423直线与圆的方程的应用

1、4.2.3直线与圆的方程 的应用审查：牟必继审查：牟必继 主备：向以钰主备：向以钰 喻喻 浩浩 自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 判断两圆位置关系判断两圆位置关系几何方法几何方法两圆心坐标及半径两圆心坐标及半径（配方法配方法） 圆心距圆心距d（两点间距离公式两点间距离公式） 比较比较d和和r1，r2的的大小，下结论大小，下结论代数方法代数方法222111222222()()()()xaybrxaybr 消去消去y y（或（或x x）02rqxpx0:0:0:相交内切或外切相离或内含知识探究：知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题

2、问题: :已知内接于圆的四边形的对角已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半距离等于这条边所对边长的一半. .思考思考1:1:许多平面几何问题常利用许多平面几何问题常利用“坐标法坐标法”来解决，首先要做的工来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？题中应如何选取坐标系？X Xy yo o思考思考2 2：如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点设四边形的四个顶点分别为点 A(aA(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c

3、，0)0)， D(0D(0，d)d)，那么，那么BCBC边的长为多少？边的长为多少？ABCDMxyoN思考思考3:3:四边形四边形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心M M的的坐标如何？坐标如何？思考思考4:4:如何计算圆心如何计算圆心M M到直线到直线ADAD的距的距离离|MN|MN|？ABCDMxyoNP131 例例5 （坐标法）（坐标法）xyOOABCD 证明：以证明：以ACAC为为x x轴，轴，BDBD为为y y轴建立直角坐标系。轴建立直角坐标系。则四个顶点坐标分别为则四个顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)A(a,0),B(0,b),C(0,c),

4、D(0,d)E22|BCcb(a,0)(0,b)(c,0)(0,d),22ac bdO221|2O Ecb,2 2a bE1|2O EBC因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所对边长一半。因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所对边长一半。第二步第二步: :进行有进行有关代数运算关代数运算第三步第三步: :把代数把代数运算结果翻译成运算结果翻译成几何关系。几何关系。第一步第一步: :建立坐建立坐标系，用坐标表标系，用坐标表示有关的量示有关的量。用坐标法用坐标法 解决几何问题的步骤：解决几何问题的步骤：第二步：通过代数运算，解决代数问题；通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果将代数

5、运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标建立适当的平面直角坐标系，用坐标 和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；题转化为代数问题；例例1:1:已知已知x, y x, y 是实数是实数, ,且且x x2 2+y+y2 2-4x-6y+12=0,-4x-6y+12=0,求求: :.) 4( ;) 3 ( ;) 2( ;) 1 (22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy. 3322, 3322xy. 3322k, 1k13k2.k,xy,)0 , 0(),(y) 1 ( :2最小值为的最大值为得

6、最值的切线时为圆当连线的斜率与坐标原点上的点表示圆解CkkOyxPCx例1:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4( ;)3( ;)2( ;) 1 (22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy.13214) 132(,132141)32(.,)0 , 0(),()2( :22222222222212122最小值为的最大值为最小值的最大值分别为与时的两交点与圆为直线知当由平面几何知识连结的线段长的平方与坐标原点上的点表示圆解yxOPOPOPPPCOCPOyxPCyx例1:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4( ;)3( ;)2( ;) 1

7、 (22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy. 25,25. 25m, 12m32.,:.)3( :最小值为的最大值为取值得最值轴上的截距在相切时与圆当直线令解yxmylCmyxlmyx例1:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:.)4( ;)3( ;)2( ;) 1 (22的最值的最值的最值的最值yxyxyxxy. 21,21. 21n, 12n32.,:.)4( :最小值为的最大值为取得最值轴上截距的相反数在相切时与圆当直线令解yxnylCnyxlnyx 例例2:2:已知圆已知圆O O的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2=9,=9,求过求过点点A(1,2)A

8、(1,2)所作的弦的中点的轨迹所作的弦的中点的轨迹. .25,) 1 ,21(.)0 , 1 (,. 02. )(12,1)2(,.1)2(2. 054)2(2)1 ( ,),2(, 9),(, )(1(2)(:222222122222为半径的圆为圆心的的轨迹是以点的坐标也适合方程中点不存在时当点的轨迹方程为的消去为参数得点在直线上利用中点坐标公式及中消去则存在时的弦所在的直线方程为设过常规方法参数法解法一PPkyxyxPkkkkykkkxkkkxxkkxkkxkykkxyyxyxPkxkyA 例例2:2:已知圆已知圆O O的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2=9,=9,求过点求过点A(

9、1,2)A(1,2)所作的弦的中点的轨迹所作的弦的中点的轨迹. .25,) 1 ,21(. )1(02. 02122).1(12,.2,2),().(0)()(. 99,).,(),(,0(:22212121212121212121222221212211为半径的圆为圆心的轨迹是以点点时也成立的轨迹方程是中点四点公线则设相减得上在圆的弦设过点此法涉及中点问题可以考虑代点法解法二PxyxyxPyxyxxxyxxyyAPNMyyyxxxyxPxxyyxxyyxxyxyxONMyxNyxMMNA问题探究问题探究3.求经过点求经过点M(3,-1) ,且与圆且与圆切于点切于点N(1,2)的圆的方程。的圆的方程。222650 xyxyyOCMNGx求圆求圆G的圆心和半径的圆心和半径r=|GM| 圆心是圆心是CN与与MN中垂线的交点中垂线的交点 两点式求两点式求CN方程方程点点(D)斜斜(kDG) 式求中垂线式求中垂线DG方程方程D,1DGMND kk 中点公式求()/()MNMNMNkyyxxP133 A74求圆求圆 关于直线关于直线对