“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评

1、“导数的概念（起始课） ”的教学设计、反思与点评1 教学预设1.1 教学标准（ 1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性；（ 2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景；（ 3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值；（ 4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率 .1.2 标准

2、解析1.21 内容解析本节是导数的起始课， 主要包括三方面的内容： 变化率、导数的概念、 导数的几何意义.实际上， 它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先， 从平均变化率开始， 利用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述， 即导数； 然后， 从数转向形， 借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系， 说明导数的几何意义.根据教材的安排， 本节内容分4 课时完成 .第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率” 、 “高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用 f （ x ）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率， 并给出符号表示.本节内容通过分析研究

3、气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念， 它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础 .在这个过程中， 注意特殊到一般、 数形结合等数学思想方法的渗透.教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率 .1.22 学情诊断吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识， 这两个实例的共同点是背景简单 .从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面 .但是如何从具体实

4、例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念） ，学生是在充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，因此若能让学生主动参与到导数的起始课学习过程，让学生体会到自己在学“有价值的数学” ，必能激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.教学难点如何从两个具体的实例归纳总结出函数平均变化率的概念，对生活现象作出数学解释.1.23 教学对策本节作为导数的起始课，同时也是个概念课，如何自然引入导数的概念是至关重要的 .为了有效实现教学目标， 准备投影仪、多媒体课件等.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让

5、学生更好地体会数形结合思想 .通过应用举例的教学， 不断地提供给学生比较、 分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律 .1.24 教学流程设置情境-提由问题-知识迁移-概括小结-课后延伸2 教学简录2.1 创设情境，引入课题为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： （课件演示相关问题情境）（ 1）已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；（

6、 2）求曲线的切线；（ 3）求已知函数的最大值与最小值；（ 4）求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具 .导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.评析充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣.2.2 提出问题，探求新知问题 1 气球膨胀率（课件演示“吹气球” ）我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加， 气球的半径增加越来越慢

7、.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积 V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的 函数关系是V (r) =43兀r3;如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么 r( V ) =33V4兀.师： 当 V 从 0 增加到 1 时， 气球半径增加了多少？如何表示？生：r (1) -r (0)弋0.62 (dm).师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？生：r (1) -r (0) 1-00.62 (dm/L).师： 当 V 从 1 增加到 2 时， 气球半径增加了多少？如何表示？生：r (2) -r (1)0.16 (dm).师：气球的平均膨胀率为多少？如何刻画？生：r (2) -r (1

8、) 2-10.16 (dm/L).师：非常好！可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 .归纳到一般情形， 当空气容量从V1 增加到 V2 时， 气球的平均膨胀率是多少？生： r (V2 ) -r (V1 ) V2-V1.师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案. 评析通过熟悉的生活体验，提 炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景 .自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习氛围，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师.问题 2 高台跳

9、水（观看多媒体视频）在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m）与起跳后的时间t （单位：s）存在函数关系h （t） =-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态？师：请同学们分组，思考计算：0wtw0.5和1wtw2的平均速度 .生：（第一组）在0wtw0.5这段时间里，=h （0.5） -h （0） 0.5-0=4.05 （ m/s） ；生：（第二组）在1wtw2这段时间里，=h （2） -h （1） 2-1=-8.2 （ m/s）师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对第（ 2）小题的答案说明其物理意义.评析高台跳水展

10、示了生活中最常见的一种变化率运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰 .通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景.师：（探究）计算运动员在0WtW6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（ 1）运动员在这段时间内是静止的吗？（ 2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题.对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明） .评析通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方

11、法 .（ 1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（ 2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上；（ 3）得到结论是：平均速度只能粗略地描述运动员 的运动状态，它并不能反映莫一刻的运动状态；需要寻找 一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态.思考：当运动员起跳后的时间从t1 增加到 t2 时，运动员的平均速度是多少？师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案.通过引导，使学生逐步归纳出问题1 、2 的共性 .评析把问题2 中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，同时为归纳函数平均变化率概念作铺垫2.3 知识迁移，把握本质( 1) 上

