大学物理：第十一章 电磁感应

1、FaradayMaxwellHoney BeeBarfly wingBrain nerve cellEinstein第第十十一一章章电电磁磁感感应应 第第三三篇篇电电磁磁学学1.静电场力的性质：库仑定静电场力的性质：库仑定 律、电场强度、电场散度律、电场强度、电场散度2.静电场能的性质：静电场静电场能的性质：静电场作功、电势能、电场能量作功、电势能、电场能量第三篇电磁学第三篇电磁学静电学静电学静磁学静磁学电磁学电磁学真空、金属真空、金属中静电荷与中静电荷与静电场静电场介质中的介质中的静电荷与静电荷与静电场静电场稳恒电势差稳恒电势差与稳恒电场与稳恒电场静电荷产静电荷产生的静电场生的静电场磁场对电

2、荷与磁场对电荷与电流的作用电流的作用磁现象的磁现象的电本质电本质磁场的性质磁场的性质散度与旋度散度与旋度磁产生电磁产生电电产生磁电产生磁电磁场的电磁场的散度与旋度散度与旋度麦克思维方程组麦克思维方程组内容结构内容结构第十一章电磁感应第十一章电磁感应研究对象研究对象：研究变化的电场与磁场相互产生的规律：研究变化的电场与磁场相互产生的规律电磁感应电磁感应动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场内容结构内容结构基本应用基本应用自感与互感自感与互感磁场的能量磁场的能量11-1.电磁感应的基本定律电磁感应的基本定律一电磁感应的实验一

3、电磁感应的实验1.电流在其周围空间中产生磁场电流在其周围空间中产生磁场奥斯特实验奥斯特实验2.变化磁场在其周围空间产生电场变化磁场在其周围空间产生电场法拉第实验法拉第实验由导线作机械运动而在导体内部产生电动势由导线作机械运动而在导体内部产生电动势动生电动势动生电动势由磁通量改变而导体不作机械运动而在导体内部产生电动势由磁通量改变而导体不作机械运动而在导体内部产生电动势感生电动势感生电动势二电磁感应的基本定律二电磁感应的基本定律1.感生电流的方向定律感生电流的方向定律楞次定律楞次定律闭合导体回路产生的感生电流的方向，总是使感生电流自身产闭合导体回路产生的感生电流的方向，总是使感生电流自身产生的磁

4、通量，去反抗引起感生电流的磁通量的改变生的磁通量，去反抗引起感生电流的磁通量的改变说明说明：A.感生电流产生的磁通量与原磁场磁通量变化方向相反感生电流产生的磁通量与原磁场磁通量变化方向相反 与外磁场本身磁场方向无关与外磁场本身磁场方向无关B.楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的必然要求楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的必然要求2.关于感生电动势大小的定律关于感生电动势大小的定律法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律dtddtdNi N称为磁链数称为磁链数其中其中说明说明：A.上式中的负号已经将楞次定律考虑进去上式中的负号已经将楞次定律考虑进去B.感生电动势的大小与磁通量的变化率直接相关

5、，而与磁通感生电动势的大小与磁通量的变化率直接相关，而与磁通量大小没有直接关系量大小没有直接关系C.当感生线圈闭合时，感生线圈中有感生电流当感生线圈闭合时，感生线圈中有感生电流dtdRRIii 1)(11212121 RdtdtdRdtIQttttii其中，其中，R是感生线圈的总电阻是感生线圈的总电阻磁通计的实验原理磁通计的实验原理：实验测出：实验测出Qi，可以求出总磁通量变化，可以求出总磁通量变化6-2动生电动势动生电动势一动生电动势的宏观实验解释一动生电动势的宏观实验解释思路思路：由特例推导动生电动势的基本表达式，将该结论推广：由特例推导动生电动势的基本表达式，将该结论推广特例：如图，均匀

