2020届中原名校高三下学期质量考评(一)数学(理)试题(解析版)

1、2020届中原名校高三下学期质量考评（一）数学（理）试题一、单选题4，1 i ，一、1 .若i为虚数单位，则复数 z 在复平面上对应的点位于（）1 2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 1 . -Z - i ,再结合复数的表不，即可求解，得到5 5【答案】D【解析】根据复数的运算，化简得到答案.【详解】由题意，根据复数的运算，可得1 iz 1 2i1 2i1 2i 1 2i31所对应的点为-,一位于第四象限55故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则， 准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2、2 .已知集合 A x0 log4x 1 , Bxex2 1 ,则 a1Jb（）A.,4B, 1,4C. 1,2D, 1,2【答案】A【解析】分别化简集合 A,B,再求并集即可【详解】Ax 0 log 4 x 1 = x 1 x 4Bxex 2 1 = xx 2 ,则 aU B,4故选：A【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题3 .若样本1 x1,1 x2,1 *3,川,1 xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2 2x1,2 2x2,2 2x3,|,2 2Xn ,下列结论正确的是()A .平均数为20 ,方差为4B.平均数为11 ,方差为4C .平均数为2

3、1 ,方差为8D .平均数为20 ,方差为8【答案】D【解析】由两组数据间的关系，可判断二者平均数的关系，方差的关系，进而可得到答案.【详解】样本1 X1,1 X2,1 X3,(|,1 Xn的平均数是10,方差为2,所以样本2 2X1,2 2X2,2 2X3,|,2 2%的平均数为2 10 20,方差为22 2 8.故选：D.【点睛】样本 X1,X2,X3,”|,Xn 的平均数是 X,方差为 s2,则 aX1 b,ax2 b,ax3 b,“|,aXn b 的平 均数为ax b,方差为a2s2.4 .已知向量,(m,1), b (3,m 2),则 m 3是a/()A .充分不必要条件B.必要不充

4、分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】向量a0m3/lO 3m 22m p I 为m m( 3 贝 /-r am 3或者-1,判断出即可.【详解】解：向量 a (m,1)，b (3,m 2),1/b，则 3 m(m 2),即 m2 2m 3 0 ,m 3或者-1 ,所以m 3是m 3或者m1的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.5 .已知角a的终边经过点P 4m,3m m 0 ,则2sina cosa的值是()A. 1 或 1【解析】根据三角函数的定义求得sina,cosa后可得结论.由题意得点P与原点

5、间的距离r,2 24m 3m当m0时，r 5msina3m 3-,cosa5m 54m1- 2sinacosa当m0时，r-1 sina3m5m3,cosa52sinacosa综上可得2sina5m24m5m12八cosa的值是一或5利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A .丙被录用了B.

6、乙被录用了C .甲被录用了D.无法确定谁被录用了【答案】C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了, 故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7 .根据最小二乘法由一组样本点x,yi （其中i 1,2,|1,300）,求得的回归方程是? bX ?,则下列说法正确的是（）a .至少有一个样本点落在回归直线？ bJX a?上b .若所有样本点都在回归直线

7、贸b?x a?上，则变量同的相关系数为iC.对所有的解释变量 Xi （i 1,2,|，300）,政i夕的值一定与yi有误差D .若回归直线 ？ bX a?的斜率b? 0 ,则变量X与y正相关【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故 A错误；所有样本点都在回归直线 y? bX a?上，则变量间的相关系数为1,故b错误；若所有的样本点都在回归直线？ bX ?上，则& 3的值与yi相等，故c错误;相关系数r与8符号相同，若回归直线？ bX a?的斜率b? 0,则r 0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量 X与y正相关，故

8、D正确.故选D .【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8 .已知x , y满足条件x 0, y 0y x（k为常数），若目标函数z 3x y的最大值2x y k 0A.16B.6C.【解析】由目标函数 z 3x y的最大值为9,我们可以画出满足条件 件x)0,y)0（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的2x y点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到 k的取值.【详解】画出x, y满足的由于目标函数z 3x y的最大值为9 ,（k为常数）可行域如下图:可得直线y 0与直线9 3x y的交点B（

9、3,0）,使目标函数z x 3y取得最大值，将 x 3, y 0代入 2x y k 0得：k 6.故选：B .【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组 ），代入另一条直线方程，消去 x, y后，即可求出参数的值.9 .某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 27B. 28C. 29D. 30【答案】C【解析】作出三棱锥的实物图 P ACD ,然后补成直四棱锥 P ABCD ,且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD的外接球和直四棱锥 P ABC

