第六章正弦稳态电路分析

1、第六章 正弦稳态电路分析本章内容本章内容阻抗与导纳的定义阻抗与导纳的定义6.1阻抗与导纳的性质阻抗与导纳的性质6.2复阻抗的串、并联复阻抗的串、并联6.3复阻抗与复导纳的等效变换复阻抗与复导纳的等效变换6.4正弦电路的功率及功率因数正弦电路的功率及功率因数6.5基本元件的功率与能量特性基本元件的功率与能量特性6.6复功率复功率6.7最大功率传输最大功率传输6.8功率功率因数因数及负载功率因数的提高及负载功率因数的提高6.9正弦电流电路的一般分析方法与正弦电流电路的一般分析方法与计算计算6.106.1 阻抗与导纳的定义 阻抗阻抗:在关联参考方向下，元件或二端网络端口的电压相在关联参考方向下，元件

2、或二端网络端口的电压相量与电流相量之比，即量与电流相量之比，即UZI单位是欧姆（单位是欧姆（） 导纳：是端口电流相量导纳：是端口电流相量 与电压相量与电压相量 之比，即之比，即IUIYU单位是西门子（单位是西门子（S） 阻抗阻抗Z与导纳与导纳Y的关系是互为倒数，即的关系是互为倒数，即11,ZYYZ（1）电阻元件）电阻元件R的阻抗为的阻抗为RRRUZRI 仍为电阻仍为电阻R，其值与角频率，其值与角频率无关。导纳为无关。导纳为1RRRIYGUR 为电导值为电导值G，其值与角频率，其值与角频率无关。无关。1. R、L、C元件的阻抗与导纳元件的阻抗与导纳（2）电感元件）电感元件L的阻抗为的阻抗为LLL

3、LUZj LjXILXL称为感抗，其值与角频率称为感抗，其值与角频率有关。导纳为有关。导纳为1LLLLIYjjBUL 1LBL称为感纳，其值与角频率称为感纳，其值与角频率有关。有关。（3）电容元件）电容元件C的阻抗为的阻抗为1CCCCUZjjXIC 1CXC称为容抗，其值与角频率称为容抗，其值与角频率有关。导纳为有关。导纳为CCCCIYj CjBUCBC称为容纳，其值与角频率称为容纳，其值与角频率有关。有关。2. 无源二端网络的阻抗与导纳无源二端网络的阻抗与导纳 无源二端网络端口的输入阻抗为无源二端网络端口的输入阻抗为ZUZRjXZI式中：阻抗模式中：阻抗模22ZRX 阻抗角阻抗角zuiXar

4、ctgR 电抗电抗1LCXXXLC无源二端网络的导纳则为无源二端网络的导纳则为YIYGjBYU式中：式中： 导纳模导纳模22YGB 导纳角导纳角YiuBarctgG 电纳电纳 1CLBBBCL6 6. .2 2 阻抗与导纳的性质阻抗与导纳的性质（1）除电阻元件外，动态元件和无源二端网络的阻抗与导）除电阻元件外，动态元件和无源二端网络的阻抗与导纳，都是角频率的函数。因此，在不同的角频率时，阻抗与导纳，都是角频率的函数。因此，在不同的角频率时，阻抗与导纳的数值不同。纳的数值不同。（2）阻抗与导纳都是复数，它们与正弦量的向量，虽然都）阻抗与导纳都是复数，它们与正弦量的向量，虽然都是复数，但是两者有本

5、质的不同。阻抗与导纳不随时间作周是复数，但是两者有本质的不同。阻抗与导纳不随时间作周期性变化正弦量的代表量，故不叫期性变化正弦量的代表量，故不叫“相量相量”。 为了区别这种不同性质的复数量，在正弦电压和电流的符为了区别这种不同性质的复数量，在正弦电压和电流的符号上加上点号，号上加上点号， 、 ，而在复数阻抗与导纳符号，而在复数阻抗与导纳符号Z，Y上不加上不加点号。点号。UI（3）阻抗与导纳反映了正弦交流电路端口电压与电流相量）阻抗与导纳反映了正弦交流电路端口电压与电流相量之间的关系。阻抗与导纳的模，反映了正弦稳态元件和无源二之间的关系。阻抗与导纳的模，反映了正弦稳态元件和无源二端网络端口电压和

