2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学(理)试题2z其中i为虚数单位，则 z ()1 iB. ,3C. 2D. ,2一、单选题1 .已知复数A. ,5【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.【详解】22 1 i解：z 1 i ,1 i 1 i 1 i则 z 7T7 22.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题2 .函数y 也 x2的定义域为 A,集合B x log2 x 11 ,则AI B ()A. x 1 x 2B. x 2 x 2C. x 2 x 3 D, x 1 x 3【答案】A【解析】

2、根据函数定义域得集合A,解对数不等式得到集合 B ,然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数y " x2得4 x2 0,解得2 x 2,即A x 2 x 2 ；又 log2 x 11 log2 2,解得 x 1 ,即 B x x 1 ,则 A B x1 x 2 .故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题3 .执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为()/输 A*/A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当 x 2时，令x2 1 3 ,得x 2;当x 2时，令 x 9,故输入的实数 K值的个

3、数为3.【考点】程序框图. x cosx4 .函数f x x丁在 ，的图象大致为（）1n e e【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，在 x【详解】时函数范围的判断进行排除，即可得答案xcos x解：由已知f x x一x1n e ex cosxx _ xIn e excosxx _ xIn e e上是奇函数，故排除 B;£cos又fIn e e0,In e eIn e eIn eCD故选：A.【点睛】sin 2x的图象（本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进 行排除是常用的方法，是基础题.5 .要得到函数 y sin 2x 的图象，只需将函数 y3

4、A.向右平移个单位6B.向右平移一个单位3C.向左平移一个单位3【答案】DD.向左平移个单位6【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;【详解】解：函数y sin2x一 sin 2 x 一36要得到函数ysin2x 一的图象,3只需将函数y sin 2x的图象向左平移 个单位. 6故选：D.本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题.十,26.二项式2x5的展开式中，常数项为（A. 80B. 80C.160D. 160【解析】求出二项式27x5x2 的展开式的通式,再令 x的次数为零，可得结果.解：二项式5展开式的通式为TriC5rr s 5-r 2r1 C；25 rx 2

5、2则常数项为1 1C；2480.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.7.已知l为抛物线x2 4y的准线，抛物线上的点 M至M的距离为d，点P的坐标为4.1 ,则|MP| d的最小值是（）A. 17B. 4C. 2D. 1 17【答案】B【解析】设抛物线焦点为 F ,由题意利用抛物线的定义可得，当P,M,F共线时，MP d取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点F 0,1，准线y 1,MP d MP MF PF V42 4,当且仅当P,M,F三点共线时，取“=”号，. MP| d的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定

6、义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学 思想，属于中档题.2x y 0-1 8.不等式组 y -x 表木的平面区域为 ，则（）2x y 3 0A.x, y,x 2y 3B.x, y,x 2y 5y 2 cy 2 LC.x, y,-3D.x, y,-5x 1x 1【答案】D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设y 2zi x 2y,z2 -,分析Zi,Z2的几何意义，可得 Zi,Z2的最小值，据此分析选项 x 1即可得答案.【详解】2x y 0“，1，一，解：根据题意，不等式组y -x其表木的平面区域如图所不，2x y 3 0其中 A 2,1 , B

7、1,2 ,设z1 x 2y 则y , z1的几何意义为直线 y 在y轴上的截距的 2 22 22倍，由图可得：当y ? 亘过点B 1,2时，直线 乙 x 2y在y轴上的截距最大，即 2 2x 2y 5,当y 亘过点原点时，直线z x 2y在y轴上的截距最小，即x 2y 0 ,2 2故AB错误；2 ,则Z2的几何意义为点x, y与点1, 2连线的斜率,由图可得z2最大可到无穷大，最小可到无穷小，故 C错误，D正确;故选：D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题9 .平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3,点E、F分别满足uuu

