小学奥数乘法原理之染色法精选例题练习习题(含知识点拨)

1、7-2-3乘法原理之染色问题目M点 教学目标1 .使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2 .使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系.3 .培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯.目B网叵知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课， 首先得从家出发到长宁上 8点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1点半的课.如 果说申老师的家到长宁有 5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到 黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老

2、师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔.这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的.在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显 而易见一共是10条路线.但是要是老师从家到长宁有 25种可选择的交通工具， 并且从长宁到黄埔也有 30种 可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了.这个时候我们的乘法原 理就派上上用场了.二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从

3、长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，第n步有N种不同的方法.那么完成这件事情一共有A>BX测种不同的方法.结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2个步骤，第1步是从家到长宁，一共 5种 选择；第2步从长宁到黄埔，一共 2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5X2个可选择的路线了，即 10条.三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题 一一比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，

4、问3个字有多少种染色方法;3、地图的染色问题 一一同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张 包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题一一比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题一一就是对一些数字的排列， 比如说给你几个数字， 然后排个几为数的偶数， 有多少种排法. 自隹例题精讲【题型】解答2种颜色可选，此时 D也有2种颜色可选.根据乘法原理，不同的涂例1 地图上有A, B, C, D四个国家（如下图卜现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜 色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【解析】A有

5、3种颜色可选；当B, C取相同的颜色时，有法有3M2M2=12种； 当B, C取不同的颜色时，B有2种颜色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选（与A相同）.根据乘法原理，不同的涂法有3M2父1父1=6种.综上，根据加法原理，共有 12+6 =18种不同的涂法.【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都 必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步，首先对 A进行染色一共有4种方法，然后对B、C进行染色，如果B、C取相同的颜色，有 三种方式，D剩下3种方式，如果B、C

6、取不同颜色，有3父2=6种方法，D剩下2种方法，对该图 的染色方法一共有 4 乂 （3x3 +3x2x2）=84种方法.【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题.【答案】84【例2】 在右图的每个区域内涂上 A、B、C、D四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共 有 种不同的染色方法.【考点】乘法原理之染色问题4个区域一共有4 M 3M 2 =24种染色方【解析】因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的法.如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与 2、3、4三个区域的颜色相同

7、，所以只能与1号区域的颜色相同，同理 5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当 1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区 域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法.【答案】24例3如图，地图上有 A, B, C, D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同, 有多少种不同染色方法 ？ABCD【考点】【解析】【答案】【巩固】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给 A染色，有5种颜色可选.第二步：给B染色，由于B不能与A同色，所以B有4种颜色可选

8、.第三步：给C染色，由于C不能与A、B同色，所以C有3种颜色可选.第四步：给D染色，由于D不能与B、C同色，但可以与 A同色，所以D有3种颜色可选. 根据分步计数的乘法原理，用 5种颜色给地图染色共有 5父4父3父3 = 180种不同的染色方法. 180如图，一张地图上有五个国家 A , B, C, D, E ,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家， 要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同 一种颜色，那么这幅地图有多少着色【考点】【解析】【答案】【例4乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答第一步，给A国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B国上色，B国不能使用A国的颜

9、色，有三种选择;第三步，给C国上色，C国与B , A两国相邻，所以不能使用第四步，给D国上色，D国与B, 第五步，给E国上色，E国与C ,96A , B国的颜色，只有两种选择;C两国相邻，因此也只有两种选择；D两国相邻，有两种选择.共有4M 3M2M2M2 = 96种着色方法.如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块, 等的两块、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相一，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法?【考点】【解析】【答案】【巩固】乘法

10、原理之染色问题对这张纸的操作一共进行了 我们对这张纸，进行染色就 有：4、3、2、2、21536【题型】解答8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有 9个区块,需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法,所以一共有：4M3M2M2M2M2M2M2M2 =1536种.用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法?方法？ABCDE【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步.第一步，涂 A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了

11、一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂 C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了.然后再根据乘法原理.3m2m1=6【答案】6例5如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染 的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】 这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4父3父2父2父2=96种方法.【讨论】如果染色步骤为

12、 C - A- B - D - E ,那么应该该如何解答？答案：也是4M3M2父2父2=96种方法.如果染色步骤为 C-A-D-B-E那么应该如何解答？答案： 染色的前两步一共有 4q种方法，但染第 三步时需要分类讨论，如果 D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染 不同的颜色，那么 D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有4 M3 M（1 M2 M2 +2 M1 M2） =96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授 ），染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所 染的区块相邻.【答案

13、】96某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图.现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色, 要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法？乘法原理之染色问题为了便于分析，把地图上的【难度】4星【题型】解答ABCDEFG7个县分别编号为 A、B、C、D、E、F、G （如左下图）.为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图.那么，为了完成地图染色这 件工作需要多少步呢？由于有7个区域，我们不妨按 A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分第1步:第2步:第3步:第4步:第5步:7步来完成染色任务.先染区域A,有5种颜色可供选择；再染区域B,

14、由于B不能与A同色，所以区域 B的染色方式有4种； 染区域C,由于C不能与B、A同色，所以区域 C的染色方式有3种； 染区域D,由于D不能与C、A同色，所以区域 D的染色方式有3种; 染区域E,由于E不能与D、A同色，所以区域 E的染色方式有3种；第6步：染区域F ,由于F不能与E、A同色，所以区域F的染色方式有3种;第7步：染区域G,由于G不能与C、D同色，所以区域 G的染色方式有3种.根据分步计数的乘法原理，共有5M4M3M3M3x3x3=4860种不同的染色方法.【答案】4860例6用3种颜色把一个3M3的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有 种不同的染色法.