6、电流有效值及最大值之比，即端网络端口电压和电流有效值及最大值之比，即mmmmUUZIIIIyUU 阻抗角和导纳角反映了正弦电压与电流之间的相位差，即阻抗角和导纳角反映了正弦电压与电流之间的相位差，即,ZuiYiu 元件和二端网络端口的元件和二端网络端口的VAR具有欧姆定律的向量形式，即具有欧姆定律的向量形式，即,UZI IYU （4）阻抗与导纳只与单一频率正弦激励稳态电路分析联系，）阻抗与导纳只与单一频率正弦激励稳态电路分析联系，是正弦稳态分析电路中元件的重要参数，它们属于正弦稳态是正弦稳态分析电路中元件的重要参数，它们属于正弦稳态电路分析的概念。电路分析的概念。6 6. .3 3 复阻抗的串

7、、并联复阻抗的串、并联（1）复阻抗的串联）复阻抗的串联等效复阻抗：等效复阻抗：分压公式：分压公式：（2）复阻抗的并联）复阻抗的并联等效复导纳：等效复导纳：n21YYYUIY分流公式：分流公式：IYYYUIkkk两个阻抗并联时，分流公式两个阻抗并联时，分流公式IZZZIIZZZI211221216 6. .4 4 复阻抗与复导纳的等效变换复阻抗与复导纳的等效变换 对同一电路来说，复阻抗与复导纳互为倒数，即对同一电路来说，复阻抗与复导纳互为倒数，即或或YZ1ZY1（1）已知电路的复阻抗，求）已知电路的复阻抗，求等效的复导纳等效的复导纳已知：已知：ZjXRZ则等效的复导纳为则等效的复导纳为BGXRX

8、XRRXRZYjjj112222或或YZZY11即即,2222XRXBXRRG或或,1ZY不变。不变。（2）已知电路的复导纳，求等效的复阻抗）已知电路的复导纳，求等效的复阻抗已知已知YBGYj则等效的复阻抗为则等效的复阻抗为XRBGBBGGBGYZjjj112222或或ZYYZ11即即,2222BGBXBGGR或或,1YZ不变。不变。6.5 正弦电路的功率及功率因数 由于正弦交流电路中，电压和电流是随时间变化的正弦由于正弦交流电路中，电压和电流是随时间变化的正弦函数，它们都有相位角。因此，交流电路中的功率比直流电函数，它们都有相位角。因此，交流电路中的功率比直流电阻电路中的功率要复杂得多。正弦

9、交流电路有瞬时功率，更阻电路中的功率要复杂得多。正弦交流电路有瞬时功率，更有平均功率、无功功率和视在功率，以及功率因数和平均储有平均功率、无功功率和视在功率，以及功率因数和平均储能等概念。能等概念。若元件或二端网络端口关联参与方向的电压和电流分别为若元件或二端网络端口关联参与方向的电压和电流分别为2sin()uuUt2 sin()iiIt（1）瞬时功率）瞬时功率( )p t( )( )( )2sin()sin()cos() cos(2)cos()cos(22 )cos() sin(22 )sin()cos() 1 cos(22 )sin() sin(22 )( )( )uiuiuiuiiuii

10、uiuiiuiiRXp tu ti tUIttUItUIUIttUItUItp tpt可见瞬时功率包括两部分可见瞬时功率包括两部分前一项前一项 ,显显然然 。( )cos() 1 cos(22)RuiiptUIt( )0Rp t 故这一分量任何时刻都是被电路吸收，为电阻元件发热故这一分量任何时刻都是被电路吸收，为电阻元件发热消耗或转换为其他形式的能量（如通过电动机转换为机械能消耗或转换为其他形式的能量（如通过电动机转换为机械能等），称为有功分量；等），称为有功分量；而后一项而后一项 ，是以振幅为，是以振幅为( )sin()sin(22 )Xuiip tUItsin()uiUI ，角频率为，角频

11、率为2变化的正弦函数，在一个周期内变化的正弦函数，在一个周期内它的平均值为零，瞬时值半周期为正值，另半周期为负值。它的平均值为零，瞬时值半周期为正值，另半周期为负值。正值时，电路吸收电磁能量，储存在电感或电容中；负值时，正值时，电路吸收电磁能量，储存在电感或电容中；负值时，电路向电源释放出电磁能量。如此往复循环，形成电路与电电路向电源释放出电磁能量。如此往复循环，形成电路与电源之间的功率交换。这一分量的平均值为零，不是实际消耗源之间的功率交换。这一分量的平均值为零，不是实际消耗的功率，故称为无功分量。的功率，故称为无功分量。（2）平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P定义为：一周期内瞬时功

