2-3随机变量的分布函数ppt课件

1、3. 泊松分布泊松分布, 2 , 1 , 0,!)( kkekXPk 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0 , 1 , 其中其中 0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的注注 1）1!)(111 eekekekXPkkkkk2泊松分布可以用来描述一些在大量试验泊松分布可以用来描述一些在大量试验中偶然出现的事件的概率分布模型。中偶然出现的事件的概率分布模型。2 , , 且概率分布为：且概率分布为：泊松分布泊松分布,记作记作XP( ).都服从泊松分布都服从泊松分布.某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数到某机场降落的飞

2、机数;一个售货员接待的顾客数一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数; 一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数；例如例如例例1 1 一家商店采用科学管理，由该商店过去一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数以用参数=5=5的泊松分布来描述，为了以的泊松分布来描述，为了以95%95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？至少应进某种商品多少件？解解: :设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,X,已知已知X服从参数服从参数=

3、5的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进某种商品设商店在月底应进某种商品m件件,求满足求满足 P(Xm)0.95的最小的的最小的m .m .进货数进货数销售数销售数求满足求满足 P(Xm)0.95的最小的的最小的m.m.查泊松分布表得查泊松分布表得P 254）,032. 0!5105 kkkeP(Xm) 0.05也即也即068. 0!595 kkke于是得于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkke或或m=9件件定理定理1（ 泊松定理）泊松定理）在在 重贝努里试验里，事件重贝努里试验里，事件A发生的次数发生的次数X, 2 , 1 , 0,!)1 (limkkeppCkknnknknnnn

4、pnnnnpplim) 10(并并且且服从二项分布，假设每次试验发生的概率为服从二项分布，假设每次试验发生的概率为，则对任一整数，则对任一整数0k有有证明：证明：knnknknnknknppknknppC )1()!( !)1(nnknkknppnnnnknnnknp)1()1()1()1(!)( 个nnnppnknknppnknnnnnknp )111()1(111!)(1很小很小. 因此，泊松定理表明，当因此，泊松定理表明，当 n 很大，很大，p 很很!)1 (keppCkknkkn 其中其中 np ekkn!注注 定理定理1的条件意味着当的条件意味着当 n很大时，很大时，pn 必定必定小

5、时有以下近似式：小时有以下近似式：例例2 海滨市保险公司发现索赔要求中有海滨市保险公司发现索赔要求中有10%是因被是因被解：设解：设X表示被盗索赔的人数，则表示被盗索赔的人数，则XB90，0.1）)50(1)5( XPXP)2()1()0(1 XPXPXP)4()3( XPXP由于由于p 相对相对n 较小，用泊松定理计算较小，用泊松定理计算033737. 014994. 0004998. 0001111. 0000123. 01 5065. 0 查泊松分布表查泊松分布表91 . 090 np 赔的概率。赔的概率。个索赔要求个索赔要求,试求其中包含试求其中包含5个或个或5个以上被盗索个以上被盗索

6、 盗而提出的，现知道某年中，该公司共收到盗而提出的，现知道某年中，该公司共收到90离散型随机变量离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为： ), 1 , 0()(nkCCCkXPnNknMNkM 则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。4. 超几何分布超几何分布(2)组合的性质组合的性质 nNknMNnkkMCCC 0 （3） 1)(00 nNnNnknNknMNkMnkCCCCCkXPMNn 注注（1当当 或或Mn 时，随机变量时，随机变量X取值另论；取值另论；定理定理2 超几何分布以二项分布为极限。超几何分布以二项分布为极限。knkknNnNknMNkMppCCCC )(1n，当，当pN

