2020届河北省衡水市武邑县高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

1、2020届河北省衡水市武邑县高三上学期12月月考数学（理）试题、单选题-，一， 一2,-一 -，1 .设集合 A 1,2,4 ,B xx 4xm0.若 AB 1,则 B()A. 1, 3B, 1,0C, 1,3D. 1,5【答案】C 2【解析】集合 A 1,2,4 , B x| x 4x m 0 , A B 1x 1是方程x2 4x m 0的解，即1 4 m 0.m 3 22B x | x 4x m 0 x | x 4x 3 013 ,故选 C2.已知复数4 3 bi, Z2 1 2i,若亘是实数，则实数b的值为()Z2A. 0 B.3 C. 6 D,6232b6 b iR,所以5【答案】CZ

2、13 bi 3 bi 1 2i【解析】试题分析：刍屋巴 z21 2i56 b 0 b 6 .故C正确.【考点】复数的运算3 .设m , n是两条不同的直线,是两个不同的平面，是下列命题正确的是 （）A.若 m/ , n/ ，则 m/nB.若 / , m , n ，则 m/nC.若 I m,n ,nm,则nD.若 m , m/n , n ，则【答案】D【解析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果【详解】A选项，若m/ , n/ ，则m,n可能平行、相交、或异面；故 A错；B选项，若 / , m, n ，则m,n可能平行或异面；故 b错；C选项，若 I m , n , n m,

3、如果再满足，才会有则n与 垂直,所以n与不一定垂直；故c错；D选项，若m ,mn,则n，又n,由面面垂直的判定定理， 可得故D正确.故选D【点睛】 本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.4.若直线y 2x的倾斜角为 ，则sin2的值为()4443A. B.C.D.-5555【答案】B【解析】根据题意可得：tan =- 2,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan = - 2代入计算即可求出值。【详解】由于直线y2x的倾斜角为，所以tan = - 2,.c c .2sin cos 2 tan2 24则 s

4、in 2 2sin cos22- 2 2-sin2 cos2 tan21( 2)2 15故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键。5.已知mn是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（A.，则 mPnB.，则mPC.，贝U nPD.【解析】两个平行平面中的两条直线可能异面,A错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行， B正确；C中直线n也可能在平面 内,C错；任面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不定是直二面角,D错.故选C.6.已知sin3cos,则 tan

5、2 6A.473C.4.3【解析】用和差角公式展开sin一,cos 3一，求得tan6后再算tan2即可.由有sincos cos3sin 33(coscos 6sin sin),故-sin2. 3cos23.3一 cos 23 一 sin2，合并同类型有2sin3 cos显然cos0所以tan3 的 tan 2，故22 tan故选：Atan234.3【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，包括和差角公式与二倍角公式等，属于中等题型7.函数y log i (sin 2xcos cos2xsin )的单调递减区间是44A. (kC. k8,k8,k5r)，kZ3r)，kZB. (kD. k8,k

6、,kVk Z8 y),k Z 8【解析】分析：首先利用差角公式将解析式化简，应用复合函数单调性法则，结合对数1式的底数是一，从而得到应该求 u sin(2x )的增区间，并且首先满足真数大于零24的条件，从而得到 2k 2x 2k 一,化简，最后求得其结果为42一 ,3 、， 一k -,k -),k Z ,从而确定选项.88详解：根据题意有 ylog 1 sin(2 x -)所以要24log 1 (sin 2xcos cos2xsin )244求 sin(2x -)0 ,结合复合函数单调性法则，实则求sin(2x )的增区间，所43-8-,所以函数的单调减区间【解析】构造函数f x以有 2k

7、2x 2k ,解得 k x k 428一， ,3 、，)是k -,k-),k Z,故选 B.88点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简 函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过 程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得 结果.8. ,£,2 ,且 sin sin 0,则下列结论正确的是()22A.B.0C.D .【答案】Dxsinx,利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项【详解】构造 f x xsinx 形式，则 f x sinx xcosx , x 0,

8、 时导函数 f x 0,2f x单调递增；x,0时导函数f x 0, f x单调递减.又Q f x为2偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.1 29.若函数f x x 2x aInx有两个不同的极值点，则实数 a的取值范围是（ ）A. a 1B. 1 a 0 C. a 1D. 0 a 1【答案】D【解析】 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可.f x的定义域是（0 , + 8）,2x 2x ax若函数f x有两个不同的极值点，-2则g x x 2x a在（0, +8