12、率定义为：一周期内瞬时功率 的平均值，即的平均值，即01( )cos()cosTuiPp t dtUITUI表明平均功率是正弦电压和电流有效值的乘积再乘以两者相位表明平均功率是正弦电压和电流有效值的乘积再乘以两者相位差角的余弦。差角的余弦。 称为功率因数，只有电压与电流的相位差为称为功率因数，只有电压与电流的相位差为 才有平均功率。平均功率是电路中实际消耗的功率，又称才有平均功率。平均功率是电路中实际消耗的功率，又称有功功率，单位是瓦特（有功功率，单位是瓦特（W），可以用功率表（瓦特表）来测），可以用功率表（瓦特表）来测量。量。cos90)p t（3）无功功率）无功功率Q定义为：瞬时功率中无功

13、分量定义为：瞬时功率中无功分量 的最大值，用的最大值，用Q表示，即表示，即( )Xptsin()sinuiQUIUI表明无功功率是电压与电流有效值的乘积，再乘以两者相位表明无功功率是电压与电流有效值的乘积，再乘以两者相位差角的正弦。差角的正弦。 称为无功因数。无功功率不是电路中实际称为无功因数。无功功率不是电路中实际消耗的功率，而是电路与电源之间交换功率的最大速率，它消耗的功率，而是电路与电源之间交换功率的最大速率，它的量纲与平均功率相同，但为了两者为区别，无功功率的单的量纲与平均功率相同，但为了两者为区别，无功功率的单位为乏（位为乏（var）。无功功率的数值可用无功功率表进行测量。）。无功功

14、率的数值可用无功功率表进行测量。sin（4）视在功率）视在功率S定义为：电压和电流有效值的乘积，即定义为：电压和电流有效值的乘积，即S=UI。为了与平均功率和无功功率相区别，视在功率的单位定为伏为了与平均功率和无功功率相区别，视在功率的单位定为伏安（安（VA）。在电工技术中，是以视在功率来定义电气设备的）。在电工技术中，是以视在功率来定义电气设备的容量，即将额定电压和额定电流的乘积为设置的额定容量。容量，即将额定电压和额定电流的乘积为设置的额定容量。6 6. .6 6 关于基本元件的功率与能量特性关于基本元件的功率与能量特性 在正弦交流电路中，基本元件在正弦交流电路中，基本元件R，L，C的功率

15、一能量特的功率一能量特性，是正弦交流电路功率分析计算的基础，从电路的理论和性，是正弦交流电路功率分析计算的基础，从电路的理论和实际工程都具有重要意义。实际工程都具有重要意义。（1）电阻元件）电阻元件R由于电阻元件两端的电压由于电阻元件两端的电压 与通过它的电流与通过它的电流 同相，同相， ， ，则有：，则有：UIui0 瞬时功率瞬时功率( )1cos(22)( )iRp tUItpt表明电阻元件的瞬时功率只有有功分量，而无无功分量，反表明电阻元件的瞬时功率只有有功分量，而无无功分量，反映了电阻元件的耗能性质。映了电阻元件的耗能性质。平均功率平均功率 由于由于 ，则，则cos022UP UII

16、RR表明正弦交流电路中电阻元件的功率用正弦电压或正弦电流表明正弦交流电路中电阻元件的功率用正弦电压或正弦电流的有效值来计算，与直流电阻电路的计算是相同的。的有效值来计算，与直流电阻电路的计算是相同的。无功功率无功功率 因因 ，则，则sin0sin0Q UI电阻元件消耗的能量是有功功率电阻元件消耗的能量是有功功率P与时间与时间t的乘积，即的乘积，即2WPtI Rt单位焦耳（单位焦耳（J）（2）电感元件）电感元件L由于电感元件两端电压由于电感元件两端电压 超前相位超前相位 ， ，即，即 。LU9090ui90瞬时功率瞬时功率( )sin(22)( )LLLiXp tU Itpt表明电感元件瞬时功率

17、中只有无功分量表明电感元件瞬时功率中只有无功分量 ,它是它是2的正弦的正弦函数。当函数。当 的瞬时，电感元件吸收能量，储存于磁场的瞬时，电感元件吸收能量，储存于磁场中；当中；当 的瞬时，电感元件释放出能量给外电路。的瞬时，电感元件释放出能量给外电路。( )Xpt0)(tpL0)(tpL有功功率有功功率 由于由于 , ,故有功功率为故有功功率为90cos0cos0LLLPU I表明电感元件不消耗功率。表明电感元件不消耗功率。无功功率无功功率 由于由于 , ,故无功功率为故无功功率为90sin12sinLLLLLLLQU IU IX I表明电感元件与外电路功率交换的规模是电感电压与电流有效表明电感