8、AEuur2ED，uurDFuuruurFC，且 AFuuuBEuum uun6,则向量ad在ab上的投影为A. 2B.D.【解析】将uuur uuuAF , BE用向量uur * uuu 上一 小、uuin uuu AD和AB表示，代入AF BE6可求出uurADuuuAB 6,再利用投影公式uuur uurAD AB-uuuAB可得答案.uuur uuu 解：AF BEuuur uumAD DFuuu uuinBA AEuuur uur uumAD AB AD2 uuur -AD3uuu uuu1 -AB AB1 uuu -AB 22 uuu -AD3uur4 uuur -AD AB3口

9、uutr uuu 得 AD AB32426,6,则向量AD在AB上的投影为uuur uuuAD AB-uuu-AB故选：C.本题考查向量的几何意义,关键，是基础题.10.已知VABC的内角考查向量的线性运算,uuin uuruuur 力 uuu .将AF , BE用向重ad和AB表不是A、C的对边分别为a、b、c,且 A 60, b 3, AD为BC边上的中线，若AD72则VABC的面积为（a. 25i415 nB. 435 . 3D 4【解析】延长AD到E ,使AD DE ,连接BE,CE ,则四边形ABEC为平行四边形,根据余弦定理可求出AB 5,进而可得VABC的面积.解：延长AD到E

10、,使ADDE ,连接BE,CE ,则四边形ABEC为平行四边形,则 BE AC 3,ABE180o 60o 120°, AE 2AD 7,在 AABE 中，AE2 AB2BE2 2AB BE cos ABE则 72 AB2 32 2 AB 3 cos120o,得 AB 5,1oS7ABe 1 AB AC sin60o 2故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.,x 111.已知实数a 0,1,函数fa ln x,x在R上单调递增，则1实数a的取值范围是（A. 1 a 2B.C.D. 2 a 5【解析】根据题意，对

11、于函数分2段分析:1, f (x)ax,由指数函数的性质分析可得a 1，当x 1, f (x)由导数与函数单调性的关系可得4 af (x) 2x - 0,在1,)上恒成立，变形可得 a 2，再结合函数的单调 x x性，分析可得a 1 4，联立三个式子，分析可得答案.【详解】ax, x 1解：根据题意，函数 f x 2 4在R上单调递增，x a ln x, x 1 x当x 1, f(x) ax,若f x为增函数，则a 1，24当 x 1, f (x) x 一 a In x ,x4 a若f x为增函数，必有f (x) 2x - 0在1,)上恒成立，x x、，142变形可得：a 2x2,x44 o

12、4又由x 1,可得g x 2x2在1,)上单调递减，则 一2x2 2 2,xx 142若a 2x在1,)上恒成立，则有a 2，x若函数f x在R上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有a 1 4 5,联立可得：2 a 5.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质12. VABC是边长为2石的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把VAEF折起，使点 A翻折到点P的位置，连接 PB、PC,当四棱锥P BCFE的外 接球的表面积最小时，四棱锥 P BCFE的体积为()A.述B.述C. -6D.遍4444【答案】D【解析】首先

13、由题意得，当梯形 BCFE的外接圆圆心为四棱锥 P BCFE的外接球球 心时，外接球的半径最小，通过图形发现， BC的中点即为梯形 BCFE的外接圆圆心， 也即四棱锥P BCFE的外接球球心，则可得到 PO OC J3 ,进而可根据四棱锥的体积公式求出体积【详解】如图，四边形BCFE为等腰梯形，则其必有外接圆，设O为梯形BCFE的外接圆圆心，当。也为四棱锥P BCFE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作BC的垂线交BC于点M ,交EF于点N ,连接PM , PN ,点O必在AM上,E、F分别为AB、AC的中点，则必有AN PN MN ,APM 900,即AAPM

14、为直角三角形对于等月梯形 BCFE,如图:因为VABC是等边三角形， E、F、M分别为AB、AC、BC的中点,必有 MB MC MF ME ,所以点M为等腰梯形BCFE的外接圆圆心，即点 。与点M重合，如图PO 0c ； bc 如,pa Jao2 po2 J32 3 V6 ,所以四棱锥P BCFE底面BCFE的高为P0 PA ' 而 J2 ,AM 3VP BCFE1SBCFEh1 3SVABCh1 3 1 2.3 3 五遍.33 43 4 24故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较

