2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题

1、2020届北京市西城区第四中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1 . tan690o 的值为()A, 3B.晅C,与D. V3【答案】C【解析】试题分析：因tan6900 tan(7200 300)tan 3004,故应选C.【考点】诱导公式及运用.2 .设数列an是等差数列，若a3+a4 + a5=12,贝U ai+a2+ a7=()A. 14B. 21C. 28D. 35【答案】C【解析】根据等差数列性质得到a4 4,再计算为 a2a? 7a4得到答案.【详解】数列an是等差数列，则a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 ；a a?a7 7a4 28故选：C【点睛】本题考查了等差数

2、列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用3 .设应.以，则“比 =小冷”是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】sina = rasa .得值=#jt + ： , #sin2a =1 成立；若0m2cl = 1，得阿=上元+2 ,得！dn口二。小，即可判断.【详解】若31rL = c。致' 则 tanct =乙1=4五 + 3 ，得 1口2以=5m2 （蔬 + = sin ； = / 成立;反之,若幻口2仪=1,则Zz =2匕t,：以=上兀+ ：,得sina cosa 故,如北 3口”是7质2d-，”的充分必要条件.

3、故选：C.【点睛】 本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“smE = co5凡”推出a4.定义：csin2a =1"z 1ad bC，若复数z满足i i 1 2i，则2等于（A. 1+ iB. 1 iC. 3+ iD. 3- i【答案】Bz 1【解析】根据定义得到 .i izi i ,代入数据化简得到答案【详解】z 11 i根据题意知：.zi i 1 2i z1 i i ii故选：B【点睛】 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力5 .已知集合 Mx|x 1 2,x R,Px-5- 1,x Z ,则MIP等于（）x 1A. x0 x 3,x ZB. x0 x 3,x

4、ZC. x 1 x 0, x Z【答案】B【解析】解绝对值不等式可得集合 M,解分式不等式可得集合P,即可求得M I P【详解】集合 Mx|x 1 2,x R解绝对值不等式x 1W2,可得M x 1 x 3集合 P x- 1,x Z x 1解分式不等式三1，x Z,可得Px| 1 x 4,x Zx 1则 M P x 1 x 3 x 1 x 4,x Z x 0 x 3,x Z故选:B【点睛】 本题考查了集合交集的简单运算，绝对值不等式与分式不等式的解法，属于基础题。6.在同一坐标系内，函数f(x) 2x1,g(x) 21x的图象关于()A .原点对称B . x轴对称C. y轴对称 D .直线y=

5、x对称【答案】C【解析】因为g(x) 21 x f( x),所以两个函数的图象关于y轴对称，故选Co1 l x 1)7 .函数y 2在点P (2, k)处的切线是()A. x2y = 0 B. x y 1=0 C. x2y 1=0 D. 2x 2y 3 = 0【答案】C t.1,11,、e【解析】求导得到y 2TT，当x 2时，y -，y'万，计算得到切线方程【详解】1 ln (x1)2112TT，当 x 2时，y 2，y' 11故切线方程为：y a x 22 x 2y 1 0故选：C【点睛】 本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力8 .函数时在定义域*内可导，若&

6、quot;""且当I时,（一面合。，设）的匕行“则（）0工 b v cc c a hc c h <. ahcc c aA.B.C.D.【答案】B【解析】解：xC (-8, 1)时，x-1 <0,由(x-1 ) ?f (x) <0,知 f (x)>0,所以(-8, 1)上f (x)是增函数.f (x) =f (2-x ),. f (3) =f (2-3) =f (-1 )所以 f (-1 ) < (0) <因此c<a<b .故选B.2.9 .已知f x是定乂在R上的周期为4的奇函数，当x 0,2时，f x x lnx,贝(J f

7、 2019()A.1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由函数y f x的周期性和奇函数的性质可得出f 2019 f 1 f 1 ,代入解析式可得出f 2019的值.【详解】由于函数y f x定义在R上的周期为4的奇函数，且当x 0,2时，f X X2 1n X,f 2019 f 4 505 1 f 1 f 112 1n11 ,故选 A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.10 .设函数f (x)73sin -x ,若存在f (x)的极值点x

8、0满足x02+ f (x0) 2<m2,则m的取值范围是()A. (-°°, -6) U (6, + °°)B. (-°°, - 4) U (4, + °0)C. (-8, - 2) U (2, +8)D. ( OO, - 1) u (1, +oo)【答案】C【解析】求导得到f' x 出一cos，计算得到x。m mk,k Z,代入式子 m m2化简得到,2,32k k二m 3 0,取k 0或k 1时计算得到答案.4【详解】73sin 则 f'm '八x0mk, k Z2故 f' x0.3