6、磁场中导体作速度为特例：如图，均匀磁场中导体作速度为v的匀速直线运动的匀速直线运动求解：运动导体中的动生电动势求解：运动导体中的动生电动势解：动生电动势的大小解：动生电动势的大小dtddtdNi tBlvsB 因因BlvdtdNi 大小大小动生电动势的方向：由楞次定律，感生电流的方向为动生电动势的方向：由楞次定律，感生电流的方向为baba讨论讨论：A.将条件推广到一般情况，及将条件推广到一般情况，及v与与B、l不互相垂直不互相垂直lBvi )(则则(自己思考自己思考)B. 具有普适性具有普适性lBvi )(abcdv 二动生电动势的微观实验解释二动生电动势的微观实验解释1.动生电动势的微观数学

7、表述动生电动势的微观数学表述电子随导体运动时，受到洛仑兹力的作用，从而发生定向运动电子随导体运动时，受到洛仑兹力的作用，从而发生定向运动)(Bvefm 电子在导体两端堆积时，产生静电作用电子在导体两端堆积时，产生静电作用Eefe 达到平衡时产生的动生电动势达到平衡时产生的动生电动势 ababl dBvl dEUEBvEeBve)()(fFufvu+v讨论讨论：A. 动生电动势的一般计算公式动生电动势的一般计算公式 abil dBv)(动生电场的一般计算公式动生电场的一般计算公式BvEe fFufvu+vB.几种特例几种特例当当B、v、l两两相互垂直时两两相互垂直时Blvi l dBv )(当时

8、当时0 iC.在电源内部，电流由低电位指向高电位在电源内部，电流由低电位指向高电位2.动生电动势产生的微观实质动生电动势产生的微观实质从电荷受力观点，动生电动势实质是由于导体作宏观机械运从电荷受力观点，动生电动势实质是由于导体作宏观机械运动而使自由电子受到洛仑兹力作用，发生定向运动产生电势差动而使自由电子受到洛仑兹力作用，发生定向运动产生电势差从能的观点。一部分洛仑兹力从能的观点。一部分洛仑兹力(导体的宏观机械运动速度对应导体的宏观机械运动速度对应的洛仑兹力的洛仑兹力)对电荷作正功，使导体产生宏观动生电动势。对电荷作正功，使导体产生宏观动生电动势。而另一部分洛仑兹力对电荷作负功而另一部分洛仑兹

9、力对电荷作负功(电子相对于导体运动速度电子相对于导体运动速度对应的洛仑兹力对应的洛仑兹力)，使导体运动的机械能转换为电能。可以证，使导体运动的机械能转换为电能。可以证明，洛仑兹力对电荷所作的总功为零。其作用是将机械能转换明，洛仑兹力对电荷所作的总功为零。其作用是将机械能转换为电能为电能3.动生电动势的应用举例动生电动势的应用举例例：长为例：长为l的导体在无限长直导线产生的磁场中以速度的导体在无限长直导线产生的磁场中以速度v向上运动向上运动求：导体内产生的电动势求：导体内产生的电动势odxxyxabIvd解法一：取微元，规定积分方向，如图解法一：取微元，规定积分方向，如图l dBvdi )(规定

10、积分方向规定积分方向ba 那么那么vBdxdi 统一积分变量积分统一积分变量积分odxxyxabIvd因因xIB 20于是于是dldvxIxdxIvbai ln2200解法二：利用法拉第电磁感应定律求解解法二：利用法拉第电磁感应定律求解求解电动势的大小求解电动势的大小：导线：导线ab上微元上微元dx在时间间隔在时间间隔 内内的磁通量变化量为的磁通量变化量为dttt BvdxdBvdxdtvdtdxBsdBddtdi )(因因xIB 20于是于是dldvxIxdxIvbai ln2200由楞次定律判断电动势的方向由楞次定律判断电动势的方向dldvxIi ln20思考思考：如果导体：如果导体ab以

