微积分定积分ppt课件

1、微 积 分6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念6.2 6.2 定积分的性质定积分的性质6.3 6.3 微积分基本公式微积分基本公式6.4 6.4 定积分的换元积分法定积分的换元积分法6.7 6.7 定积分的几何应用定积分的几何应用6.5 6.5 定积分的分部积分法定积分的分部积分法6.6 6.6 反常积分与反常积分与函数函数6.8 6.8 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中的应用;问题的提出问题的提出存在定理存在定理小结小结 思考题思考题6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念定积分的定义定积分的定义定积分的几何意义定积分的几何意义;abxyo曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实

2、例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)(xfy A=?;abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）;xyab1x2x下和下和 上和上和SS)(xfy 下和与上和下和与上和 ;观察下列演示过程，注意当分割加细时，上和观察下列演示过程，注意当分割加细时，上和 、下和下和 、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积A这三者之间关系；

3、并考这三者之间关系；并考虑上和虑上和 及下和及下和 的极限的极限S与与A的关系。的关系。SSSS;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关

4、系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加

5、细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系;,1210bxxxxxabann 内内插插入入若若干干个个分分点点，在在区区间间abxyoix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间(1) 分割分割;，上任取一

6、点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 ()iifx 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx (2) 取近似取近似abxyoi ix1x1 ix1 nx)(if 它可以近似代替小曲边梯形的面积它可以近似代替小曲边梯形的面积, 即即()iiiAfx ;01lim()niiiAfx 1maxiinx 曲边梯形面积为曲边梯形面积为(3) 求和求和n个小矩形面积的和就是曲边梯形的面积个小矩形面积的和就是曲边梯形的面积A的近似值的近似值11()nniiiiiAAfx (4) 取极限取极限当分割无限加细，即小区间的最大长度当分割无限加细，即小区间的最大长度趋

7、近于零时，趋近于零时，n （这这时时）问题：问题：0n 与与是否是一回事？是否是一回事？;实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路的近似

8、值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值程的精确值;（1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3求和求和iinitvs )(1 （4取极限取极限12max,nttt 01lim()niiisvt (路程的精确值路程的精确值)（2取近似取近似,1iiitt 第第i个时间段的长度个时间段的长度:其中其中;二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义有界，有界，个个小小区区间间，分分成成了了把把区区间间nba, i1ix,x在在各各小小区区间间,i上上任任取取一一点点),2 , 1(nixxx1iii各小区间的长

9、度依次为各小区间的长度依次为)2 , 1()(nixfii作作乘乘积积上上在在设设函函数数,)(baxf中中任任意意插插入入在在,ba个个分分点点1n1,iiixx 分分割割，也也在在小小区区间间上上点点不不论论怎怎样样选选取取，bxxxxxann 1210如果不论对如果不论对a,b怎样怎样1()niiiSfx 并并作作和和 ;记为记为( ),baf x dx 即即只要当只要当0时，和时，和S总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I，则称，则称这个极限这个极限 I 为函数为函数f (x)在区间在区间a,b上的定积分，上的定积分， baIdxxf)( 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分

10、变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和01lim()niiifx ;留意：留意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.; 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，三、存在定理三、存在定理且且只只有有有有限

11、限个个间间断断点点，;对定积分的补充规定对定积分的补充规定:阐明阐明 在后面的性质中，假定定积分都存在，在后面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小;ab, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A badxxf)(四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义 4321AAAA;几何意义：几何意义： 轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号上上方方的的面面积积取取正正号号；在在轴轴数数和和在在之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代的的图图形形及及两两条条直直线线轴轴、函函数数定定积积分

12、分是是介介于于xxbxaxxfx ,)(ab;例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx ;nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 ;证明证明12nnfffnnn 12lnennfffnnn nnnnfnfnf 21lim试证试证10ln( )e.f x dx 利用对数的性质得利

13、用对数的性质得极限运算与指数运算交换顺序得极限运算与指数运算交换顺序得;11limlnenniifnn 11limlnenniifnn 12lim lnennnfffnnn 分割是将分割是将0,1n等分，分点为等分，分点为, (1,2, )iixinnnnnnfnfnf 21lim指数部分为：指数部分为：lnf(x) 在区间在区间0,1上的一个积分和上的一个积分和.;nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim10ln( )e.f x dx 因为因为)(xf在区间在区间 1 , 0上连续，且上连续，且0)( xf所所以以)(lnxf在在 1 , 0上上有

14、有意意义义且且可可积积 ,;例例3 3 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分点点 12, nqqq,典型小区间为典型小区间为,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii; niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 ;五、小结五、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积