第1节不定积分的概念与性质

1、123例例，xxcos)(sin ，？23)(x ，233)(xx ，233)1(xx ，233)(xCx .本章所讲的内容就是本章所讲的内容就是寻求函数的原函数寻求函数的原函数. 为此为此, 需要先回答两个问题需要先回答两个问题! ( )( ), (5.1 ) (IF xf xF xf x如如果果在在某某定定区区间间内内则则称称是是义义 .I在在区区间间内内的的一一个个原原函函数数问题：问题：(1) 原函数是否存在？原函数是否存在？ (2) 是否唯一？是否唯一？4 ( )f xII如如果果函函数数在在区区间间 内内连连续续，那那么么在在区区间间 内内存存在在可可导导( )( )( )F xx

2、IF xf x 函函数数，使使，都都有有( ), (1)(,) )(F xf xFCCx 若若是是的的一一个个原原函函数数 则则对对任任何何常常数数( )f x也也是是的的一一个个原原函函数数( )( )(2( )(), ) F xf xf xG x设设是是的的一一个个原原函函数数 则则的的任任一一个个原原函函数数, ( )( )( )F xG xF xC与与最最多多相相差差一一个个常常数数 即即(3) (1),(2)综综合合: :( )( ),( ) f xFFxxC 如如果果有有一一个个原原函函数数则则是是( )f x 的的所所有有原原函函数数的的一一般般表表达达式式5积分常数积分常数积分

3、号积分号被积函数被积函数CxFxxf )(d)(被积表达式被积表达式积分变量积分变量( )d( )f xxF xC ( )( )5.2, ) ( F xf xF xC 若若是是的的一一个个原原函函数数 则则称称定定义义为为( )f x不不定定的的积积分分, ,记记为为6例例1 1 求求.d5xx 解解65 6xx 65 d6xxxC 7解解例例2 2 求求.d112 xx,11)(arctan2xx .arctand112 Cxxx8，若若1 .|lnd Cxxx则则说明：说明：,0 xxx1)(ln ,0 x)(1 xxd ln()xxCx 1x 例例3 3 求求解解.dxx .1d1Cxx

4、x 则则，若若1 )ln( x1 dlnxxCx ln|xC ln|xC 9xyo 设设F(x)是是f (x)的一个原函的一个原函数，则方程数，则方程y= F(x)的图形是的图形是直角坐标系直角坐标系Oxy中的一条曲线，中的一条曲线，称为称为f (x)的一条的一条积分曲线积分曲线. 将这条曲线沿将这条曲线沿y轴向上轴向上或向下移动长度为或向下移动长度为|C|的距的距离，就可以得到离，就可以得到f (x)的无穷的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f (x)的的积分曲线族积分曲线族，其方程为，其方程为 xxfyd)(CxFy )(或或10它的特点是：它

5、的特点是： 在横坐标相同的点处，各积分曲线的在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是切线有相同的斜率，都是 f (x) ，即各切线平行。即各切线平行。 xyo有有时时需需要要求求 f(x)通通过过定定点点),(00yx的的积积分分曲曲线线， 即即满满足足条条件件00)(yxy 的的原原函函数数，这这个个条条件件一一般般称称为为初初始始条条件件，由由这这个个条条件件可可以以唯唯一一确确定定常常数数 C 11 xxyd2,2Cx , 1 C得得所所求求积积分分曲曲线线为为，代代入入将将2, 1 yx例例4 4解解求求函函数数xy2 过过点点)2, 1(的的积积分分曲曲线线。 xyo1

6、21yx 12作业：习题五作业：习题五(A)P1651.2.3.13(2) ( )( )df xg xx ( )d( )df xxg xx (1)( )daf xx ( )da f xx (0)aa 是是常常数数，(3) ( )d( ),f xxf x xxfxxfd)(d)(d ,)(d)( )4( CxFxxF CxFxF)()(d这些性质不难由不定积分的定义直接获得。这些性质不难由不定积分的定义直接获得。14(1)0dxC );1(1d)2(1 CxxxdlnxxCx xxde 特特别别，Cx e(3)dxax ;lnCaax (4)cos dx x ;sinCx (5)sin dx x

7、 ;cosCx 152d(6)cosxx 2secdx x ;tanCx 2d(7)sinxx xxdcsc2;cotCx 21(9)d1xx )cotarc(arctanCxCx 或或21(8)d1xx )arccos(arcsinCxCx 或或16直接积分法直接积分法分项积分法分项积分法 xxxxd) 124( ) 1 (23 xxxxd)ecos2sin( )2(例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分1732(1) (421)dxxxx 444x C 323x 321112x x 34 x dx 22 x dx 12x dx 1dx 直接积分法直接积分法分项积分法分项积分法343222

8、33xxxxC 18直接积分法直接积分法分项积分法分项积分法sin xdx + 2 cos xdx (2) (sin2cose )dxxxx xcos xsin2 Cx eexdx 19 xxxd)1( )1(2221(2) d(1)xxx 42(3) d1xxx 202(1)(1) dxxx xxxxd)2(232121Cxxx 252352342 xxxxd21221221(2) d(1)xxx xxxd)111(22 xxxxxd)1 (12222 Cxx arctan12242(3) d1xxx xxxxd11) 1)(1(222 xxxd)111(22 Cxxx arctan33xx

9、xd11124 23xya a,xya xa 1xa ln()ablnln ,ablnxalnxa sin()xy sincoscossinxyxycos()xy coscossinsinxyxy 21tan x 2sec, x 21cot x 2csc x sin2x2sincosxx cos2x22cossinxx22cos1x212sin xsincosxy1sin()sin()2xyxysinsinxy1cos()cos()2xyxycoscosxy1cos()cos()2xyxy24 xxxdcos2sin )1(三角恒等变形三角恒等变形2cos(2) d1 sinxxx xxxdc

10、ossin1 )3(22 xxxxdsincos2cos ) 4( xxdtan )5(2 xxd2sin )6(225sin2(1) dcosxxx Cx cos2三角恒等变形三角恒等变形 xxxxdcoscossin2 xxdsin226三角恒等变形三角恒等变形2cos(2) d1 sinxxx 21 sind1 sinxxx (1sin )dxx cosxxC 27三角恒等变形三角恒等变形221(3) dsincosxxx xxxxxdcossincossin2222 xxxd)cscsec(22Cxx cottan28cos2(4) dcossinxxxx xxxxxdsincossincos22 xxxd)sincos(Cxx co