9、）由2个不同的实数根,4 4a 0故 2 ,4 4a ，解得：0 a 1, x1 02故选D.本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题.10 .定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 3) f(x),对Xi,X2 0,3且xi X2,f (x1) f (x2) c都有0,则有()xi X2A. f(49)f (64)f (81)B. f(49)f (81)f (64)C. f(64)f (49)f(81)D. f(64)f (81)f(49)【答案】A【解析】试题分析：因为f(x 3) f(x),所以f (x 6) f(x 3) f x ,及f x是周期为6的函数

10、，结合f(x)是偶函数可得，f (49) f 1 , f (64) f 2 f 2 , f (81) f 3 f 3 ,再由 入冬 0,3f (x1) f (x2)八且 x,x2, 0 得 f(x)在0,3上递增，因此 f (1) f(2)f(3),即X x2f (49)f(64) f (81),故选 A.【考点】1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.11 .杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列:1 ,

11、 1 , 1 , 1 , 2, 1 , 1 , 3, 3, 1 , 1 , 4, 6, 4, 1 .记作数列 an ,若数列 an的前n项和为Sn ,则S47()A. 265B. 521C. 1034D. 2059【答案】B【解析】先计算出杨辉三角中第 47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和,然后再求其前47项的和.【详解】根据题意杨辉三角前 9行共有123456789 45故前47项的和为杨辉三角前 9行的和再加第10行的前两个数1和9 ,所以前47项的和S47 20 21 2228 1 929 1 1 9 521故选B项.【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题

12、12 .已知奇函数f(x)是定义在R上的连续可导函数，其导函数是 f (x),当x 0时,f (x) 2 f (x)恒成立，则下列不等关系一定正确的是 222 - _A. e f(1) f (2)B. e f ( 1) f (2) C. e f ( 1)f(2)D. f ( 2)e2f( 1)【答案】C,、f(x),、f (x) 2f(x)【解析】构造函数g(x)-2,所以g (x)' ' 2x 0 ,即函数在(0，)上ee2 一一单调递减，又f(x)为奇函数，所以g(1) g(2)即e f(1) f (2),所以2e f 1 f 2 ,故选 C.、填空题4513 . ABC的

13、内角A, B,C的对边分别为a,b,c,若cosA - ,cos B 一，a 1,则513b L20【答案】 一13【解析】先根据同角三角函数关系得sin A,sin B,再根据正弦定理求结果45 ,Q cos A ,cos B 一, A, B (0, ) sin A 513士sin B 51213由正弦定理得b12asinB 13 60 20sin A339 135故答案为:2013本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析与求解能力，属基础题r14 ,已知向量arr r3x,2 ,b 6,x 满足 agb【答案】-2【解析】把已知式agb agb用坐标表示出来即可解得 x .【详解

14、】r rr. r aaagb , 18x 2x,9x2 4 Jx2 36，解得 x 2 (舍去 x 2).本题考查数量积的坐标运算，考查模的坐标运算.属于基础题.15 .在平面内，三角形的面积为 S ,周长为C ,则它的内切圆的半径 -.在空间 C中，三棱锥的体积为 V,表面积为S ,利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R 3V【答案】 一S3v【解析】 试题分析：若三B隹表面积为 S,体积为V,则其内切球半径r 一”证明如 s下：设三棱锥的四个面积分别为：Si,S2, S3,S4 ,由于内切球到各面的距离等于内切球的半径1 -1 -1 -1 -1 -.V

15、Si rS2 rS3rS4rSr333333V，内切球半径rS【考点】类比推理16 .已知四边形ABCD为矩形，|AB = 29 -4M为AB|的中点，将ADM|沿I W折起 得到四棱锥,1 dmbc|,设，c的中点为卜,在翻折过程中彳导到如下有三个命题：BN7平面ADkf,且BN的长度为定值 小；三棱锥N-DMd的最大体积为竽；在翻折过程中，存在某个位置，使得 其中正确命题的序号为 （写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】取AD的中点反连接证明四边形BmeM为平行四边形，得出BN巫M, 可判断出命题的正误；由 卜为的中点，可知三棱锥 N-DMC的体积为三棱锥 回DkQ的一半，并由平面5平面

16、BCDA1 ,得出三棱锥% 口卜式体积的最大值， 可判断出命题的正误；取的中点怔，连接|af,由eLdm,结合A0 1DM得出 |DM 1平面%CF,推出|dM 1 CF得出矛盾，可判断出命题的正误 .【详解】如下图所示:对于命题，取）1口的中点E,连接EM：、EN|,则AD Al 2, Afi 1,£MF -90 ,由勾股定理得|eM =,百十AM = 6 ,易知BM/fCD,且皈=为，产球N分别为%。、凡匚的中点，所以，EN&CD,，,四边形BMER为平行四边形，|BN - EM = vS, IBN/EA1,*J BNd平面ARM, EMU平面kD'：,、bn&#

