函数单调性的研究

1、函数单调性的研究1指导思想与理论依据本节课以探究性理论”在问题解决中自主学习”为指导思想，因为“问题学习”是建构主义所提倡的一种教学方式.本节课的教学设计所依据的理论突生体现在以下四个方面.（一）培养学生问题意识在传统的教学过程中，一般都是教师讲，学生听，教师按照预先设计好的教学思路和教学过程进行教学.即使中间穿插一些提问，也主要是对一些事实现象的再现，没有多大的思考余地.建构主义以相反的思路来设计教和学，主张“在问题解决中学习”.同时心理学的研究也表明，发现问题是思维的起点，也是思维的源泉和动力，没有问题的思维是肤浅的思维.因此，在课堂教学中，教师应注重激发学生思维的积极性，培养学生的问题意

2、识.问题意识是指学生在认识活动中意识到一些难以解决的、疑惑的实际问题或理论问题时产生的一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，这种心理状态驱使学生积极思维，不断提由问题和解决问题.（二）豉励学生探索问题在课堂教学中，教师不仅要培养学生的问题意识，还要善于挖掘素材，努力创设各种问题情境，豉励、引导学生多角度、多层面地深入探索问题，用疑问开启学生思维的心扉，启迪学生智慧，帮助他们不断挑战自我，挑战极限，享受到探索问题给自己所带来的快乐.从而在探索问题的过程中，将知识的理解引向深入.（三）引导学生解决问题教学过程实际上就是设疑、质疑、释疑的过程，也是教学生学会学习，提高学习能力的过程，同时也是培养学生

3、创新能力和实践能力的过程.解决问题的过程，也就是学生学会学习的过程.教师要引导、培养学生从不同的角度去思考、判断和解决问题，从而在问题的解决中学会学习，学会创新.（四）激发学生学习的求知欲求知欲是学生追求知识的欲望，是激发学生学习兴趣，提高学习质量的内在动力.求知欲越强，学习的自觉性越强教学过程是教师导、学生学的双边活动.教学效果既受教师主导作用的影响，也受学生主体作用的影响；教师的主导作用要通过学生的主体作用来实现.所以要提高教学质量，就必须激活学生的求知欲望.学生有了强烈的求知欲望，教学就能取得最佳效果.很多时候，学生有学习的欲望，有动机，有上进心，却不知道如何去学，或学习的效率低下.建构

4、主义理论关于“在解决问题中学习”的理念能引导学生进行探究性学习，激发学习兴趣，激活求知欲望，培养创造性思维能力，使他们在发现问题、探索问题及解决问题的过程中不断获取知识、巩固知识.2教学背景分析(一)教材的地位和作用学生高一学习函数时，已经知道了增函数、减函数和单调函数的概念，并且会用增函数、减函数的定义判断和证明函数在给定区间上的单调性.前几节课又学习了导数的概念以及导数的运算，这就为学生用导数研究函数的单调性问题做好了铺垫.学生通过学习可以体会用导数研究函数的单调性比用初等数学研究方法要简洁得多，另外函数的单调性又是下一步研究函数的极值与最值的基础，也是学生将来进一步学习高等数学的基础.(

5、二)学生的情况和教材内容的调整课本上给生了f'(x)>0?f(x)为增函数，f'(x)0?f(x)为增函数，f'(x)<0?f(x)为减函数的逆命题和函数单调性的充要条件的探究，培养学生思维的深刻性.(三)教学的重点和难点重点：函数单调性与其导数的关系难点：函数单调性的充要条件的探究(四)教学方式和教学手段的说明1 .教学方法本节课我采用了“启发探究”式的教学方法，根据本节课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突生以下两点：(1)由教材内容的特点确立以问题探究为教学的主线教师先引导学生自主地提由课题，用导数研究函数的单调性，然后引导学生提由要研究的问题：问