12、述问题中的变化率可用式子f( x2 ) -f( x1 ) x2-x1表示，称为函数f ( x )从x1 到 x2 的平均变化率.(2)若设 A x=x2-x1 , A y=f (x2) -f (x1).(这里 Ax 看作是对于x1的一个“增量”,可用x1+Ax代替x2).(3)则平均变化率为 AyAx=f (x2) -f (x1) x2-x1=f(x1+ Ax) -f (x1) Ax.思考：观察函数f(x)的图象，平均变化率AyAx=f (x2)-f ( x1 ) x2-x1 表示什么？生：曲线 y=f ( x )上两点(x1 ， f ( x1 ) ) 、 ( x2 ， f ( x2 ) )连

13、线的斜率(割线的斜率) .生： (补充)平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢) ，即在某个区间上曲线陡峭的程度.师：两位同学回答得非常好！那么，计算平均变化率的步骤是什么？生：求自变量的增量 A x=x2-x1 ;求函数的增量 A y=f (x2) -f (x1);求平均变化率 A y A x=f (x2) -f (x1) x2-x1.评析通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想.为进一步加深理解变化率与导数作好铺

14、垫2.4 知识应用，提高能力例 1 已知函数 f （x） =-x2+x 图象上的一点 A （-1 ， -2） 及临近一点 B （-1+Ax, -2+Ay）,则 AyAx=.例 2 求 y=x2 在 x=x0 附近的平均变化率.2.5 课堂练习，自我检测（1）质点运动规律为s=t2+3,则在时间（3, 3+At）中 相应的平均速度为.（ 2）物体按照s（ t） =3t2+t+4 的规律作运动，求在 4s附近的平均变化率.（3）过曲线 f （x） =x3 上两点 P （1, 1）和 P （ 1+Ax, 1 + Ay）作曲线的割线，求由当 Ax=0.1时割线的斜率.评析概念的简单应用，体现了由易到难

15、，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律.1.6 课堂小结，知识再现（ 1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（ 2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？（ 3）这节课主要用了哪些数学思想？师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合.评析复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构 .1.7 布置作业，课后延伸（ 1）课本第 10 页：习题 A 组：第 1 题 .（ 2）课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？3 教学反

16、思在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率.根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受问题情境中提出的问题，并以此作为突破口，启发、引导学生得出函数的平均变化率.成功之处：通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题 .这样学生不会感到突兀， 并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动

17、性.教学的预设目标基本完成，特别是知识目标，学生能较好地掌握“平均变化率”这一概念，并会利用概念求平均变化率 .改进之处：课堂实施过程中，虽然在形式上没有将知识直接抛给学生，但自己的“引导”具有明显的“牵”的味道在教学过程中，虽然能关注到适当的计算量，但激发学生思维的好问题不多.整堂课学生的思维量不够，学生缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够 .4 教学点评采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境” ，营造生动活泼的课堂教学气氛，充分发挥学生的主体地位，通过实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而

18、更好地理解变化率问题 .4.1 注重情境创设，适度使数学生活化、情境化注重情境创设，适度使数学生活化、情境化而又不失浓厚的数学味，可以激发学生学习的内在需要，把学生引入到身临其境的环境中去， 自然地生发学习需求. 因此， 本节课以两个实际问题（吹气球和高台跳水）为情景，在激发主体兴趣的前提下，引导学生在生活感受的基础之上从数学的角度刻画“吹气球”和“高台跳水” ，并注重数形结合思想方法的渗透 .4.2 准确定位，精心设问，注重学生合作交流教师的角色始终是数学活动的组织者，参与并引导学生从事有效的学习活动，并在学生遇到困难时，适时点拨，让学生体会到学习数学的过程是人生的一种有意义的经历和体验， 从而发挥学生学习数学的能动性和创造性 .教师精心设计好问题，从而更好地激发每个