10、D的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD的外接圆直径AC ,利用公式2R ,PB2 AC2可计算出外接球的直径2R,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积三棱锥P ACD的实物图如下图所示:底面ABCD,可知四边形 ABCD为矩形，且AB 3, BC 4.矩形ABCD的外接圆直径 ac = Jab2+ bc2= 5 ,且PB 2.所以，三棱锥P ACD外接球的直径为2R JPB2 ac2 J29,22因此，该二棱锥的外接球的表面积为4 R22R 29 .故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进

11、行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10 .已知Fi, F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF2I PFi3 e2椭圆的离心率为ei,双曲线的离心率为 金，若PFi F1F2 ,则一二的最小值为e13B . 6 2停C. 8【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简eie2,结合基本不等式3即可求解.设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为 ac,，e2 a由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:PFiPF2 2aPF2PFi2ae23a3ac 3mc当且仅当a7c时，取等号3本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题11 .若x,a,b均

12、为任意实数，且 a2x a lnx2b 的最小值为（）B. 18C. 3五 1D. 19【解析】该题可以看做是圆上的动点到曲线y lnx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线y lnx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决,从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果【详解】由题意可得，其结果应为曲线y lnx上的点与以C 2,3为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线y lnx上的点与圆心C 2,3的距离的最小值，在曲线y lnx上取一点M m,lnm ,曲线有y lnx在点

13、M处的切线的斜率为k ,从而有 kcM k 1,即 1nm 3 1 ，整理得 lnm m2 2m 3 0,mm 2 m解得m 1,所以点1,0满足条件，其到圆心 C 2,3的距离为2d 2 2 13 03J2,故其结果为 3匹119 6 J2,故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.12 .已知函数f (x)1一，x xln x一,xx0,若函数F(x)f (x) kx在R上有3个零点，则实数k的取值范围为()11、a.(0,1)b. 2e)/ 1 1、D . ( -)2e e【解析】根据分段函数，分当x 0, x 0,将问题转化为k的

14、零点问题，用数形结合的方法研究【详解】t , f x11当 x 0时，k 二，令 g x -,g xxxx20, g x 在x x,0是一f x增函数，k 0时，k 有一个零点,xf xln x 八一 ln x ,当 x 0 时，k ，令 h x2-, h xxxx1 2ln x当 x (0,逐)时，h(x)0,h(x)在(0, Ve)上单调递增,当 x (捉,)时，h(x)0,h（x）在（je,）上单调递减,一1所以当x je时，h（x）取得最大值，2e因为F（x） f（x） kx在R上有3个零点，一f x所以当x 0时，k 有2个零点，如图所示：4P3 -11所以实数k的取值范围为（0,，

15、）2er , ,，-一1综上可得实数k的取值范围为（0，区），故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.二、填空题n13 .若 Jx 4 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数 x和是.【答案】1【解析】由题意得出展开式中共有11项，n 10；再令x 1求得展开式中各项的系数和.【详解】-2由 JX F 的展开式中只有第六项的二项式系数最大， X所以展开式中共有11项，所以n 10；令x 1 ,可求得展开式中各项的系数和是：(1 2)10 1.故答案为：1 .【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项

16、式展开式各项系数和的求法，属于基础题.14 . ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c ,且A, B,C成等差数列，若b 代,c 1,则 ABC的面积为.【答案】.2【解析】由A, B, C成等差数列得出 B = 60。，利用正弦定理得 C进而得A 一代 2入三角形的面积公式即可得出.【详解】A, B, C 成等差数列，A+C=2B,又 A+B + C=180 ,3B = 180 , B= 60 .一，一一e c b . _ 1 H,.故由正弦te理 sin C c b C ，故A sinC sinB2 162所以 Saabc bc ,22故答案为：遭2【点睛】本题考查了等差数列的性质

17、，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题.15 .割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率.现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为 .3【答案】3【解析】求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可.【详解】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为石，腰为1的等腰三角形,、,，一 ，一 1.该正十二边形的面积为S 12 - 121 sin 3,6根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为33彳一3故答案为：3本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题1

18、6 .已知点A 0, 1是抛物线x2 2py的准线上一点,F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且PFm PA ,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点，且过 P点,当m取最小值时，双曲线 C的离心率为【解析】由点 A坐标可确定抛物线方程，由此得到F坐标和准线方程；过 P作准线的垂线，垂足为 N ,根据抛物线定义可得PNPAm,可知当直线PA与抛物线相切时,m取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率* A 0,1是抛物线x22 py准线上的一点抛物线方程为x24yF 0,1 ,准线方程为y 1过P作准线的垂线，垂足为 N ,则PN