15、【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，染完后这个 3 M 3的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色.用3种颜色染第一行，有 P33=6种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法;当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法.所以，根据乘法原理，共有 3M2 =6种不同的染法.【答案】6 【例7】 如右图，有 A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色.有多少种不同的染色方式?【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答

16、B染色，有4种方式；第三步给 C染色，有【考点】乘法原理之染色问题【题型】解答【解析】先采用分步：第一步给 A染色，有5种方法；第二步给3种方式；第四步给 D染色，有3种方式；第五步，给 E染色，由于E不能与A、B、D同色，但可 以和C同色.此时就出现了问题：当 D与B同色时，E有3种颜色可染；而当 D与B异色时，E有2种颜色可染.所以必须从第四步就开始分类：第一类，D与B同色.E有3种颜色可染，共有5X4X3X3=180 （种）染色方式；第二类，D与B异色.D有2种颜色可染，E有2种颜色可染，共有5X4X3X2X2 = 240 （种）染色根据加法原理，共有180+240=420 （种）染色方

17、式.【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决.【答案】420 【巩固】 如右图，有 A, B, C, D四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色.有多少种染色方法?【解析】A有4种颜色可选，然后分类：第一类：B , D取相同的颜色.有 3种颜色可染，此时 D也有3种颜色可选.根据乘法原理，不同 的染法有4 M3 M3 =36 （种）；第二类：当B, D取不同的颜色时， B有3种颜色可染，C有2种颜色可染，此时 D也有2种颜色 可染.根据乘法原理，不同的染法有4M3M2M2 =48 （种）.根据加法原理，共有

18、36 +48 =84 （种）染色方法.【答案】84【巩固】 用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要 用.问：共有多少种不同的染色方法 ？【考点】乘法原理之染色问题【解析】第一步给 而”上色，有4种选择;然后对 学”染色，学”有3种颜色可选；当 奥“，数”取相同的颜色时，有 2种颜色可选，此时【题型】解答思”也有2种颜色可选，不同的涂法有3x2x2=12 种；当 奥“，数”取不同的颜色时，奥”有2种颜色可选，数”剩仅1种颜色可选，此时 思”也只有1种颜色可选（与 学”相同），不同的涂法有3x2x11 =6#.所以，根据加法原理，共有 4 M3父（2M

19、2+2） =72种不同的涂法.【答案】72【例8】 分别用五种颜色中的某一种对下图的A, B, C, D, E, F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用.问：有多少种不同的染法?【考点】乘法原理之染色问题【题型】解答【解析】先按A, B, D, C, E的次序染色，可供选择的颜色依次有5, 4, 3, 2, 3种，注意E与D的颜色搭配有3父3=9（种），其中有3种E和D同色，有6种E和D异色.最后染F ,当E与D同色时 有3种颜色可选，当 E与D异色时有 2种颜色可选，所以共有 5M4父2父（3父3+6父2） =840种染法.【答案】840【例9】 将图中的 O别

20、涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻C涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A, B, C, D的颜色确定后，大正方形四个角上的C的颜色就确定了，所以只需求A, B, C, D有多少种不同涂法.按先 A,再B, D,后C的顺序涂色.按A-B-D-C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B, D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有3M2M2 = 12种;当B , D取不同的颜色时， B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时 C也只有1种颜色可选（与A相同），不同的涂法有3M2父1父1 =6（

21、种）.所以，根据加法原理，共有 12+6 =18种不同的涂法.【答案】18【例10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有 种不同白涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才 被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4X3X2X1=24种染色方式，而一个正四面体有4M=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余 3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24+12=2种。【答案】2种【例11】用红、

22、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上, 一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】我们来看正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）正四面体正加体.展H团按使用了的颜色种数分类：第一类：用了 4种颜色.第一步，选 4种颜色，相当于选1种不用，有5种选法.第二步，如果取定4种颜色涂于4个面上，有2种方法.这一类有5M2 = 10 （种）涂法；第二类：用了 3种颜

23、色.第一步，选 3种颜色，相当于选 2种不用，有5x4+2=10 （种）选法；第二步，取定3种颜色如红、橙、黄3色，涂于4个面上，有6种方法，如下图（图 中用数字1, 2, 3分别表示红、橙、黄 3色）.这一类有10黑6=60 （种）涂法；如红、橙2色，涂于4个面上，有3种方法，如下图.这一类有10X3 = 30 （种）涂 法；第四类：用了一种颜色.第一步选 1种颜色有5种方法；第二步，取定 1种颜色涂于4个面上，只 有1种方法.这一类有5父1=5 （种）涂法.根据加法原理，共有 10+60 + 30 + 5 = 105 （种） 不同的涂色方式.【答案】105【例12】用红、黄、蓝三种颜色对一

24、个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？（注：正方体不能翻转和旋转 ）【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果一共只有三种颜色供染色，那么正方体的相对表面只能涂上一种颜色，一共有上下、左右、前后一共三组对立面，所以染色的方法有3M2父1=6种方法.如果有四种颜色，那么染色方法可分为两类，一类是从四种颜色中选取三种对正方体进行染色，一共有4M3M2 =24种.另一种是四种颜色都染上，用这种染色方法，就允许有一组相对表面可以染上不同的颜色，选取这组相对表面并染上不同颜色一共有3X（4父3） =36种方法，用其余两种颜色去染其他四个面只有2种方法，共36M2=72种，所以一共有24+72 = 96种方法.如果有5种颜色，那么用其中3种颜色的染色方法有 5父4m