18、元件与外电路功率交换的规模是电感电压与电流有效值的乘积，也等于感抗值的乘积，也等于感抗XL乘以电流有效值的平乘以电流有效值的平 方方 。2LI储能特性储能特性 储能的瞬时值为储能的瞬时值为2211( )( )1cos(22)22LLLitLitLI平均储能，是瞬时储能的平均值，即上式在一周期时间的积平均储能，是瞬时储能的平均值，即上式在一周期时间的积分，得出分，得出212LLWLI 无功功率无功功率QL与平均储能的关系：由于与平均储能的关系：由于 ，则无，则无功功率为功功率为LLULI2212 ()22LLLLLLQU ILILIW表明电感元件的平均储能是电感量乘电流有效值平方的一半；表明电感

19、元件的平均储能是电感量乘电流有效值平方的一半；电感元件的无功功率是平均储能的电感元件的无功功率是平均储能的2倍。倍。（3）电容元件）电容元件C由于电容元件元件两端的电压由于电容元件元件两端的电压 滞后于电流滞后于电流 相位相位 ， ，即，即 。则有。则有CUCI9090ui90 瞬时功率瞬时功率( )sin(22)( )CCCiXptU Itpt 表明电容元件瞬时功率是只有无功分量表明电容元件瞬时功率是只有无功分量 ，它是，它是2的正弦的正弦函数。当的函数。当的 瞬时，电容元件释放出能量给外电路。瞬时，电容元件释放出能量给外电路。( )Xpt0)(tpC有功功率有功功率 由于由于 , ,故有功

20、功率为故有功功率为90 cos0cos0CCCPUI表明电容元件不消耗功率。表明电容元件不消耗功率。无功功率无功功率 由于由于 , ,故无功功率为故无功功率为90 sin1 2sinCCCCCCCQU IU IX I 表明电容元件与外电路功率交换的规模是电容电压与电流有表明电容元件与外电路功率交换的规模是电容电压与电流有效值的乘积，也等于容抗效值的乘积，也等于容抗XC乘以电流前效值的平方乘以电流前效值的平方 ，式中，式中并冠以并冠以“-”号，表示在电容与电感元件在两端电压和电流及号，表示在电容与电感元件在两端电压和电流及两者参与方向均为相同的情况下，电容中的无功功率与电感两者参与方向均为相同的

21、情况下，电容中的无功功率与电感中的无功功率方向相反。中的无功功率方向相反。2CI储能特性储能特性 储能的瞬时值为储能的瞬时值为2211( )( )1cos(22)22CCCitCutCUt平均储能是瞬时储能的平均值，即上式在一个周期时间的积平均储能是瞬时储能的平均值，即上式在一个周期时间的积分，得出分，得出212CCCU无功功率无功功率 与平均储能的关系：由于与平均储能的关系：由于 ,则无功功率为则无功功率为CQCCICU21()2 ()22CCCCCCCQU IUCUCUW 表明电容元件的平均储能是电容量乘电压有效值平方的一半，表明电容元件的平均储能是电容量乘电压有效值平方的一半，且冠以且冠

22、以“-”号；电容元件的无功功率是平均储能的号；电容元件的无功功率是平均储能的2倍。倍。6 6. .7 7 复功率复功率复功率复功率 定义：定义：S22*)(IjXRZII IZIUS )(iuUISjQP可知：可知：22QPSPQarctg注意：注意：（1）复功率与阻抗相似，它是一个复数量。并不代表正弦量，）复功率与阻抗相似，它是一个复数量。并不代表正弦量，因此不能作为相量对待。因此不能作为相量对待。（2）对正弦电路，因有功功率和无功功率是守恒的，所以复）对正弦电路，因有功功率和无功功率是守恒的，所以复功率也守恒，即在整个电路中某些支路吸收的复功率应该等功率也守恒，即在整个电路中某些支路吸收的

23、复功率应该等于其余支路发出的复功率。于其余支路发出的复功率。例例:某一电路由三个复阻抗串联构成，其中某一电路由三个复阻抗串联构成，其中 ， ，电源电压，电源电压40j301Z20j202Z60j803ZV0100U求求（1）电路中的电流；）电路中的电流；（2）各阻抗上的电压；）各阻抗上的电压；（3）电路的有功功率、无功功率、视在功率及电路的功率因数。）电路的有功功率、无功功率、视在功率及电路的功率因数。解：（解：（1）电路总的复阻抗为）电路总的复阻抗为6 .316 .15280j130)60j80()20j20(40j30321ZZZZ电路中的电流为电路中的电流为A6 .3166. 06 .3