9、 cos x0 0 x0 一 km m m 22 一一/、.22xo f (x0) m2m .八 2mk 3 m2232k k - m 3 0, k Z 4故选：C【点睛】3 21 时得, 一m 30m 2 或 m 2 4本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力二、填空题111 .函数f (x) 10gl(2x 1)的定义域是 L21【答案】(2, 0) U (0, +8).2x 1 0【解析】根据定义域定义得到10gl(2x 1)0计算得到答案.2【详解】函数f x110gl (2x 1)的定义域满足:22x 1 010gl(2x 1) 0 x2?00,故答案为:1-,00

10、,2【点睛】 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力12 .曲线y ex在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积2 e【解析】解析：依题意得y'=ex,因此曲线y=ex在点A (2, e2)处的切线的斜率等于e2,相应的切线方程是y-e 2=e 2 (x-2 ),当x=0时，y=-e 2即y=012 e时，x=1 ,切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S -2 e2 1 -213 .已知等比数列an的公比为2,刖0项和为Sn则 =a2a2-【解析】由等比数列的止义，S4=a1 +a2 + a3+a4= "q +a2+ a2q +a2q2 ,S4a21& +

11、 1 +q+q2 =15214 .如图，设A, B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，在A所在的河岸 边选定一点C,测出AC的距离为50 m , ZACB =45 ° ,/CAB =105 °后，则A , B两点的距离为 m50 V万就【答案】一学吧= 502 【解析】由正弦定理得诬许一次-犷)15.已知函数f(x) xlnx x2,且xo是函数f(x)的极值点。给出以下几个命题:_10 x0 e ； f(x0)xo 0； f(xo) xo 0其中正确的命题是 (填出所有正确命题的序号)【答案】.【解析】试题分析：/(幻的定义域为工>。，/,(x)=h + 2x +

12、 l ,所以有/也)二山/+X+1=0 ,所以有二七二- 即必冷4-1即In七In ,所以有0天<-；"4) + %三维由国+工+若=/血七+不+H S因为2&=Tin 2 - 1),所以有八%) 十维=/M 维/ + + 1)=一为* <0 0【考点】导数在求函数极值中的应用16 .设函数f (x)2x a,x< 14( x a) (x 2a) , x 1若a=1 ,则f (x)的最小值为;若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是 L【答案】-11 a<1,或a>2.2【解析】分别计算x 1和x 1的最小值，比较得到答案.设 h (x)

13、=2x-a, g (x) =4 (x - a) (x-2a),讨论 h x 有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案.【详解】当a=1时，f (x)2x 1, x< 14( x 1) (x 2) , x 1当 x<1 时，f (x) =2x - 1 为增函数，f (x) > - 1 ,当 x 1 时，f (x) =4 (x1) (x2) =4 (x2 3x+2) =4 (x |) 2 - 1 ,3一.3一当1<x<2时，函数单调递减，当x>2时，函数单调递增，.3 ,3故当x 2时，f (x) min=f ("2)= - 1,故取小值为1设 h

14、(x) =2x-a, g (x) =4 (x-a) (x-2a)若在x<1时，h (x)与x轴有一个交点，所以 a>0,并且当 x=1 时，h (1) =2-a>0,所以 0<a<2,而函数g (x) =4 (x-a) (x-2a)有一个交点，所以2a>1 ,且a<1 ,所,1以2 a<1,若函数h (x) =2x- a在x<1时，与x轴没有交点，则函数g (x) =4 (x-a) (x-2a)有两个交点，当a<0时，h (x)与x轴无交点，g (x)无交点，所以不满足题意(舍去)，当h (1) =2-a&0时，即a>2

15、时，g (x)的两个交点满足x1 = a, x2 = 2a,满足题意的 1综上所述：a的取值沱围是2 2<1,或2>2.一1故答案为：-1; - a<1,或a>2.【点睛】本题考查了函数的最值和函数的零点问题， 意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、解答题17.已知：an是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3 = 7,且ai+3 ,3 a2, a3+4构成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn = log 2a3n+1 ,求数歹bn的前n项和Tn .3 一【答案】(1) an = 2n 一1，n CN (2) Tn=2 (n2+n)【解析】(1)直

