二重积分及其性质ppt课件

1、二重积分及其性质二重积分及其性质教学目的：二重积分及其计算教学目的：二重积分及其计算教学重点：二重积分的根本性质教学重点：二重积分的根本性质教学难点：有限与无限的转化教学难点：有限与无限的转化二重积分及其性质二重积分及其性质二重积分引入性质定义几何意义线性性区域可拆分性保序性积分中值定理设有一立体，它的底是设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域平面上的有界闭区域D 它的侧面是以它的侧面是以D的边境曲线的边境曲线为准线而母线平行于为准线而母线平行于z轴的轴的柱面柱面.顶是由二元非负连续函数顶是由二元非负连续函数表示的曲面表示的曲面z = f (x, y) 这种立体称为这种立体称为D上的曲顶

2、柱上的曲顶柱体体曲顶拄面的体积曲顶拄面的体积对于平顶柱体，即对于平顶柱体，即f (x, y)h，这里，这里h是大于是大于0的常数，有的常数，有体积体积 = 底面积底面积高高 但曲顶柱体的高但曲顶柱体的高f (x, y)在区域在区域D上是变量，当点上是变量，当点(x, y)在区域在区域D上变化时，高上变化时，高f (x, y)不时变化，因而曲顶柱不时变化，因而曲顶柱体的体积不能用上面的公式来计算体的体积不能用上面的公式来计算. 但我们可以仿照但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路求曲边梯形面积的思路.分析分析将D划分为n个小闭区域：以每个小区域为底，以它们的以每个小区域为底，以它们的边境曲线为准线作

3、母线平行于边境曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，形成许多小曲顶柱体轴的柱面，形成许多小曲顶柱体.原曲顶柱体被分割成原曲顶柱体被分割成n个小曲个小曲顶柱体顶柱体.曲顶柱体体积的近似等于曲顶柱体体积的近似等于n个小曲顶柱体的体积之和个小曲顶柱体的体积之和例题例题步骤如下：步骤如下：用假设干个小平用假设干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体例题

4、例题区域D分割得越细密，小曲顶柱体的体积和越接近体积V. 为了得到V的准确值，令n个小区域的最大直径0，那么小曲顶柱体的体积和的极限就是曲顶柱体的体积V，即iiniifV)(lim10，例题例题二重积分的定义二重积分的定义假如当这些小区域的直径的最大值趋于0时，上式的极限总存在，那么称函数f(x, y)在区域D上可积，此极限值称为函数f (x, y)在区域D上的二重积分. Dniiiifdyxf10),(lim),(例题例题注注1 要从定义来断定一个二重积分是否存在是困难的要从定义来断定一个二重积分是否存在是困难的.为为应用方便，我们介绍一个与定积分存在定理类似的结论应用方便，我们介绍一个与定

5、积分存在定理类似的结论.定理定理1 在有界闭区域在有界闭区域D上连续的函数必在上连续的函数必在D上可积上可积.特别，在有界闭区域特别，在有界闭区域D上有定义的初等函数必在上有定义的初等函数必在D上可积上可积. 因而，以后我们一般不就可积性问题展开讨论因而，以后我们一般不就可积性问题展开讨论.例题例题例题例题二重积分的几何意义二重积分的几何意义性质性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即DDdyxfkdyxkf),(),(性质性质2 函数和差的二重积分等于各函数二重积分的函数和差的二重积分等于各函数二重积分的和差，即和差，即DDDdyxgdyxfd

6、yxgyxf),(),(),(),(性质性质3 假如区域假如区域D可以划分为可以划分为D1与与D2，其中，其中D1与与D2除边除边境外无公共点，那么境外无公共点，那么21DDDdyxfdyxfdyxf),(),(),(.二重积分的性质二重积分的性质DDdyxgdyxf),(),(推论推论 dyxfdyxfDD),(),( 性质性质5 设设M和和m分别是函数分别是函数f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上的最大值和最小值，为区域上的最大值和最小值，为区域D的面积，那么的面积，那么MdyxfmD),(例题例题 性质性质4 假如在区域假如在区域D上有上有 ，那，那么么( , )( , )f x yg x y性质性质6二重积分中值定理二重积分中值定理 设函数设函数f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，为区域的面积，那么在上连续，为区域的面积，那么在D上至少存在一点上至少存在一点(,), 使得使得