15、大的题目二、填空题13.随着国力的发展， 人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高2_ _（单位：cm）服从正态分布 N 172, ，且P 1721800.4,那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为 .【答案】3000【解析】根据正态曲线的对称性求出P 180 ,进而可求出身高高于180cm的高中男生人数.【详解】2解：全市30000名图中男生的身局（单位：cm）服从正态分布 N 172,且P 1721800.4,1 0

16、 4 2贝U P1800.12，该市身高高于180cm的高中男生人数大约为 30000 0.1 3000.故答案为：3000 .【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题14 .春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北 A、B两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有 种选派方法.【答案】24【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有 C2C； 40,若甲乙两名护士到同一地的种数有c2c4c

17、2 16,则甲乙两名护士不到同一地的种数有40 16 24.故答案为：24.本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题2215 .已知a、b为正实数，直线x y 1 0截圆x a y b4所得的弦长为a 12无，则a_2的最小值为. ab【答案】3 2 2a 1【解析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得a b 1 0,代入£一整aba 11理得-01-2一-,利用基本不等式求得最值.a a 13a 1【详解】一 一22解：圆 x a y b4的圆心为 a,b ,则a,b到直线x y 10的距离为由直线x y 1 0截圆y b 2 4所得的弦长为2J2可得五222,整

18、理得a b 1 2 4 ,a 1解得 a b 1 0或 a b 3 0(舍去)，令 m (a 0,b 0)aba 1 a 1a 11m 23'ab a 1 a a 13 a 1 22_a ia 1又a 1 242,当且仅当a 1J2时，等号成立，a 1贝 Ua 1 32 2 3a 13 2.213 2:2m2a 1 3a 1故答案为：3 2,2.本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题16.在VABC中，B、C的坐标分别为242,0 ,242,0 ,且满足sin B sin C迎sin A,

19、 2O为坐标原点，若点P的坐标为4,0uur uuu,则AO AP的取值范围为【答案】12,【解析】由正弦定理可得点22A在曲线y- 1,x442上，设A x,y，则uuur uuuAO APx2 4x y2,将 y2uuur uur24代入可得 AO AP 2 x 16,利用二次函数的性质可得范围【详解】解：由正弦定理得 AC AB22则点A在曲线1 x44'2上,22设 A x,y ,则二 y- 1 x44'uur uuuAO AP x, y 4 x. y2,T7 22乂 y x 4 ,uuur uur 222AO AP x 4x x 4 2x16,uuur uur2因为

20、x 2,则 AO AP 22 16 12,uuur uur即AO AP的取值范围为12,故答案为：12,.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力， 有一定的综合性，但又t度不大.三、解答题._1_ 2_3_ n_ n 1 一17.已知数列 an满足：2 a12a22a32烝 n 1 22对一切n N成立.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.an an 2n 3n 5【答案】(1) an n；(2) Sn 4 n 1 n 2【解析】(1)先通过n1求得a1 1 ,再由n 2得C1232 a 2 a2 2 a3案；2n 1烝1 n 2 2n

21、2 ,和条件中的式子作差可得答(2)变形可得anan 21 11，通过裂项求和法可得答案2 n n 2【详解】123(1) Q 2 a12a22a3.1当 n 1 时，2 al 2,nn 12 an n 1 22 ,ai 1 ,123当 n 2 时，2 al 2 a2 2 a3n 1n2an 1 n 2 2 2 ,得：2n an n 2n,故 ann ；(2)an an 211111112132435n 3n 54 n 1 n 2【点睛】 本题考查Sn法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题18.如图，四棱锥 P ABCD的底面ABCD中，zABD为等边三角形， VBCD是等腰三角形，且顶角

22、BCD 120 , PC BD ,平面PBD 平面ABCD, M为PA中占 .(1)求证：DM /平面PBC ;(2)若PD PB ,求二面角C PA B的余弦值大小.【答案】(1)见解析；(2)叵7【解析】(1)设AB中点为N ,连接MN、DN ,首先通过条件得出 CB AB，加DN AB,可彳导DN /BC ,进而可得DN /平面PBC ,再加上MN /平面PBC , 可得平面DMN /平面PBC，则DM /平面PBC ;(2)设BD中点为O ,连接AO、CO,可得PO 平面ABCD ,加上BD 平面PCO , 则可如图建立直角坐标系 O xyz,求出平面PAB的法向量和平面 PAC的法向