17、39;平面ARM,命题正确；对于命题，由N为A】C的中点，可知三棱锥 N-DMC的体积为三棱锥J-DR1C|的一半,当平面1平面BCDM时，三棱锥八 DVC体积取最大值，取 DM 的中点 F,则八 iF,DM,且 AF=!l»4 = ：x2d2 =忑，丫平面%DZ平面BCDM ,平面Apz 口平面BCDM = DM，、口 1 DM ,F仁平面ADM, 二人代1平面BCDMl,|DklC的面积为 SmC = CD BC = - 4 2=4,所以，三棱锥八1 DMC的体积的最大值为一 F=；加岑,则三棱锥N-DZC的体积的最大值为 辛，命题正确；对于命题，%D = AN,也为DM的中点，

18、所以，（AFDM,若Ag ,DM,且ACri'F %,'，口卜口 平面AgF,由于CF匚平面hCF,事实上，易得CM二CD = 4 ,CM2 + DM2 = CD2,由勾股定理可得CM 1 DM ,这与CF人DM矛盾，命题错误.故答案为：本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题 J,x R.4三、解答题17 .设函数 f(x) sin 3- x sin x(I )求f (x)的最小正周期和对称中心;(H)若函数g(x)

19、 f x z ,求函数g(x)在区间一上的最值.3(I)(II ) g ( x) max(I)把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期,再由2xk求得x值，可得函数的对称中心;(n)求出g(x)的解析式,得到函数在区间-上的单调性，则最值可求.6 3(l)由已知，有 f xcosx sinx 3 cosx.3cos2x221 -sinx cosx 2、32一 cos x21 .八 sin2x 4,3 . c1 cos2x41 .八 -sin2x42 cos2x 42x 31 . sin 2最小正周期为T(n)由 g(x)一 、一，、1 .f(x 7),得 g(x) :Sin

20、Qx -), 6,6时，2x 6当 x -,-m-, 2x 公6 361g( x) max g () 二.62一,可得g(x)在区间一,一上单调递增, 626 6, ,可得g(x)在区间,上单调递减.2 ' 66 3g(T) 31 一、 1, g(x)min 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y Asin( x)型函数的图象和性质，是中档题.18 .设等差数列an前n项和为Sn,满足S44s2,8917.(1)求数列an的通项公式；一、 b b2(2)设数列bn满足一 一, a1 a2【答案】(1) an 2n 1 . (2) bnbnan12",求数列 bn的通项公式2n

21、2n【解析】(1)利用基本元的思想，将已知条件转化为a1,d的形式列方程组，解方程组求得ai,d ,进而求得数列an的通项公式.bn(2)利用“退1作差法”求得 一的表达式，进而求得数列 bn的通项公式. an(1)设等差数列an首项为a1，公差为d .由已知得4 al 6d 8al 4da. 1，解得a9 a18d 17d 2于是 an 1 2(n 1) 2n 1 .bi . 1(2)当I 1 2b 111当 n 2时，a； (1 7(1 77)a当n 1时上式也成立.bn1日 n2n 一 1 2n 1故 bn ” an2n【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的计算，考查“退

22、 1作差法”求数列的通项公式，属于基础题19 .如图,菱形ABCD的边长为12,BAD 60o ， AC与BD交于。点.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B ACD ,点M是棱BC的中点,DM 6.2 .（I）求证：平面ODM，平面 ABC ;（II）求二面角 M AD C的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）3 9331【解析】试题分析：（I ）利用菱形的性质与勾股定理推出 OD 平面ABC ,从 而利用面面垂直的判定求证即可；（H）以。为原点建立空间直角坐标系， 然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面 MAD与ACD的法向量，进而 利用空间夹角公式求解即可.（I）证明：Q A

23、BCD是菱形，AD DC,OD ACADC 中，AD DC 12, ADC 120o,OD 6又M是BC中点， OM -AB 6,MD 6石22_2_ 2QOD OM MD , DO OMOM , AC 面 ABC,OM AC O, OD 面 ABC又Q OD 平面ODM平面ODM，平面ABC(n)由题意,OD OC,OB OC,又由（i）知 OB OD 建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知D 6,0,0 ,A 0, 6 .3,0 ,M 0,3 .3,3uuuruur _设平面MAD的法向量rm x, y,z ,则r uuuu mAM 0 r uuir m AD 0即9、3y 3z 06x