7、MN ,时，有时，有 即，固定即，固定注注 对于超几何分布，当对于超几何分布，当N较大，而较大，而n相对于相对于常用二项分布来逼近超几何分布。常用二项分布来逼近超几何分布。N较小时，较小时，例例3 一大批种子的发芽率为一大批种子的发芽率为90%，从中任取，从中任取10粒，求播种后恰好有粒，求播种后恰好有8粒种子发芽的概率。粒种子发芽的概率。解：设解：设X表示发芽的种子数，表示发芽的种子数，由于大批种子由于大批种子N相对抽取的种子数相对抽取的种子数n较大，那么较大，那么X 近似服从二项分布近似服从二项分布B10，0.9），），288101 . 09 . 0)8( CXP1937. 0 则则X服从

8、超几何分布。服从超几何分布。2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、基本概念一、基本概念x|RxX )()(xXPxF称称F (x)为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F (x)。定义定义1 设设 X 是一个是一个 随机变量，如果对于随机变量，如果对于Rx 有有1.若将若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那看作数轴上随机点的坐标，那,(x 的概率；的概率；么分布函数么分布函数 F (x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间注注3在在 中，中，xxXPxF),()(X是随机变量是随机变量, x是参变量，是参变量，F(x) 是随机变量是随机变量X取值不大于取值不大于 x 的

9、概率；的概率；P(x1X x2 ) = P(X x2 ) P( X x1 )4对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间( x1 , x2 的概率为：的概率为：2分布函数的定义域为分布函数的定义域为 ，分布函数的，分布函数的),( 值域为值域为0，1；= F(x2)-F(x1) 分布函数是一个普通的函数分布函数是一个普通的函数,正是通过它正是通过它,我我们可以用数学分析的工具来研究们可以用数学分析的工具来研究 随机变量随机变量. 若已知若已知 X 的分布函数的分布函数 F(x) ,就能知道就能知道 X 在任在任何一个区间上取值的概率何一个区间上取值的概率.从这个意义上说从这

10、个意义上说,分布分布函数完整地描述了随机变量的变化情况函数完整地描述了随机变量的变化情况.它具有它具有下面几个性质下面几个性质.xxXPxF),()(二、分布函数的性质二、分布函数的性质性质性质2 分布函数关于分布函数关于x是单调增函数是单调增函数;性质性质4 )(xF至多有可列个间断点，且至多有可列个间断点，且)(xF)(xF在间断点上在间断点上 右连续。即右连续。即)()0(xFxF 。)(1)(0 xxF性质性质10)(lim, 1)(lim xFxFxx性质性质3 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某个个R.V X 的分布函数的分布函数. 也就是说，

11、性质也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某是鉴别一个函数是否是某R.V的分布函数的充的分布函数的充分必要条件分必要条件.例例1 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为求求X的分布函数。的分布函数。0.2 0.5 0.3p0 1 2XF(x) = P(X x)解解: 21217 . 0102 . 000)(xxxxxF3 . 0120 x2 . 07 . 05 . 0OOO1)(xF一般地随机变量一般地随机变量X概率分布为概率分布为 1x2x3x1p2p 3p P X则它的分布函数为：则它的分布函数为： 111322121110)(ikiikxxxpxxxppxxxpxxxF

12、阶梯曲线阶梯曲线.它在它在 X 的一切有概率的点的一切有概率的点 处都有处都有kx可见可见,离散型随机变量的分布函数的图形是离散型随机变量的分布函数的图形是一个跳跃一个跳跃,其跃度为其跃度为 X 取值取值 的概率的概率 .而在而在 kxkp分布函数分布函数F(x)的任何一个连续点的任何一个连续点 x 上上, X 取值取值 x的概率都是零的概率都是零,这一点对连续型随机变量也是成这一点对连续型随机变量也是成立的立的.利用分布函数可以计算利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（ a ab b （ 例例2 向一半径为向一半径为2米的圆盘射击，设击中盘上任米的圆盘射击，设击中盘上任) 32(),21 (),21( XPXPXP（2）离，求：离，求：(1)随机变量随机变量X的分布函数；的分布函数；击都能击中圆盘，以击都能击中圆盘，以X表示弹着点与圆心的距表示弹着点与圆心