23、量，利 用向量法可得二面角的余弦值 .【详解】(1)证明：设AB中点为N ,连接MN、DN ,QVABD为等边三角形，DN AB,Q DC CB, DCB 120,CBD 30 ,ABC 603090 ,即 CB AB,Q DN AB, DN / /BC,Q BC 平面 PBC , DN 平面 PBC ,DN /平面 PBCQ MN为PAB的中位线，MN /PB ,Q PB 平面 PBC , MN 平面 PBC ,MN /平面 PBC ,Q MN、DN为平面DMN内二相交直线，平面DMN /平面PBC ,Q DM 平面DMN .DM /平面 PBC ;(2)设BD中点为O,连接AO、COQV

24、ABD为等边三角形， VBCD是等腰三角形，且顶角BCD 120AO BD , CO BD ,A、C、O共线，Q PC BD , BD CO , PC I CO C , PC , CO 平面 PCOBD 平面PCO.Q PO 平面PCOBD POQ平面PBD 平面ABCD ,交线为 BD , PO 平面PBDPO 平面 ABCD.设 AB 2 ,则 AO 3BCD在VBCD中，由余弦定理，得：BD2 BC2 CD2 2BC CD cos又 QBC CD ,_2222 2BC 2BC cos120，CB2、；3,3CD ,CO ，33Q PD PB , O 为 BD 中点,- 1PO -BD 1

25、, 2建立直角坐标系O xyz (如图)C ,0,0 , P 0,0,1 , A 后0,0 B 0,1,03，uuu _uur _BAV3, 1,0 , PA73,0, 1 ,r设平面PAB的法向量为n x,y,z ,则,v uuv n BA 0v uuv n PA 0、, 3x y03x z0取 x 1 ,则 y z 73 ,n 1J3J3,uuu平面PAC的法向量为OB 0,1,0r uuu cos： n, OB，2ir uuun OBlI 1 uuun OBQ二面角C PA B为锐角,面角C PA B的余弦值大小为本题考查面面平行证明线面平行,考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和

26、空间想象能力，是中档题19.贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损 2万元.经统计A, B两市场以往100个销售周期该产 品的市场需求量的频数分布如下表：A市场:需求量90100110(吨)频数205030B市场:需求量(吨)901

27、00110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品，在A、B两市场同时销售，以 X (单位：吨)表示下一个销售周期两市场的需求量，Y(单位：万元)表示下一个销售周期两市场的销售总利润(1)求X 200的概率；(2)以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量n 190吨还是n 200吨？并说明理由.【答案】(1) 0.42; (2) n 200吨，理由见解析【解析】(1)设“ A市场需求量为90, 100, 110吨”分别记为事件 Ai, A2, A3, “B 市场需求量为90, 100, 110吨”分别记为事件 B1，B2, B3,由题

28、可得P A , P A2 , PA3, PB1, P(B2), PB3,代入 P X 200 PA2B3A3B2A3B3,计算可得答案；(2) X可取180, 190, 200, 210, 220,求出n 190吨和n 200吨时的期望，比 较大小即可.【详解】(1)设“ A市场需求量为90, 100, 110吨”分别记为事件 A, A2, A3, “B市场需 求量为90, 100, 110吨”分别记为事件 B1, B2, B3,则PA0.2,P A20.5, PA30.3,PB10.1,P(B2)0.6, PB30.3,P X 200 P A2B3 A3B2 A3B3PA2 PB3PA3 P

29、B2PA3 PB30.5 0.3 0.3 0.6 0.3 0.3 0.42 ；(2) X 可取 180, 190, 200, 210, 220,P X180PAB10.20.1 0.02P X190PA2B1AB20.5 0.10.2 0.6 0.17当 n 190 时，EY (180 5 10 2) 0.02 190 5 1 0.02948.6当n 200时，E Y 180 5 20 2 0.02 190 5 10 2 0.17 200 5 1 0.02 0.17985.3.Q 948.6 985.3 ,n 200时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量n 200吨.【点睛】本题考查离散型随