24、6、3y 0故 AM0,9、3,3 ,AD6,6 . 3,0x 3,z 9所以，m 3,3,9r由条件易证OB 平面ACD ,故取其法向量为n 0,0,1r r 所以，cos m, nm n 3i3 m n 3i由图知二面角M AD C为锐二面角，故其余弦值为3.9331点睛：高考对二面角的考法主要是以棱柱和棱锥为载体进行考查，通常可采 用两种方法求解，一是传统法，即通过作出二面角的平面，然后计算，其过 程体现“作、证、求”；二是利用几何体的垂直关系建立空间直角坐标系， 通过两个平面的法向量所成角来求解.BCD=120 .20 .如图，在平面四边形 ABCD中，AB= 4, AD= 2, BA

25、D=60S= 2 73 sin (2 0+3073,结合范围0° <e<60,利用正弦函数的性质可求S的取值范围.(1)在4ABD中，因为AB 4,AD2,BAD 60则 BD2 AB2 AD2 2ABADcosBAD 16 412 - 12,所以2若BC 2J2,求 CBD的大小；(2)设ABCD的面积为S,求S的取值范围.【答案】(1) CBD 15 . (2) (0,，3【解析】(1)在4ABD中，由余弦定理可求 BD的值，进而在 BCD中，由正弦定理可、5求 sin/CDB ,求得/CDB,即可得解/ CBD = 60 £DB = 15 .(2)设/CB

26、D= 0,则/CDB = 60° -0.在ABCD 中，由正弦定理可求 BC= 4sin (60 -0),利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求BD 2.3.在VBCD中，因为BCD 120 ,BC2 . 2, BD2.3由 一BC - 一 sin CDB sinBD-,得 sin CDBBCDBCsinBDBCD212 sin120222、3则 CDB 45 .所以 CBD 60CDB 15 .(2)设 CBD，则 CDB 60BC BD在VBCD中,因为sn65 而20 4，则的4sin 60所以sinS 1BD BC sin CBD 4、.3sin 60 sin 4、,

27、 3 吏cos -sin 2223sin 22、,3sin2 3sin 23(1 cos2 ) 3sin 2.3cos2 .323sin 23073.1因为 060 ,则 30230150 ,- sin 2301 ,所以 0 s2故s的取值范围是(0,J3【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.x221 .已知函数 f(x) xe a(x 1) (a R)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) (0,)【解析】(1)

28、先求导数，再讨论导函数零点，最后根据区间导函数符号确定单调性，(2)结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数，即得结果【详解】解(1) f (x) (x 1)ex 2a(x 1) (x 1)(ex 2a)''(i) a 0 时，当 x (, 1)时，f (x) 0；当 x ( 1,)时，f (x) 0所以f(x)在(，1)单调递减，在(1,)单调递增；(ii) a 0 时1若a 一,则f(x) (x 1)(ex e1),所以f(x)在(，)单调递增；2e.1,ln( 2a) ( 1,)时，f (x) 0,ln( 2a),( 1,)单调递增，在1) (ln( 2a),),

29、f (x) 0,1),(ln( 2a),)单调递增，在若a ，则ln( 2a)1 ,故当x (2ex (ln( 2a), 1), f (x) 0 ；所以 f(x)在(ln( 2a), 1)单调递减；1若 a ，则 ln( 2a)1,故当 x (2ex ( 1,ln( 2a) , f (x) 0 ；所以 f(x)在(1,ln( 2a)单调递减;(1,)单调递增；)单调递增，在(ln( 2a), 1)单调递减;)单调递增，在(1,ln( 2a)单调递减;,1)单调递减，在(1,)单调递增，综上：a 0时，f(x)在(，1)单调递减，在1a 时，f(x)在(，)单调递增；2e1a 一时，f(x)在(

30、,ln( 2a),( 1, 2e1a 一时，f(x)在(，1),(ln( 2a), 2e(2) ( i)当 a>0,则由(1)知 f(x)在(. . .1a又 f(1) 0, f(0) a 。，取 b 满足 b 1,且 b 2 ln一,e2则 f(b 2) a(b 2) a(b 1)2 a(b2 3b) 0,所以 f(x)有两个零点22(ii)当a=0,则f (x) xex,所以f(x)只有一个零点41，(iii)当a<0,若a ,则由(1)知，f(x)在(1,)单倜递增.又当x 1时, 2ef (x) 0 ,故f(x)不存在两个零点1a 一，则由(1)知，f(x)在(1,ln( 2a)单调递减，在(ln( 2a),)单调递增， 2e又当x 1, f(x)<0,故f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0,).考查分类讨论思想方法以及综合分析本题考查利用导数研究函数单调性以及函数零点,求解能力，属难题.22 .选