11、角速度以角速度 绕无限长绕无限长直导线在竖直平面内转动，情况如何？直导线在竖直平面内转动，情况如何？例：一根长度为例：一根长度为L的金属杆的金属杆OA绕其中一端在与磁场垂直的平面绕其中一端在与磁场垂直的平面内作匀速转动内作匀速转动求：金属杆中的动生电动势求：金属杆中的动生电动势OAL B解解ldlBBvdll dBvdi )(20021LBldlBdLLOA 上式表明，上式表明，O端电势高于端电势高于A端端例：例：N匝面积为匝面积为S的线圈平面在均匀磁场中作匀速转动，初始的线圈平面在均匀磁场中作匀速转动，初始时刻，线圈平面与磁场平行时刻，线圈平面与磁场平行求：线圈平面中的感生电动势求：线圈平面

12、中的感生电动势anb cd B解解tNBSNBSNm coscostNBSNBSdtdi sin)cos( NBS0令令电动势振幅电动势振幅则则ti sin0这便是正弦交流电这便是正弦交流电6-3感生电动势涡旋电场感生电动势涡旋电场一感生电动势一感生电动势1.感生电动势的定义感生电动势的定义导体不作宏观机械运动，而由导体所处的磁场随时间变化在导体不作宏观机械运动，而由导体所处的磁场随时间变化在导体内部产生的感应电动势，称感生电动势导体内部产生的感应电动势，称感生电动势2.感生电动势产生的物理机制感生电动势产生的物理机制(1).感生电动势不能由洛仑兹力进行微观解释感生电动势不能由洛仑兹力进行微观

13、解释例：无限长螺线管外线圈中的感生电流无法例：无限长螺线管外线圈中的感生电流无法用洛仑兹力解释用洛仑兹力解释因螺线管外的磁场因螺线管外的磁场B=0，螺线管与线圈无相对运动。于是，螺线管与线圈无相对运动。于是0 BvEe这与实验结果不相符合这与实验结果不相符合结论：感生电动势是由与动生电动势不同的物理机制产生的结论：感生电动势是由与动生电动势不同的物理机制产生的(2).感生电动势产生的物理机制感生电动势产生的物理机制涡旋电场假设涡旋电场假设麦克斯维涡旋电场假设解释感生电场的麦克斯维涡旋电场假设解释感生电场的逻辑思路逻辑思路闭合电路中存在电流的前提条件是电路中存在电场闭合电路中存在电流的前提条件是

14、电路中存在电场闭合线圈中的磁通量发生改变时，线闭合线圈中的磁通量发生改变时，线圈中存在感生电流圈中存在感生电流变化的磁场将产生电场，且该感生电变化的磁场将产生电场，且该感生电场是涡旋电场场是涡旋电场结论：变化的磁场产生涡旋电场，涡旋电场的产生与变化磁结论：变化的磁场产生涡旋电场，涡旋电场的产生与变化磁场中是否存在导体无关。场中是否存在导体无关。3.感生电场、感生电动势的计算感生电场、感生电动势的计算感生电动势的产生仍然满足法拉第电磁感应定律感生电动势的产生仍然满足法拉第电磁感应定律dtddtdNi 对单匝线圈，法拉第电磁感应定律成为对单匝线圈，法拉第电磁感应定律成为 sdBdtddtdi当线圈

15、面积保持不变时，当线圈面积保持不变时，感生电动势为感生电动势为 sdBtdtdi4.涡旋电场的性质涡旋电场的性质A.涡旋电场的散度或通量定理涡旋电场的散度或通量定理由于涡旋电场是封闭的闭合曲线，通过任意封闭曲面的通量由于涡旋电场是封闭的闭合曲线，通过任意封闭曲面的通量0 sisdE0 iE结论：涡旋电场是无源场结论：涡旋电场是无源场B.涡旋电场的旋度或环量定理涡旋电场的旋度或环量定理0 sdBdtdl dEiitBEi 结论：涡旋电场是有旋场结论：涡旋电场是有旋场结论：涡旋电场是无源、有旋场结论：涡旋电场是无源、有旋场思考题：总结电场的性质思考题：总结电场的性质5.涡旋电场的应用举例涡旋电场的