19、PF；PFpFpAPN mpA设直线PA的倾斜角为，则sin m当m取得最小值时，sin 最小，此时直线PA与抛物线相切设直线PA的方程为y kx 1 ,代入x24y 得：x2 4kx 4 016k2 16 0,解得：k 1P 2,1 或 2,1双曲线的实轴长为 PA PF2 J2 1 ,焦距为| AF 2双曲线的离心率e,2 1故答案为：,2 1【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题， 涉及到抛物线定义和标准方程的应用、 双曲线定义 的应用；关键是能够确定当 m取得最小值时，直线PA与抛物线相切，进而根据抛物线 切线方程的求解方法求得 P点坐标.三、解答题17 .设数列4的前n项和为闻,且打

20、=14十1 羽i 一，数列bj满足 =瓦，点 d在K 斗二=。上，n s N(1)求数列 乳步/的通项公式;(2)设 - N求数列Jg的前：1项和【答案】(1)、=】卜(n I)2 幼1(2)【解析】(1 )利用丁与玉的递推关系可以 的通项公式；点代入直线方程得=可知数列 出户是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和【详解】 力由注/卜可得/珥7二2), 两式相减得匕4%洱，%弭用士口) 又 2配7 =3所以%=叫故居是首项为1，公比为3的等比数列.所以7-城 由点P(bR.bn A J在直线k 7 + 2 = o上，所以b/I - 则数列 他n：是首项为1 ,公差为2的等差数

21、列.则bj】+- 1)- 2 2n-l1(2)因为% = /=翔|,所以% = ：一.十十-一券. ,ll JJ J JJ1?r Q 2222 ：ii - I两式相减得： pn =十,十了卜十淳jr|.I1 加- 1 I)+ I所以n =-；7 -= 3 -【点睛】用递推关系/3nHs二2)求通项公式时注意n的取值范围，所求结果要注意检验n = I的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18 .如图1 ,在等腰Rt ABC中， C 90 , D, E分别为AC, AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG 3CG 。将 ADE沿DE折起，使点A到A

22、的位置(如图2所示)，且AF CD。(1)证明：BE /平面AFG ；(2)求平面AFG与平面ABE所成锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)要证明线面平行，需证明线线平行，取BC的中点M ,连接DM,根据条件证明 DM /BE,DM /FG ,即 BE/FG ;(2)以F为原点，FC所在直线为x轴，过F作平行于CB的直线为y轴，FAi所在直线为z轴，建立空间直角坐标系 F xyz ,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】(1)证明：取BC的中点M ,连接DM. BG 3CG，.一 G 为 CM 的中点.又F为CD的中点，FG/DM .依题意可知DE/2

23、BM ,则四边形DMBE为平行四边形，BE/DM ,从而 BE/FG .又FG 平面AFG, BE 平面AFG,BE /平面 AFG .(2) ；DE AD1, DE DC,且 ADDC D,DE 平面ADC , AF 平面ADC ,:AF DC ,且 DE DC D ,AF 平面 BCDE ,以F为原点，FC所在直线为x轴，过F作平行于CB的直线为y轴，FA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系 F xyz,不妨设CD 2,则 F 0,0,0 , Fa)0,0, J3A 0,oJ3 ， B 1,4,0E 1,2,0 , G 1,1,0 ,设平面AFG的法向量为nixi,y1，41,2, V3 ,

24、 EB 2,2,0 .n FA1 0, 34 0则二 ，即 今 , n FG 0xi yi 0令 x i,得 n 1, 1,0 .设平面ABE的法向量为mx2,y2,z2im WJE 0x2 2y2 . 3z2则二T，即22m EB 02x2 2y2 0令x2 i,得m 1, i, J3 .从而cos_1_1_ _)0.2 55105故平面A|FG与平面AiBE所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题,意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四

25、边形，这些都是证明线线平行的常方法.19 .第7届世界军人运动会于 2019年10月18日至27日在湖北武汉举行， 赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技 .前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下：组别30,40)40,50)50,60)60

26、,70)70,80)80,90)90,100)频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求 ， 的值(,的值四舍五入取整数)，并计算P(51 X 93)；(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可2 ，一获彳导2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为 15兀的纪念品A的概率为一，抽中3价值为30元的纪念品B的概率为1 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运3参与者