16、接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.(2)计算得到bn 3n,直接利用等差数列求和公式得到答案.【详解】(1) an是公比q大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S3 = 7,可得a1(1+q + q2) =7,a1 +3 , 3a2, a3+4 构成等差数列，可得 6a2 = a+3+ a3+4 ,即 6a1q =a1+ aq2+7 ,由可得 a1 = 1 , q=2,则 an = 2n-1，n C N ;(2) bn 10g2a3n1 10g2 23n 3n ,数列bn的前 n 项和 Tn = 3 (1+2+ + n) =3 1n (n+1)3 (n2+n).【点睛】本题考查了等比

17、数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.18 .设函数f(x)=sin(2 x+小)(一冗 小0) , y =f(x)图象的一条对称轴是直线 x一8 .求M(2)求函数y = f(x)的单调增区间;画出函数y = f(x)在区间0 ,九上的图象.3.5A,【答案】(1) -；(2)k 8，k至；(3)图象见解析.k 2，k Z2，k ZVk Z-【解析】解：(I) vsin(2 -)1,84.°,3-. 4 分4 3.3(II) y sin(2x 亍).由 2k 万 2x ： 2k得函数y sin(2x 3-)的单调增区间为k ,k48“3、(田)由 y si

18、n(2x )知x08385878y金 210102故函数y f(x)在区间0,上的图象如图所示.511 I I I I: i t I"5 TT"T"T"l "T"r"r19 .已知函数 f (x) x alnx(a R).(I)当a 2时，求曲线y f x在点A(1,f(1)处的切线方程；(H)求函数f x的极值.【答案】(1) x+y 2 = 0; (2)当a00时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x =a处取得极小值a-aln a无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0 , +00),，仅)=1

19、a . x(1)当 a = 2 时，f(x) =x 2ln x ,f'(x) =1 2(x>0), x因而 f(1) =1 , f'(1) = 1 ,所以曲线y = f(x)在点A(1 , f(1)处的切线方程为y-1 = (x 1),即x + y 2 = 0.由 f '(x) = 1 a = -一a , x>0 知： x x当a<0时，f'(x)>0 ,函数f(x)为(0, +8)上的增函数，函数f(x)无极值；当a>0时，由f'(x) =0,解得x = a,又当 xC(0 , a)时，f'(x)<0 ；当

20、x C (a , +oo)时，f x)>0 ,从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a) =a aln a ,无极大值.综上，当a<0时，函数f(x)无极值;当a>0时，函数f(x)在x = a处取得极小值a- aln a ,无极大值.20 .(本小题满分12分)4在ABC中，内角A,B,C对边分别是a,b,c,若cosB -,b 2.55(1)当a -,求角A的度数；(2)求ABC面积的最大值。3【答案】(1) A 30 . (2) 3.【解析】第一问利用正弦定理得到 QcosB4, sinB 3,Qa-55 sin Absin B53sin AQb1 2a2

21、 c2 2accosB, 4 a2282c ac a5c2 162153 sinA 2,Q- 2, A (0,2), A 30.5一 、一，_ _ 13弟一问中 QSacsinB -ac,21020, a10 c2 20 2ac, ac 1043 a b解：(1) QcosB -, sin B -,Q55sinA sin B53sin A2-15。sin A ,Q - 2, 3235A (0,-), 230 .o(2) QSQb2a2 c2 2accosB, 4 a2282c ac a5c2 1622_22_得 a c 20, a c 20 2ac, ac 10所以ABC面积的最大值为3.。1

22、2分21 .某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销 3x1量Q (万件)与厂告费x (万元)之间的函数关系为 Q - (x>0).已知 x 1生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的 150% ”与“年平均每件所占广告费的50% ”之和(注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入").(1)试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？2 一 x 98x 35. -».【答案】(1)

23、w x ,，企业亏损(2)当年广告费投入7万元时，企2( x 1)业年利润最大9 96Q x【解析】(1 )先计算售价为,再计算利润为2 Q9 96Q x 一 八一w Q x 3 32Q ,化简得到答案 2Q1 ,64 八一，一(2)化简得到w - (x 1) - 50 ,利用均值不等式计算得到答案2x 1【详解】(1)由题意，每件售价为3 ；2Q 150%Qx50% Q9 96Q x2Q9 96Q xwx q x 3 32Q2Q9 96Q x 2x 6 64Q22 一 x 98x 352(x 1)则当x = 100时，w 10002 9000 35< 0,故企业亏损.(2) w2 一 x 98x 352(x 1)164一(x 1)50 50 8 422x 1(当且仅当x = 7时等号成立)故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力22.已知：函数 f (x) =2lnx axx x23 x x2 2 x1x2 In不用，设h t t ln t得到函数的取小值得到不等式(x1+x2)2+3 (x+x2)>2,计算得到答案.【详解】(1) Vf (1)