可以合并的最小项选取化简后的乘积项，写出最简与或表达式。这些乘积项应包含函数式的所有最小项所有乘积项数目最少每个乘积项包含的因子最少三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数 为了能得到最简逻辑函数式，现将圈最小项的原则归纳如下： 每个圈尽可能大, 使化简后乘积项含因子最少。 每个圈中最少有个最小项仅被圈过一次，以免出 现多余项多余项。 用最少的圈数覆盖函数的全部最小项，使乘积项 的个数最少，但又不能漏项。 三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数 一般来说，为了

49、做到以上几条，画圈方法有以下两种:a、先圈小圈后圈大圈先圈小圈后圈大圈 圈最小项的顺序是：首先圈不能合并的孤立最小项，再圈仅有一种圈法的最小项，最后用尽可能大的圈覆盖剩余最小项。 b、先圈大圈后圈小圈先圈大圈后圈小圈 圈最小项的顺序是：首先用最大的圈圈函数的最小项,再用尽可能大的圈圈剩余最小项，最后圈不能合并的孤立最小项。 无论怎样圈，最后都要检查一下是否出现了多余项多余项。三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数 CDAB00011110 001011 010110 111111 101001CDADBABBDY【例例】三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺

50、图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数【例例】 CD AB00011110 00111 01111 11111 10111 CD AB00011110 0011 0111 11 1011CADCAYDADBY三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数【例例】 CD AB00011110 001 011 11111 10111CBABCDDCBCABY四版教材四版教材P404 例例8.3.5 例例8.3.6BCABDy)(BCABDy)(BCABD 11111010011100010111110010110100 CDABy000010011011111001000000

51、10110100 CDAB三、逻辑函数的卡诺图化简法4、用、用卡诺图卡诺图化简逻辑函数化简逻辑函数三、逻辑函数的卡诺图化简法5、具有、具有无关项无关项的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简a. 约束项约束项、任意项任意项和和无关项无关项 若逻辑函数输入变量的取值受到限制，我们称这种限制为约束约束，这样一组输入变量叫做具有约束的变量具有约束的变量。 例如，逻辑变量A、B、C分别表示电动机的正转、反转和停转控制,A=1表示正转，B=1表示反转 ，C=1表示停转。因为电动机任何时刻只能处于其中一种状态，不允许两个以上的变量同时为l，也不允许三个变量同时为0。因此，ABC的取值只能是100、010、001中的一种，而不能是000、011、101、110和111中的任何一种。可见A、B、C的取值