27、，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额 .(参考数据：P( X ) 0.6827 ； P( 2 X 2 ) 0.9545 ；P( 3 X 3 ) 0.9973.)【答案】(1)65,14, P 0.8186; (2)详见解析.【解析】(1)根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而 XN (65, 142), 计算P (51 VXV93 )即可；(2)列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额.【详解】解：(1)由已知频数表得:E(X)535 -2003045 -200554020065

28、502004575 -2002085 -200D(X)(3565)20.025 (4565)20.15(55265)2 0.222(65 65)2 0.25 (75 65)20.225(8565)2一 420.1 (95 65)0.05由196225 ，则 1415,而 14.52 210.5210 ，所以14则X服从正态分布N(65,14),所以P(51 X 93)P(P( 22 )(-2 ) P(0.9545 0.68270.8186;(2)显然，P(X)P(X0.5,所以所有Y的取值为45P(Y15)P(Y30)P(Y45)12 111182 2P(Y60)18，所以E(Y) 15184

29、5 - 9160 30,18需要的总金额为:200306000.所以Y的分布列为:Y15304560P1721318918【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题.2220 .已知椭圆C :与 4 1 a b 0的左、右焦点分别为 Fi,F2 ,离心率为 差, a2 b22a为椭圆上一动点（异于左右顶点），AF1F2面积的最大值为73（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l ：y x m与椭圆C相交于点A,B两点，问y轴上是否存在点 m ,使得 ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若

30、存在，求点 M的坐标；若不存在， 请说明理由.x22【答案】（1） 一 y2 1 ; （2）见解析 4【解析】（1）由面积最大值可得bcJ3 ,又Y3,以及a2b2c2,解得a, b ,a 2即可得到椭圆的方程，（2）假设y轴上存在点M 0,t , ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设 A为， , B X2,y2 ,线段AB的中点为N %,丫。，根据韦达定理求出点N的坐标，再根据AM BM , MN l ,即可求出m的值，可得点M的 坐标.【详解】（1） AF1F2面积的最大值为 石，则：bc 33又 e c , a2 b2 c2,解得：a2 4, b2 1a 22椭圆C的方程为：y2

31、1 4（2）假设y轴上存在点 M 0,t , ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形设A X,% , B X2, y2 ,线段AB的中点为N Xo，y0 2,y21、一 一0 22由 4,消去y可信：5x 8mx 4m 4 0y x m64 m2220 4m2 416 5 m0,解得:X1x28m二，X1X254m2 45X1X0x224m5V。X04m m,5 5依题意有AMBMMN由MNl可得:t m54一 m 151,可得:3m5由AMBM可得:yit y2 tXiX2* yiX1m, y2x2 m代入上式化简可得:2x1x2X1X222 4m2 4则：28m528m5当m 1时，点M0

32、,满足题意;当m1时，点- 八3M 0-满足题意5故y轴上存在点0,使得 ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形本题考查了椭圆的方程,直线和椭圆的位置关系， 斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21 .已知函数f x a x1 In x ex a R .其中e是自然对数的底数.(1)求函数f x在点x1处的切线方程;X(2)右不等式f x e0对任意的x 1,恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1) y ex；e(2) a 2【解析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得f x在点xx(2)令 gx f x e axllnxexexl,1x g x a In

33、x 1 - e e然后利用导数并根据 a的情况研究函数 g(x)的单调性 x和最值.【详解】,一 , x 1(l)fx axllnxex, fx a In x e,x. f 1 e,又 f 1 e,.切线方程为y e e x 1 ,即y ex.(2)令 g x f xex a x 1 In x ex ex x 1 ,/1xg x a In x 1 - e e , x若a 0,则gx在1,上单调递减，又g 10,g x 0恒成立，g x在1, 上单调递减，又g 10, g x0恒成立.若 a0,令 hx g x a Inx 1 1eex,x11 v 11上单调递减,h x a 2e ,易知 一

34、一2与 e 在 1,x xx x.h x在1,上单调递减，h 1 2a e,e当2a e 0即0 a 一时，h x 0在1, 上恒成立，2. h x在1,上单调递减，即g x在1, 上单调递减,又g 10,g x 0恒成立，g x在1, 上单调递减,又g 10, g x 0恒成立，e当 2a e 0 即 a e时，1, 使 h x 0,2 . h x 在 1,xq 递增，此时 h x h 10, g x 0,g x在1,Xo递增，. g x g 10 ,不合题意.一 ，一一 e综上，实数a的取值范围是a -.2【点睛】本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范