函数的凸性与拐点

1、函数的凸性与拐点教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。教学方法：讲练结合。考察函数f(x)X2和f(x)4的图象.它们不同的特点是：曲线f(x)X2上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲f(x)JX线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数.一、函数的凸性设f为定义在区间f(x1(1)x2)f(x1(1)x2)1 .定义I上的函数，若对I上的任意两点x1,x2和任意实数(0,1)总有f(x

2、i)(1)f(x2),则称f为I上的凸函数.反之，如果总有f(xi)(1)f(x2)则称f为I的凹函数.6'12如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.易证：若f为区间I上的凸函数，则f为区间I上的凹函数.故只需讨论凸性即可.2 .引理f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)oX2x1x3X2xoxo证必要性记，则x2x1(1)x3.由f的凸性知道x3x1f(x2)f(x1(1)x3)f(x1)(1)f(x3)x3x2x2x1f(x1)f(x3),x3xx3x1第六章第五节第1页从而有(x3Xi)f(X2)(

3、X3X2)f(Xi)(X2Xi)f(X3),(X3X2)f(X2)(X2Xi)f(X2)(X3X2)f(Xi)(X2Xi)f(X3),整理后即得(3)式充分性X2Xi(1导逆过程，可证得f(Xi(i的凸函数同理可证，在f上任取两点X1，X3(Xi<X3),在X，X3上任取一点I一XoX9)X3,(0,I),即2.由必要性的推X3Xi)X3)f(Xi)(i)f(X3)，故f为I上f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点x1x2x3,有f(X2)f(Xi)f(X3)f(Xi)f(X3)f(X2)X2XiX3XiX3X23.可导函数凸性的等价命题定理6.i3设f为区间I上的可导函数，则下

4、述论断互相等价:1 f为I上凸函数；_'2 f为I上的增函数；3 对I上的任意两点x1，x2,有f(x2)f(xi)f(xi)(x2xi).(5)证(12)任取I上两点Xi,X2(XiX2)及充分小的正数h.由于xihxix2x2h,根据f的凸性及引理有f(Xi)f(Xih)f(x2)f(Xi)f(x2h)f(x2).hx2xih由f是可导函数，令h0时可得f3)工之一faf(X2),所以f为I上的递增函数.(23)在以Xi,X2(XiX2)为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和f递增，有第六章第五节第2页f(X2)f(Xi)f()(X2Xi)f(Xi)(X2Xi).移项后即得(5)式成

5、立，且当X1X2时仍可得到相同结论.(31)设以Xi,X2为上任意两点，X3Xi(1)X20<<1.由3,并利用XiX3(i)(XiX2)与X2X3(X2Xi),f(Xi)f(X3)f(X3)(XiX3)f(X3)(i)f(X3)(XiX2),f(X2)f(X3)f(X3)(X2X3)f(X3)f(X3)(X2Xi).分别用和i乘上列两式并相加，便得f(Xi)(i)f(X2)f(Xi(i)X2).从而f为I上的凸函数.口注:论断3几何意义：曲线yf(X)总在它任一切线之上.这是可导凸函数的几何特征.4.二阶可导函数凸性的充要条件定理6.i4设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为

6、凸(凹)函数的充要条件是f(X)0(f(x)0),xI.例i讨论函数f(x)arctanx的凸(凹)性区间。一2x一,一解由于f(x)口,因而当X0时，(iX)f(x)0;x0时f(x)0.从而在(，0上f为凸函数，在0,)上f为凹函数.口值点的充要条件是x0为f的稳定点，即证下面只证明f为凸函数的情形.由定理6.i3,任取(a,b)内的一点f(x)f(X0)因f(x0)0,故x(a,b)有f(x)例2若函数f为定义在开区间(a,b)内的可导的凸(凹)函数，则X0(a,b)为f的极小(大)f(X0)0.必要性已由费马定理可出，现在证明充分性.X(X。)，它与X。一起有f(X0)(XX0).f(

7、X0),即X0为f的极小值点(且为最小值点).第六章第五节第3页例3(詹森(Jensen)不等式)若f为a,b上凸函数，则对任意Xia,b,i0(i1,2,n,n),i1,有i1Xi,X2,都有nf(i1iXi)if(Xi).i1(6)应用数学归纳法.当,Xk3,b及3ikf(i3iXi)1现设X1,X2,Xk,Xk1n2时，命题显然成立.设0,i1,2k3if(Xi).i1a,b及0(i,k,1,2,k时命题成立.即对任意1,2,k,则3if(1X12X2kXk1Xk1)(1k1)1X12X21k1kXkn3i1,k1,k1),由数学归纳法假设可推得k1Xk1(1(1)f(31x1a2x2)

8、af(x)32f(X2)akXk)k1f(xk1)3kf(Xk)k1f(Xk1)(11)1f(X1)f(X2)f(Xk)1k1f(Xk1)i1if(Xi).这就证明了对任何正整数n(2),凸函数f总有不等式(8)成立.abcab例4证明不等式(abc)3abcc,其中a,b,c均为正数证设f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数f(x)lnx1,可见，f(x)xlnx在x0时为严格凸函数，依詹森不等式有第六章第五节第4页fabC1f(a)f(b)f(c),33从而a-b-Clna-b-C1(alnablnbclnc),333,abC、abcabc()abc。3abc又因Vabc-一-

9、2，所以(abc)3aabbcC.3例5设f为开区间I内的凸(凹)函数，证明f在I内任一点x0都存在左、右导数。证下面只证凸函数f在xo存在右导数设0Vhih2,则对XoXo%Xoh2(这里取充分小的h2,使Xo+h2I),由引理中的(4)式有f(Xohi)f(Xo)f(Xoh2)f(Xo)hih2令F(h)f(Xoh)一L,故由上式可见F为增函数，任取XI且xXo则对任何hhO,只要XohI,也有f(Xo)f(X)f(XoXoXh)f(Xo)hF(h).因而函数F(h)在h>o上有下界.故极限F(h)存在，即f(Xo).存在。二、函数的拐点定义2设曲线yf(X)在点(Xo,f(Xo)处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(XO,f(XO)为曲线yf(X)的拐点.由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点.例l中的点(O,O)为y=arctanX的拐点.正弦曲线y=sinX有拐点(k,O),k为整数.1 .拐点存在的必要条件定理6.15若f在Xo二阶可导，则(Xo,f(Xo)为曲第六章第五节第5页线yf(x)的拐点的必要条件是f(xo)02 .拐点存在的充分条件定理6.16设f在Xo