6、题1导数和函数的单调性之间有什么关系？在学生得由f'(x)>0?f(x)为增函数，f'(x)<0?f(x)为减函数以后，教师进一步提由：问题2:上述命题的逆命题成立吗？问题3:函数单调性的充要条件是什么？问题4:如何求函数的单调性？问题5:函数的单调区间如何合并？在这一连串的问题中让学生充分体会数学知识的发生与发展过程.（2）由学生学习风格的特点确立自主探索式的学习方法考虑到学生的数学基础较好，思维较为活跃，对自主探索式的学习方法也有一定的认识，在教学中从提由学习课题到最后的课堂小节，我都通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索.将学生的独立思考

7、、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突由学生的主体地位.2 .教学手段本节课中，除经常使用的常规教具外，我还使用了多媒体投影和计算机来辅助教学.其作用主要有两个：（1）将数学问题直观、形象地展示由来，帮助学生思考；（2）快速显示学生的研究成果，便于大家交流和讨论.3本课教学目标设计根据本课教材的特点、高中数学教学大纲对本节课的教学要求以及学生身心发展的合理需要，我从三个不同的方面确定了以下教学目标：（一）掌握函数的单调性与导数之间的关系，会用求导的方法判断函数的单调性，渗透数形结合、类比以及等价转化等数学思想.（二）通过对函数的单调性与导数之间关系的探索，发展学生的探究能力，

8、通过由特殊到一般、由一般到特殊，由直觉猜想到推理论证等思维方法的训练，提高学生的科学思维素养.（三）通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验.4教学过程与教学资源设计为达到本节课的教学目标，我把教学过程设计为四个阶段.在知识引入阶段通过对高一学过的函数单调性的复习提由所要学习的课题；在知识探索阶段对三个内容进行探索：第一探索可导函数单调性与导数之间的关系；第二探索求可导函数单调性的解题步骤；第三探索单调区间的合并；在知识应用阶段通过对例题的分析求解使学生初步体会运用导数的方法研究函数的单调性的新方法；在学习小结阶段带领学生对所学的知识和方法进

9、行梳理、归纳和总结.具体过程如下：（一）知识引入阶段在本阶段的教学中通过对高一学过的函数单调性的复习，揭示单调性的刻画方法，学习了导数知识后，使学生产生联想，自主地提由能否以导数为工具来研究函数单调性的问题.具体的教学安排：1 .回顾高一学过的函数单调性的刻画方法教学中我首先向同学指由：高一学习函数的时候，函数的单调性是怎么刻画的？2 .提由新课题一一用导数作为工具研究函数的单调性在回顾的基础上我启发学生思考：我们已经学习导数的概念和运算，函数的单调性体现由了函数值y随自变量x的变化而变化的情况，而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，能否把导数作为工具研究函数的单调性呢？在

10、学生回答之后明确由三个问题：问题1导数和函数的单调性之间有什么关系？问题2如何求函数的单调区间？问题3如何进行函数单调区间的合并？同时指由这就是本节课我们要研究和学习的主题设计意图用问题引入，激发学生的探究欲望，引发学生的学习兴趣，明确本节课研究的内容.（二）知识探索阶段1.1. 索导数和函数单调递增之间的关系导数和函数单调性的关系包括导数与增函数的关系和导数与减函数的关系，为了研究方便，我们先研究导数与增函数的关系.1.1 探索f'(x)>0与f(x)为增函数的关系引导学生从特殊到一般，利用数形结合的数学思想方法从函数的图象上发现规律：在区间(a,b)上切线的斜率为正，即在(a

11、,b)内的每一点处的导数值为正，函数在区间(a,b)内单调递增，即f'(x)>0?f(x)为增函数.教师进一步追问：上述命题的逆命题是否成立？引发学生进一步探索.在学生探索的过程中，教师引导学生通过反例(如：f(x)=x?3,f(x)在WTHZRWTBZ!h是增函数，但f'(0)=0.)来说明由f(x)为增函数推不由f'(x)>0,所以f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.1.2 探索f'(x)K0f(x)>0与f(x)为增函数的关系若将f'(x)=0的根作为分界点，因为规定了f'(x)0,即抠去了分界

12、点，止匕时f(x)为增函数，就一定有f'(x)>0.所以当f'(x)K0时，f'(x)>0是f(x)为增函数的充分必要条件.1.3 探索f'(x)A0与f(x)为增函数的关系f(x)为增函数，一定可以推由f'(x)A0,但反之不一定，因为f'(x)A0,即为，(x)>0或f'(x)=0.当函数在莫个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)为常数，函数不具有单调性.所以f'(x)>0是f(x)为增函数的必要不充分条件.1.4 探索函数f(x)为增函数的充分必要条件当f'(x)0时，f'(x