24、16 .1520100ZUI(2)各阻抗上的电压为各阻抗上的电压为40j306 .3166. 011ZIUV5 .213320j206 .3166. 022ZIUV6 .767 .1860j806 .3166. 033ZIUV3 . 566（3）6 .3166. 00100IUSVA6 .3166VA)6 .34j2 .56(W2 .56PVar6 .34QVA66S85. 0662 .56cosSP6-8最大功率传输在图6-6中含源二端网络，根据戴维宁定理等效成图6-7形式图6-6 含源二端电路图6-7 戴维宁等效变换设Zeq=Req+jXeq，Z= R+jX，则负载吸收的有功功率为：222

25、2)()(eqeqOCXXRRRURIP获得最大功率的条件为：002RRRdRdXXeqeq上式解出： X=-Xeq 、 R= Req (此条件称为最佳匹配条件)即eqeqeqZjXRZ此时获得的最大功率为：RURUoceqoc44P22max6-9关于功率因数及负载功率因数的提高（1）功率因数的定义二端网络的平均功率P与视在功率S之比，定义为该网络的功率因数，用希腊字母表示，即cos()uiPS 网络的阻抗角决定功率因数的数值，称为功率因数角。对于负载的功率因数，决定于负载的阻抗角；对于电源的功率因数，则决定于电源端口外部电路的阻抗角。由于 ，故不论是正值，还是负值，功率因数恒为正值。cos

26、()cos（2）感性和容性负载的功率因数由于无论负载阻抗角是正值还是负值，总有 。因此，从功率因数的数值上分辨不出电路是感性负载还是容性负载。所以，我们对于这两种不同性质负载的功率因数，就应该加以注明。对于感性负载，是电流滞后电压，故称为滞后功率因数，一般认为“ （超前）”。0coscos（3）提高功率因数的意义 在电工技术中，功率因数是一个重要的导出参数。特别在电力系统中，功率因数是重要的技术指标，有其重要的技术经济意义。 发电设备的利用率与供电网络的功率因数有关。提高功率因数，能提高发电设备的利用率。 电力输电线路上的功率损耗与功率因数有关。提高功率因数，能减少线路的损耗，提高输电的能力。

27、 为了提高发电设备的利用率，减少输电线路的功率损耗，提高输电能力，就必须提高负载的功率因数。通常一般感性负载的功率因数都在0.6左右,要求提高到0.9以上。（4）提高功率因数的措施在供电系统中，提高负载的功率因数，就是在感性负载的两端并联电容器。负载所需的感性无功功率，由就地的并联电容器产生的容性无功功率进行补偿，从而减少了由电源通过输电线路传输的无功功率，使输电线路中的电流减少，并使感性负载电流滞后电压的相位减小，从而提高了负载的功率因数。这种提高功率因数的方法，称为无功补偿，并联的电容器则称为补偿电容。设感性负载的平均功率P，功率因数为 ，工作电压为U，电网的角频率 。为了提高功率因数到

28、值，这时所需并联的补偿电容量为C，补偿前负载的复功率为1cos314rad s2cos11jQPS现并联电容器的复功率为CCQjS则补偿后的复功率为2112)(jQPQQjPSSSCC这时 ，而保持负载的平均功率P不变。21QQ （5） 补偿电容量C值的计算11QPtg22QPtg则补偿无功功率为12122()CQQQP tgtgCU移项后得出补偿电容C值的计算公式为122()PCtgtgUVUVjjjjjU17. 267.12117. 224.1346.1743.10895.3741736124176 310 )2(226-10正弦电流电路的一般分析方法与计算 复杂正弦交流电路，应用相量法进

29、行分析计算。 相量法就是应用正弦量的相量表示R，L，C元件的阻抗遇导纳形式，将时域正弦交流电路变换为相量模型。 在相量模型的基础上，根据两类约束的相量形式（ ），正弦相量交流电路响亮模型中的电压和电流相量就可以仿照直流电阻电路中分析方法来进行分析计算，如应用等效化简的方法、结点分析法、网孔分析法、戴维南定理和诺顿定理的方法和叠加定理的方法等。通过分析计算，得出相量形式的待求响应量，最后反变换为以t为函数的正弦电压和正弦电流，从而正弦交流电路中的电压和电流得以解出。,;:0,:0UZI IYU KVLUKCLI 例 用结点电压法求图示电路中电流的瞬时值 表达式。已知iVtu01601000sin210tVu1000sin262FCmHLR20,40,8解：各支路的复导纳分别为S125. 01S9002.