对面积的曲面积分ppt课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第四节 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂SzyxMd

2、),(定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性

3、质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 假设 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知由定义知Szyxfd),(kkk

4、kSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂zxDxzdzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(22 化曲面积分为

5、二重积分 设曲面的方程为zz(x y) 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在上连续 那么 xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),(22 讨论 如果积分曲面由方程yy(z x)给出或由xx(y z)给出 那么 f(x y z)在上对面积的曲线面积分如何计算?提示 对于 yy(z x) 有 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂化曲面积分为二重积分化曲面积分为二重积分要点：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元换：换面积元dS投影：将曲面投影

6、到坐标面得投影区域投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：（1这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（3将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhar

7、arr2aoxzyha山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设设上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3 计算计算 dSyx)(2222yxz 是锥面是锥面其中其中 与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解分成两部分分成两部分将将 10

8、:221 zyxz 11:222 yxz 21, 在在 xoy 内的投影区域内的投影区域1:22 yxD 1)(22 dSyx故故 Dyxdxdyzzyx22221)( Ddxdyyx)(222oxyz1:2 z 1 20102222rdrrd山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3 计算计算 dSyx)(2222yxz 是锥面是锥面其中其中 与平面与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解 1)(22 dSyx故故oxyz1:2 z 1 22 2)(22 dSyx22()Dxy dxdy220102 rdrrd 21)()(2222 dSyxdSyx

9、221 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面锥面22yxz的222yxaz2222122,.xyaza1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD那么 1d)(22SyxI山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂思考与练习思考与练习P219 题1；3；4(1) ; 解答提示解答提示:P219 题1.SzyxzyIxd),()(22P219 题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设那么0山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂P219 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yx