16、应用举例例：半径为例：半径为R的圆柱形空间区域存在均匀磁场，当该磁场均匀的圆柱形空间区域存在均匀磁场，当该磁场均匀增加时增加时求：感生电场的空间分布求：感生电场的空间分布E感感B解：考虑到对称性及楞次定律，则感生解：考虑到对称性及楞次定律，则感生磁场大小的空间分布，当磁场大小的空间分布，当rR时，所选取的回路包含的磁通量变化率为整个磁场时，所选取的回路包含的磁通量变化率为整个磁场dtdBrREdtdBrREsdBdtdl dEiiii2222 例：在上例情形下，如果距圆心为例：在上例情形下，如果距圆心为h处有一导体处有一导体求：导体两端的感生电动势求：导体两端的感生电动势E感感Bh abO解法

17、一：解法一：由上题结果由上题结果dtdBrEi21 (时时)Rr dtdBhLdldtdBhdlEl dEabLbaiii212cos0 由楞次定律，可以判别由楞次定律，可以判别a点比点比b点电势高点电势高解法二解法二：利用法拉第定律求解，首先作辅助闭合回路：利用法拉第定律求解，首先作辅助闭合回路oabo，由，由于于oa、ob上没有感生电动势，回路中的电动势就是上没有感生电动势，回路中的电动势就是ab上的感上的感生电动势。最后根据楞次定律得到感生电动势的方向生电动势。最后根据楞次定律得到感生电动势的方向dtdBhLdtdabi21 用辅助回路方法的前提条件是辅助用辅助回路方法的前提条件是辅助回

18、路中的感生电动势易求或为回路中的感生电动势易求或为0二电子感应加速器二电子感应加速器1.实验装置实验装置变化电磁场中放置真空环行加速器，变化的非均匀磁场由交变化电磁场中放置真空环行加速器，变化的非均匀磁场由交变电流加以控制。变电流加以控制。在交变电流的在交变电流的1/41/4周期内，完成对带电粒子的加速周期内，完成对带电粒子的加速2.实验原理实验原理带电粒子在交变的非均匀磁场中运动时，将受到两方面的作用带电粒子在交变的非均匀磁场中运动时，将受到两方面的作用力：感生电场的切向加速作用力与指向环心的洛仑兹力力：感生电场的切向加速作用力与指向环心的洛仑兹力电子感应加速器的核心问题是如何保证带电粒子在

19、要求的圆电子感应加速器的核心问题是如何保证带电粒子在要求的圆周上作圆周上作圆设带电粒子在半径为设带电粒子在半径为r的轨道上运动的轨道上运动时感受到的磁感应强度为时感受到的磁感应强度为Br，在半，在半径为径为r的圆周内的平均磁感应强度为的圆周内的平均磁感应强度为B确保带电粒子在希望的圆周轨道上运动的问题转化为确保带电粒子在希望的圆周轨道上运动的问题转化为切向的感生电场力切向的感生电场力dtmvddtBdredtBdreeEFdtBdrEii)(2221 径向的洛伦兹力径向的洛伦兹力dtmvddtdBererBmvrvmqvBqvBBqvfrrrr)(2 于是于是BBr21 电子运动处的电子运动处

20、的B应等于该路径所围面积内磁感应强度的一半应等于该路径所围面积内磁感应强度的一半三涡电流三涡电流1.涡电流产生的原理涡电流产生的原理当金属导体放置于变化磁场中时，变化的磁场将在金属导体当金属导体放置于变化磁场中时，变化的磁场将在金属导体中产生感生电场，在感生电场作用下，金属中的自由电子将中产生感生电场，在感生电场作用下，金属中的自由电子将形成涡电流。形成涡电流。由于金属导体的电阻很小，因而很小的感生电场就可以在金由于金属导体的电阻很小，因而很小的感生电场就可以在金属导体中形成强大的涡电流属导体中形成强大的涡电流2.涡电流的应用涡电流的应用感应加热感应加热：利用变化的磁场可以产生强大的涡电流，常