13、)>0是f(x)为增函数的充分必要条件；当f'(x)=0有不连续的解时，f'(x)A0是f(x)为增函数的充分必要条件.2 .探索函数的导数与其单调递减之间的关系引导学生用类比的数学思想得由：2.1 f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件；2.2 当f'(x)0时，f'(x)<0是f(x)为减函数的充分必要条件；2.3 f'(x)W0是f(x)为减函数的必要不充分条件；2.4 当f'(x)0时，f'(x)<0是f(x)为减函数的充分必要条件；当f'(x)=0有不连续的解时，f'(x

14、)W0是f(x)为减函数的充分必要条件.设计意图问题的连续探究，目的是培养和发展学生的思维，渗透研究问题的思想和方法，展示知识的形成过程.3 .探索函数单调性的求解步骤用导数法确定函数的单调性的步骤是：(1)求生函数的导函数；(2)求解不等式f'(x)>0,求得其解集，再根据解集写生单调递增区间；(3)求解不等式f'(x)<0,求得其解集，再根据解集写生单调递减区间.设计意图大部分教师都是先做例题，然后从做题的过程中总结解题的步骤.我是先让学生设计解题步骤，学生设计的步骤在后面的例题中再进行检验和修正，目的是培养和发展学生的理性思维.4 .探索单调区间合并函数单调区

15、间的合并主要是依据函数f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在x=b处连续，因此f(x)在(a,c)上单调递增.同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则这两个区间可以合并为一个区间.设计意图区间的合并问题，由于学生在高一学习函数的单调性时，没有学习函数的连续，因此对于区间的合并教师只能从函数的图象上进行解释，现在学生有了函数连续的知识，教师可以引导学生探索合并区间的真正原因，这也有利于学生对以前概念的重新认识.(三)知识应用阶段在本阶段的教学中，我选用了三道典型例题，其中第一题是引导学生对证明函数单调性的方法进行对比，感受用导数判断或证明

16、函数在给定区间上的单调性要简洁得多；第二题选用的目的是让学生通过解题实践初步体会用导数方法判断函数调性的新思路和解题步骤；第三题选用的目的是让学生体会函数单调性的充要条件在解决问题中的应用.(四)学习小结阶段本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，为后续学习打好基础.具体的教学安排：(1)知识、方法小结：在知识层面上我首先引导学生归纳函数的单调性与导数之间的关系.在方法层面上我带领学生回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，对重要的思维方法如类比、观察、猜想、归纳、总结和数学思想方法如数形结合、等价转化等进行梳理.(2)课后思考题：1 .可导函数

17、的单调性与其导数之间关系的证明；2 .初等数学证明函数单调性与用导数法证明函数单调性之间有什么内在的联系？（3）练习题设计意图思考题主要是对学有余力的学生进行编制的，让学生可以在课后继续探究，发展他们的能力.三道练习题是与例题相配套的，但比例题的难度稍大一些，目的是对所学的知识进行巩固，加深学生对所学知识的理解（五）教学流程：图15学习效果评价设计（一）本节课实效性强从知识的角度来说，我通过对教学大纲和考试说明的研究，教学内容在课本内容的基础上进行了补充和延展，目的是把可导函数的单调性与其导数的关系探讨清楚，否则学生学习完本节内容后，容易求函数的单调区间，但对于已知函数在莫区间上增或减，求字母的取值范围一类的问题很难解决.从这个角度来说，本节课内容充实，实效性强.（二）本节课注重知识的形成过程数学是一门系统性很强的学科，知识间的内在联系十分紧密，任何新知识都有它的发生、形成和发展过程.教学中，如果压缩掉这种过程，就知识教知识，那么学生只能得到零散的、孤立的知识，只知其然，而不知其所以然，只能是知识的积累，而不能使学生原有的知识结构得到扩充和改造因此，我在教学设计时，重视知识的发生、形成和发展