第4章初等模型

1、1/40 第第4章章 初等模型初等模型4.1 公平的席位分配公平的席位分配4.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效4.3 汽车刹车距离汽车刹车距离4.4 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩4.5 实物交换实物交换4.6 核军备竞赛核军备竞赛4.7 启帆远航启帆远航4.8 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化2/404.1 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815

2、6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙

3、丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 213/40“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平

4、时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=54/40公平分配方案公平分配方案应应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2

5、席席, 若增加若增加1席席, 问应分给问应分给A, 还是还是B?不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平 ),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义5/401）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)

6、，应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1 rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B6/40当当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则不同规则不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制

7、动动距距离离司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性常数常数16/40假假 设设 与与 建建 模模 1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1为反应时间为反应时间21ddd且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比22kvd17/40 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供

8、的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时) (英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（50

9、6）444.84.318/40“2秒准则秒准则”应修正为应修正为 “t 秒准秒准则则”22106.075.0vvkvvtd模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）123419/404.4 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t (分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.

10、33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。问

11、问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变基本不变20/40问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用

12、合适的物理定律建立模型21/40模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：符号：艇速艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 浆手数浆手数 n, 浆手功率浆手功率 p, 浆手体重浆手体重 w, 艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2

13、/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv22/40模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！(10周5) 23/40问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y

14、分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0, 作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo4.5 实物交换实物交换24/40 xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲甲的无差别曲线的无差别曲线分析与建模分析与建模如果如果甲甲占有占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即具有同样的满意程

15、度，即p1, p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，MN将所有与将所有与p1, p2无差别的点连接无差别的点连接起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y 的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如 p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线于是形成一族无差别曲线 (无数条无数条)。25/40yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加

16、, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲甲的无差别曲线族记作的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）26/40 xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质（形状可以不同）性质（形状可以不同） 双方的交换路径双方的交换路径乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g =c2 (坐坐标系标系

17、xOy, 且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f =c1xyyoOxof=c1Oxyg=c2ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB( (交换路径交换路径) )上上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB27/40ABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩形内任一点形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡

18、量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x28/404.6 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威核威慑战略慑战略”, 核军备竞赛不断升级。核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过

19、了一系列的核裁军协议。的核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。在暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。数量受哪些因素影响。背背景景29/40以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如

20、下同样的核威慑战略：核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。度和另一方

21、的防御能力决定。模模型型假假设设30/40图图的的模模型型y = f (x) 甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x = g(y) 乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x = 0 时时 y = y0，y0 乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0 甲方实行第一次打击后已经没有导弹甲方实行第一次打击后已经没有导弹, 乙方为毁灭甲乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x) 乙安全区乙安全区

22、甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线 31/40精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y (xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x )个未摧毁个未摧毁y0= s2(xy)+ s(2y

23、 x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s232/40yxasysyy/00 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x =a y,精细精细模型模型x = y, y = y0/s x =2y, y = y0/s2 y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(033/40

24、 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。),(mmyxP（其它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 34/40 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全

25、线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP 35/40 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x , y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 变大变大 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析?PP模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)?PP 36/40帆船在海面上乘风远航，确定最帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。佳的航行方向及帆的朝向。简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定起航时的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 4.7 启帆远航启帆远航37/40w=w1+w2w1w2 wp模型分析模型