21、常可：利用变化的磁场可以产生强大的涡电流，常常可以用之于感应加热以用之于感应加热电磁阻尼电磁阻尼：涡电流在变化磁场中必然阻碍产生涡电流的金属：涡电流在变化磁场中必然阻碍产生涡电流的金属导体的相对运动，用之于迅速停止金属导体的相对运动导体的相对运动，用之于迅速停止金属导体的相对运动3.涡电流的克服涡电流的克服将金属导体作成彼此绝缘的细片将金属导体作成彼此绝缘的细片6-4自感和互感自感和互感一自感电动势一自感电动势1.自感现象自感现象由于电流回路自身的变化电流产生的变化磁通量在其自身回由于电流回路自身的变化电流产生的变化磁通量在其自身回路中激发感应电动势的现象，称为路中激发感应电动势的现象，称为自

22、感现象自感现象2.自感电动势自感电动势设线圈匝数为设线圈匝数为N，t时刻流过每匝线圈的电流为时刻流过每匝线圈的电流为I，每匝线圈中，每匝线圈中的磁通量为的磁通量为 ，则，则dtddtdNi sdB由毕萨定律由毕萨定律IB 于是于是I 令令LI L称为自感系数称为自感系数)()(dtdILIdtdLdtLIddtdi 当当L为常数时为常数时dtdILdtdILIdtdLi )(讨论讨论：a.上式成立的条件：上式成立的条件：L不随时间变化而变化不随时间变化而变化b. 在数值上，在数值上，L 是线圈通以单位电流时，通过线圈的磁链数是线圈通以单位电流时，通过线圈的磁链数对比与，对比与，L称之为电磁惯量

23、称之为电磁惯量c.L反映自身的电磁惯性，与通以多大电流没有直接关系反映自身的电磁惯性，与通以多大电流没有直接关系amF LI 例：无限长螺线管的自感系数例：无限长螺线管的自感系数ILLI 解解NBSN nIB0 于是于是InL20 当螺线管内充以介质时当螺线管内充以介质时InL2 二互感电动势二互感电动势1.互感现象互感现象由于一个线圈中电流变化而由于一个线圈中电流变化而在附近另一个线圈中产生感应电动势的现象在附近另一个线圈中产生感应电动势的现象2.互感电动势互感电动势由法拉第电磁感应定律由法拉第电磁感应定律dtd1212 dtd2121 因因11212IMI 22121IM 于是于是dtdI

24、M11212 dtdIM22121 可以证明可以证明2112MM 则则dtdIM112 dtdIM221 112I 221I 讨论讨论：A.互感系数的物理意义：互感系数在数值上等于一个线互感系数的物理意义：互感系数在数值上等于一个线圈单位电流在另一个线圈上的磁链数圈单位电流在另一个线圈上的磁链数M表示两线圈相互作用的惯性表示两线圈相互作用的惯性B.对非铁磁介质，对非铁磁介质，M只与两线圈的结构和所处的介质环境有关只与两线圈的结构和所处的介质环境有关与通以电流形式无关与通以电流形式无关对铁磁介质，对铁磁介质，M不是一个常数，且与线圈中流过电流相关不是一个常数，且与线圈中流过电流相关C.上面式子成

25、立的前提条件是上面式子成立的前提条件是M为恒定值为恒定值例：求解共轴线圈的互感系数，互感系数与自感系数的关系例：求解共轴线圈的互感系数，互感系数与自感系数的关系解：解：(1).求解互感系数求解互感系数设原线圈流有电流设原线圈流有电流I，则原线圈内部的磁感应强度，则原线圈内部的磁感应强度lINB11 原线圈磁场在副线圈上的磁链数原线圈磁场在副线圈上的磁链数lSINNN12112212 按互感系数的定义按互感系数的定义lSNNINM211122 (2).自感系数与互感系数间的关系自感系数与互感系数间的关系原线圈有电流原线圈有电流I时，流过其自身的磁链数时，流过其自身的磁链数slINN112111

