23等腰三角形（一）

1、本节内容本节内容2.32.3 等腰三角形是有两边相等的三角形等腰三角形是有两边相等的三角形.另外一边叫作另外一边叫作底边底边.两腰的夹角叫作两腰的夹角叫作顶角顶角.腰和底边的夹角叫作腰和底边的夹角叫作底角底角.其中相等的两边都叫作其中相等的两边都叫作腰腰.认识等腰三角形认识等腰三角形底角底角顶顶角角BAC腰腰腰腰底边底边底角底角等腰三角形除了具有这些一般三角形的性质外，等腰三角形除了具有这些一般三角形的性质外，还有哪些特殊的性质呢还有哪些特殊的性质呢？ 做一做做一做如图如图,把一张长方形纸片按图中的虚线把一张长方形纸片按图中的虚线对折对折, AC和和AB有什么关系有什么关系?这个三角形有什么特

2、点这个三角形有什么特点?然后沿着虚线剪去一部分然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开再把它展开,得得ABC.探究探究 任意画一个等腰三角形任意画一个等腰三角形ABC， 其中其中AB =AC， 如图如图, 作作ABC 关于顶角平分线关于顶角平分线AD 所在直线的轴所在直线的轴反射，反射， 由于由于1 =2， AB=AC， 因此：因此：射线射线AB的像是射线的像是射线AC， 射线射线AC的像是射线的像是射线 ；线段线段AB的像是线段的像是线段AC， 线段线段AC的像是线段的像是线段 ；点点B的像是点的像是点C， 点点C的像是点的像是点 ；线段线段BC的像是线段的像是线段CB.从而等腰从而等腰ABC关于

3、直线关于直线 对对称称.ABABBAD由于点由于点D 的像是点的像是点D, 因此线段因此线段DB 的像是线段的像是线段 ， 从而从而AD 是底边是底边BC上的上的 .由于射线由于射线DB的像是射线的像是射线DC, 射线射线DA的像是射的像是射线线 , 因此因此BDA=CDA= , 从而从而AD是底边是底边BC上的上的 .由于射线由于射线BA 的像是射线的像是射线CA , 射线射线BC 的的像是射线像是射线 ,因此因此B C.DC中点中点DA90高高CB=结论结论 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线角平分线所在的直线. .等腰三角形的两底角相等

4、（简称等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角等边对等角”）在在ABC中，中， AC=AB（已知（已知 ） B=C（等边对等角）（等边对等角）几何语言：几何语言： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称称“三线合一三线合一”）在在ABC中，中，AB =AC, 点点 D在在BC上上1、AD BC = ， = . 2、AD是中线，是中线， ， = .3、AD是角平分线，是角平分线， ， = .几何语言：几何语言：BAD CADBD CDBD CDBAD CADAD BCAD BC做一做做一做 在在ABC中，中，AB=AC，点点D在在AC上，上

5、，且且BD=BC=AD，求求 ABC各角的度数各角的度数 . 解：解：在在ABC中，中，AB=ACABC=ACB,A+ABC+ACB=180在在ABD中，中，BD=ADABD=A，BDC=A+ABD, 即即BDC=2A 在在BDC中，中，BD=BCBDC=BCD, A+2ACB=180即即 A+4A=180A=36ABC=BCA=2A=72做一做做一做如图（如图（1）在等腰）在等腰ABC中，中，AB =AC, A = 36,则则B = ,C= .2、如图（、如图（3）在等腰）在等腰ABC中，中，A = 120则则B = ，C= .72 72 65 65 30 30 变式练习：变式练习：1、如图

6、（、如图（2）在等腰）在等腰ABC中，中，A = 50, 则则B = ，C= .3、等腰、等腰ABC中，有一个角是中，有一个角是50， 则其余两个角分别是则其余两个角分别是 。65 、65 或或50 、80 想一想想一想 如图，如图， ABC 是等边三角形，是等边三角形， 那么那么A， B，C的大小之间有什么关系呢？的大小之间有什么关系呢？因为因为ABC 是等边三角形，是等边三角形，所以所以ABBCAC,从而从而C AB由三角形内角和定理可得：由三角形内角和定理可得：ABC 60等边三角形的三个内角相等，且都等于等边三角形的三个内角相等，且都等于6060. . 由于等边三角形是特殊的等腰由于等

7、边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线是三个内角的平分线所在的直线. .例例1：已知：已知： 如图，如图， 在在ABC中，中， AB=AC， BDAC， 垂足为点垂足为点D.求证：求证： DBC= A.12DBC= BAC12解：解：作作AFBC于于FFAB=AC AFBC12CAF=BAF= BACAFBC BDACCAF+C=DBC+C=90DBC =CAF解题规律：解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是

8、一种常用的辅助线高或作底边上中线是一种常用的辅助线. .举举例例例例2 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E在边在边BC上，且上，且AD=AE. 求证：求证：BD=CE.证明证明 作作AFBC，垂足为点，垂足为点F，则则AF是等腰是等腰ABC和等腰和等腰ADE底边上的高，也是底边上的中线底边上的高，也是底边上的中线. BF=CF， BF- -DF=CF- -EF，DF=EF，即即 BD=CE.F 如图的三角测平架中如图的三角测平架中，AB=AC，在，在BC的中点的中点D挂一个重锤，自然下垂，挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点调整架身，使点A恰好在铅恰好在铅锤锤线

9、上线上.（1）AD与与BC是否垂直，试说明理由是否垂直，试说明理由.（2）这时）这时BC处于水平位置，为什么处于水平位置，为什么？练习练习1. 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，AD为为BC边上边上 的高，的高，BAC=49，BC= 4，求，求BAD的度的度 数及数及DC的长的长.答：答：BAD=24.5， DC=2.2. 如图，点如图，点P为等边三角形为等边三角形ABC的边的边BC上一点，且上一点，且APD= 80，AD=AP，求，求DPC的度数的度数.DPC =20.3、已知房屋的顶角、已知房屋的顶角BAC=100，过屋顶，过屋顶A的立柱的立柱ADBC,屋檐屋檐AB=AC,求顶架上求顶架上B、C、BAD、CAD的度数。的度数。1题题2题题3题题B =C=40.BAD