30、机变量的期望，是中档题.右焦点为抛物线y24x的N两点，若OM、ON斜2220.已知椭圆C ：勺 4 1ab 0的离心率为 a2b2焦点F .(1)求椭圆C的标准方程;(2) O为坐标原点，过 O作两条射线，分别交椭圆于M4.率之积为 一，求证： AMON的面积为定值.522【答案】(1)二1 ; (2)见解析54a,b,则可得椭圆方程;【解析】(1)由条件可得c 1,再根据离心率可求得(2)当MN与x轴垂直时，设直线 MN的方程为:x t 75 t J5,t 0 ,与椭4圆联立求得 M,N的坐标，通过 OM、ON斜率之积为 一列方程可得t的值，进而可5得AMON的面积；当MN与x轴不垂直时，

31、设 M为，丫1 , N x2,y2 , MN的方程4为y kx m ,与椭圆万程联立，利用韦达定理和OM、ON斜率之积为 与可得52m2 5k2 4,再利用弦长公式求出 MN，以及。到MN的距离，通过三角形的面积公式求解.【详解】(1)抛物线4x的焦点为F 1,0 ,1,.555,2,椭圆方程为2匕1;4(2)(i)MN与x轴垂直时，设直线MN的方程为:x t .5 t 5,t代入1得:t2”N t,2kik245t22-5 t2解得:t2& MON42t(ii)当MN与x轴不垂直时，设N X2,y2,MN的方程为y kxy2X5kX m2L i44 5k222x 10kmX 5m5k

32、2 4XiX210km2 )5kXiX25m2 204 5k2Q kOM kON45'yi y2Xi X25y1 y2 4xi” 02即 5k 4 x1 x2 5mk xi x25m2 05k2 45m2 20 广.2 5mk4 5k10km4 5k225m 0整理得：2m2 5k2 4代入得：m 0MN.1 k2、 Xi2X24x1x21 k222-10km 5m2 202424 5k24 5k2 5k2 4 m24 5k2。到MN的距离d1& MON1 MN d22 5 m| <r5k2 4 m24 5k22.5 m卜 2m2 m22 m2、5综上： Sa mon甚为

33、定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用， 考查了学生的计算能力，是中档题 .21.已知函数f x eax x (a R, e为自然对数的底数)，g x In x mx 1.(1)若f x有两个零点，求实数 a的取值范围；(2)当a 1时，x f x x g x对任意的x 0,恒成立，求实数 m的取值范围.- 1)【答案】(1)0, ; (2),1【解析】(1)将f X有两个零点转化为方程ln xa 有两个相异实根，令G xln x求导，利用其单调性和极值求解;ln x 1.(2)将问题转化为m ex 1对一切x 0, x x恒成立，令F x ex g

34、 1 x 0 ,求导，研究单调性，求出其最值即可得结果 x x(1) f x有两个零点关于x的方程eax x有两个相异实根.ln xf x有两个零点a有两个相异实根Inx c，则G x1 ln x0得：0 x e,由 G x0 得：x e,G x在0,e单调递增，在 e, 单调递减1G x Ge1 max-)e又 QG 10当0 x 1时，G x 0,当 x 1时，G x 0当x 时，G x 01f x有两个零点时，实数 a的取值范围为 0,- e(2)当 a 1 时，f x ex x,原命题等价于xex Inxmx 1对一切x0,恒成立x In x 1-m e 一对一切x 0, 恒成立. x xxIn x1e xminx In xx2ex In xF x e-2-2x x2 x令 h x x e In x, x 0, ，则h x 2xe x2ex 1 0 xh x在0, 上单增c 11 20又 hl e0,hee1 e 1 0exo1.2 x 一一一,1 ，使 h %0 即 x0e ln% 0 e当x 0,比时，h x0,当 xx0,时，h x 0,即F x在0,%递减，在x0,递增,ex0ln xx。1x0由知x2ex0In x0x°ex0In x0一 In 一x0x