26、按自感系数的定义，原线圈的自感系数为按自感系数的定义，原线圈的自感系数为lSNINL2111121 同理，副线圈的自感系数为同理，副线圈的自感系数为lSNINL2222122 互感系数和自感系数的关系为互感系数和自感系数的关系为21MMM 讨论讨论：A.求解自感系数，互感系数的一般方法是给线圈一个求解自感系数，互感系数的一般方法是给线圈一个假想电流，然后由定义求解假想电流，然后由定义求解B.只有共轴互感线圈，才有成立，对一般情况有只有共轴互感线圈，才有成立，对一般情况有21MMM 21MMkM k称为耦合系数，由两线圈相对位置确定称为耦合系数，由两线圈相对位置确定6-5磁场的能量磁场的能量一磁

27、场的能量一磁场的能量1.磁场的能量磁场的能量讨论磁场能量的思路讨论磁场能量的思路将磁场储能元件放置于电路中，那么，在时间将磁场储能元件放置于电路中，那么，在时间t内，电场在其内，电场在其上消耗的电能就应当等于磁场储能元件所储藏的磁场能量上消耗的电能就应当等于磁场储能元件所储藏的磁场能量计算一个特例，然后将此结果作推广计算一个特例，然后将此结果作推广特例：如图，计算线圈中储存的磁场能量特例：如图，计算线圈中储存的磁场能量解：电源在解：电源在dt时间范围内对线圈所做的功时间范围内对线圈所做的功idtdAL 而而dtdiLL 于是于是mWLiA 221讨论讨论：A.设线圈为无限长通电螺线管设线圈为无

28、限长通电螺线管VnL2 于是于是VBWm 221B.将此结论推广，将此结论推广，磁场储存的能量为磁场储存的能量为VBWm 2212.磁场的能量密度磁场的能量密度HBVWmm 21讨论讨论：A.该公式对任意磁场储能都适用该公式对任意磁场储能都适用B.利用磁场的能量密度可以计算磁场的总能量利用磁场的能量密度可以计算磁场的总能量 dVHBdVWVmm21例：螺绕环的平均半径为例：螺绕环的平均半径为R=8.0cm，截面积，截面积S=1.0cm2，线圈，线圈匝数匝数N=1000求：求：1.螺绕环的自感系数螺绕环的自感系数2.若螺绕环通过的若螺绕环通过的I=1.0A，其磁场，其磁场能量和能量密度是多少能量

29、和能量密度是多少解：解：1.螺绕环的半径远大于环的截面半径，螺绕环的半径远大于环的截面半径，螺绕环的磁场可以看作为无限长螺线管螺绕环的磁场可以看作为无限长螺线管产生的磁场。对应地，螺绕环的自感系数为产生的磁场。对应地，螺绕环的自感系数为)(105 . 2420HSlNL 2.螺绕环的磁场储能螺绕环的磁场储能)(1025. 12142JLiWm 螺绕环的能量密度螺绕环的能量密度)/(5 . 22mJSlWmm 讨论：对无限长螺线管或截面积很小的螺绕环，用本题的求解讨论：对无限长螺线管或截面积很小的螺绕环，用本题的求解方法求解较为简单。也可以用公式求解：方法求解较为简单。也可以用公式求解： dVH

30、BdVWVmm21例：计算内外半径分别为例：计算内外半径分别为R1、R2的同轴的同轴电缆单位长度的自感系数和磁场储能电缆单位长度的自感系数和磁场储能解：能量密度：由安培环路定理，只有解：能量密度：由安培环路定理，只有R1R221RrR 的区域中存在磁场分布的区域中存在磁场分布rIB 202220821rIHBVWmmm 由由单位长度的能量单位长度的能量：选择底面半径为：选择底面半径为r，厚度为，厚度为dr，长度为，长度为l的体的体积元，该体积元的磁场能量为积元，该体积元的磁场能量为122020ln44RRlIdVWrdrlIdVdWVmmmm 令令l=1，单位长度磁场的储能为，单位长度磁场的储能为1220ln4RRlIWm 单位长度的自感系数单位长度的自感系数12022ln2221RRIWLLIWmm 讨论讨论：A.求解磁场储能的通常方法是首先求解磁场的分布，求解磁场储能的通常方法是首先求解磁